初中八年级数学课件-数学活动最短路径问题

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课题学习最短路径问题南水中学席国英前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究“最短路径问题”．创设情景引入课题BA有A、B两个小区，现要在A、B两个小区铺设一条天然气管线，怎样铺设才使得天然气管线最短？合作交流探究新知你能将这个问题抽象为数学问题吗？活动1：如果在A、B两个小区之间有一条笔直的天然气主管道，并且准备在主管道上建一座天然气供应站，那么天然气供应站应建在主管道的哪个地方，使A、B两个小区到供应站的距离最短？

AB合作交流探究新知C天然气供应站建在AB与主管道交点处活动2：如果还有一个B＇小区与A小区在主管道同侧，并且B＇小区与B小区刚好关于主管道对称，那么能否在主管道上找到一个点建一座天然气供应站C，使得A，B'两小区到供应站C距离之和刚好等于A，B两小区之间的距离呢？为什么？合作交流探究新知ABB'探究1：如果供气站建在主管道的其他任意位置，那么A，B'两小区到供气站距离之和与A，B两小区到供气站距离之和是否还相等？合作交流探究新知还相等证明:如图,在直线l上任取一点C'(与点C不重合),连接AC',BC',B'C'.由轴对称的性质知：BC=B'C,BC'=B'C'.∴AC+BC=AC+B'C=AB,AC'+BC'=AC'+B'C'.在△AC'B中,AC'+BC'>AB∴AC'+B'C'>AB,∴当只有在C点位置时,AC+BC最短.探究2：此时A，B'两小区到供气站距离之和与A，B两小区之间距离有怎样的关系？为什么？

合作交流探究新知B＇·lA·BCC′探究3：在公路l同侧有A、B两个小区，现要在公路l旁修建一公交站C，要使公交站到两小区的距离之和最短，试确定公交站C的位置。合作交流探究新知BAl归纳新知因此,如果在直线l同侧的两个点分别是点A,B,在l上找一个点C,使点C到点A、B距离和CA+CB最短,那么我们可以先作点B关于直线l的对称点B',连接AB’交直线l于点C，则点C即为所求。作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．

B·lA·B′C归纳小结“最短路径问题”(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.归纳小结“最短路径问题”(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.应用新知解决问题1、如图，直线L是一条河，P、Q是两个村庄，欲在L上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）？2、如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．应用新知解决问题基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q在直线BC的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR的和最小”.

活用新知拓展提高1、如图，已知正方形ABCD，M是BC的中点，P是对角线BD上一动点，要使PM+PC的值最小，请确定P点的位置。2、如图，已知菱形ABCD，M、N分别是AB、BC的中点，P是对角线AC上一动点，要使PM+PN的值最小，请确定P点的位置。反思小结1、知识点：1）两点之间，线段最短2）垂直平分线上的点到两端的的距离相等2、思想方法：转化思想

1）将实际问题转化为数学问题，将路程最短问题转化为线段和最小问题2）应用轴对称性质将直线同侧两点问题转化为异侧两点问题1.已知如图，点A和两条直线m和n，你能在直线m、n上分别找一点P、Q，使得AP+PQ+AQ的值最小吗？

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