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考点突破练5数列求和方法及综合应用1.已知数列{an}中,a1=a2=1,且an+2=an+1+2an.记bn=an+1+an.(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)若数列{bn}的前n项和为Tn,求数列{Tn}的前n项和.(1)证明

由an+2=an+1+2an,得bn+1=an+2+an+1=2(an+1+an)=2bn.又b1=a1+a2=2≠0,所以{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.2.(2023山西晋中二模)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.(1)求证:数列{an+1}为等比数列;(1)证明

∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1).又a1=1,∴a1+1=2≠0,∴{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.3.(2023云南红河二模)已知等差数列{an}的公差d>0,a1=2,其前n项和为Sn,且________.

(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=1+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和T2n.(2)由(1)知an=3n-1.(方法一)T2n=b1+b2+…+b2n-1+b2n=(1-a1)+(a2+1)+…+(1-a2n-1)+(a2n+1)=-(a1+a3+…+a2n-1)+n+(a2+a4+…+a2n)+n(方法二)T2n=b1+b2+…+b2n-1+b2n=(1-a1)+(a2+1)+…+(1-a2n-1)+(a2n+1)=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)+n+n=3n+2n=5n.4.(2023山东淄博一模)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3×2n-1(n∈N*).(1)判断数列{}是否为等差数列,并说明理由;(2)求数列{an}的前n项和Sn.5.(2023山东潍坊一模)已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,且满足Sn=2n+m(m∈R).(1)求m的值及数列{an}的通项公式;(2)设bn=|log2an-5|,求数列{bn}的前n项和Tn.解

(1)因为Sn=2n+m,当n≥2时,Sn-1=2n-1+m,两式相减得an=2n-1.又由数列{an}为等比数列,则n=1时满足an=2n-1,所以a1=S1=21+m=21-1=1,则m=-1.{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)知

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