初三数学上册期末考试测试卷带答案

北师九年级（上）期中数学试卷

一.选择题（共12小题）

1.（2018•十堰）菱形不具备的性质是（）

A.四条边都相等B.对角线一定相等

C.是轴对称图形D.是中心对称图形

2.（2018•上海）已知平行四边形ABCD,下列条件中，不能判定这个平行四边

形为矩形的是（）

A.ZA=ZBB.ZA=ZCC.AC=BDD.ABLBC

3.解一元二次方程X2-8X-5=0,用配方法可变形为（）

A.（x+4）2=11B.（x-4）2=11C.（x+4）2=21D.（x-4）2=21

4.若xo是方程ax2+2x+c=0（aWO）的一个根，设M=1-ac,N=（axo+1）2,则

M与N的大小关系正确的为（）

A.M>NB.M=NC.M<ND.不确定

5.在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，

其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色

后再放回盒中.大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4,那么可

以推算出n大约是（）

A.10B.14C.16D.40

6.已知三=W,那么下列等式中一定正确的是（）

y2

A3x_9□x+3.6rx-3_3xnx+y_5

y2y+35y-22yx2

7.如图，在△ABC中，DE〃BC,若坦=2,则迪=(）

DB3EC

D-i

8.已知△ABCsaDEF,若aABC与aDEF的相似比为芭，则4ABC与4DEF对应

4

中线的比为（）

A.AB.AC.AD.

43169

9.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+l=0有两个不相等的实数根，则一次函

数丫=1^+13的大致图象可能是（）

10.a,b,c为常数，且（a-c）2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况

是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.有一根为0

11.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE〃BD,DE〃AC,AD=2«,

DE=2,则四边形OCED的面积（）

A.2MB.4C.473D.8

12.一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2

个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（）

A.2B.2c.WD.A

53510

二.填空题（共4小题）

13.如果关于x的方程x2-3x+k=O有两个相等的实数根,那么实数k的值是

14.下列各组的两个图形：

①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一

个内角是45。的两个等腰三角形.

其中一定相似的是—（只填序号）

15.如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的

16.正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,DE平分NADO交AC于点E,

把4ADE沿AD翻折，得到△ADE，，点F是DE的中点，连接AF,BF,EZF.若AE=

近.则四边形ABFE，的面积是.

三.解答题（共6小题）

17.已知关于x的方程x2+mx+m-2=0.

（1）若此方程的一个根为1,求m的值；

（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根.

18.如图，BD〃AC,AB与CD相交于点0,AOBD^AOAC,改=2,0B=4,求

OC3

AO和AB的长.

19.一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其

他差别.

(1)当n=l时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相

同？

(2)从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现

摸到绿球的频率稳定于0.25,则n的值是一；

(3)当n=2时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，

请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率.

20.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线.

(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F(保留作

图痕迹，不写作法和证明).

(2)连接BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由.

【考点】矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形.

【分析】(1)分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确

定出垂直平分线即可；

(2)连接BE,DF,四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD,得到BE=DE,

ZDEF=ZBEF,再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等

边得到BE=BF,再由BF=DF,等量代换得到四条边相等，即可得证.

21.如图，在4ABC中，AB=AC=1,BC=^-1＞在AC边上截取AD=BC,连接

2

BD.

(1)通过计算，判断AD?与AC・CD的大小关系；

(2)求NABD的度数.

22.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两

次降价的百分率相同.

(1)求该种商品每次降价的百分率；

(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次

降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少

件？

参考答案

一.选择题（共12小题）

1.（2018•十堰）菱形不具备的性质是（）

A.四条边都相等B.对角线一定相等

C.是轴对称图形D.是中心对称图形

【考点】菱形的性质.

【分析】根据菱形的性质即可判断；

【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂

直不一定相等，

故选：B.

【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基

础题.

2.（2018•上海）已知平行四边形ABCD,下列条件中，不能判定这个平行四边

形为矩形的是（）

A.ZA=ZBB.ZA=ZCC.AC=BDD.ABLBC

【考点】L5：平行四边形的性质；LC：矩形的判定.

【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.

【解答】解：A、ZA=ZB,ZA+ZB=180°,所以NA=NB=90°,可以判

定这个平行四边形为矩形，正确；

B、NA=NC不能判定这个平行四边形为矩形，错误；

C、AC=BD,对角线相等，可推出平行四边形A5CD是矩形，故正确；

D、AB1BC,所以NB=90°,可以判定这个平行四边形为矩形，正确；

故选:B.

【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理.但需要注意的是本题的知识点是关

于各个图形的性质以及判定.

3.（2017•郑州一模）解一元二次方程x2-8x-5=0,用配方法可变形为（）

A.（x+4）2=11B.（x-4）2=11c.（x+4）2=21D.（x-4）2=21

【考点】配方法.

【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得.

【解答】解：•.•X2-8X=5,

Ax2-8x+16=5+16,即(x-4)2=21,

故选：D.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种

常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择

合适、简便的方法是解题的关键.

4.若xo是方程ax2+2x+c=0(aWO)的一个根，设M=1-ac,N=(axo+1)2>则

M与N的大小关系正确的为()

A.M>NB.M=NC.M<ND.不确定

【考点】一元二次方程的解.

【分析】把X。代入方程ax2+2x+c=0得ax()2+2xo=-c,作差法比较可得.

【解答】解：是方程ax2+2x+c=O(aW0)的一个根，

axo2+2xo+c=0,即axo2+2xo=-c,

则N-M=(axo+1)2-(1-ac)

=a2xo2+2axo+l-1+ac

=a(axo2+2xo)+ac

=-ac+ac

=0,

，M=N,

故选：B.

【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能

使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关

键.

5.在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，

其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色

后再放回盒中.大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在04那么可

以推算出n大约是()

A.10B.14C.16D.40

【考点】利用频率估计概率.

【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且

摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计

概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

【解答】解：•••通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4,

.*.1=0.4,

n

解得：n=10.

故选A

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键.

6.已知三=3,那么下列等式中一定正确的是()

y2

A3x_9Rx+3_6rX-3_3xnx+y_5

y2y+35y-22yx2

【考点】比例的性质.

【专题】计算题.

【分析】利用比例的性质由三=2得2x=3y,然后再根据比例的性质变形四个比例

y2

式，若结果为2x=3y可判断其正确；否则判断其错误.

【解答】解：A、3x・2=9y,则2x=3y,所以A选项正确；

B、5(x+3)=6(y+3),则5x-6y=3,所以B选项错误；

C、2y(x-3)=3x(y-2),则xy-6x+6y=0,所以C选项错误；

D、2(x+y)=5x,则3x=2y,所以D选项错误.

故选A.

【点评】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；

合分比性质；等比性质.

7.如图，在△ABC中，DE〃BC,若则区■=()

DB3EC

A

【考点】平行线分线段成比例.

【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可.

【解答】解：YDEaBC,

•••AE-—AD.—2,

ECDB3

故选C.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关

键，属于基础定义或定理，难度不大.

8.已知△ABCs/WEF,若^ABC与4DEF的相似比为W,则4ABC与4DEF对应

4

中线的比为（）

A.1B.Ac.AD.

43169

【考点】相似三角形的性质.

【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答.

【解答】解：•.,△ABCs^DEF，ZXABC与4DEF的相似比为工，

4

/.△ABC与aDEF对应中线的比为反，

4

故选：A.

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相

似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、

对应角平分线的比都等于相似比.

9.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+l=0有两个不相等的实数根，则一次函

数丫=1«+13的大致图象可能是（）

【考点】一元二次方程根的判别式.

【分析】根据一元二次方程x2-2x+kb+l=0有两个不相等的实数根，得到判别式

大于0,求出kb的符号，对各个图象进行判断即可.

【解答】解：•••x2-2x+kb+l=0有两个不相等的实数根，

.•.△=4-4（kb+1）>0,

解得kbV0,

A.k>0,b>0,即kb>0,故A不正确；

B.k>0,b<0,即kbVO,故B正确；

C.k<0,b<0,即kb>0,故C不正确；

D.k<0,b=0,即kb=O,故D不正确;

故选:B.

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方

程根的情况与判别式△的关系：（1）△XDO方程有两个不相等的实数根；（2）

△=0=方程有两个相等的实数根；（3）△V0Q方程没有实数根.

10.a,b,c为常数，且（a-c）2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况

是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.有一根为0

【考点】一元二次方程根的判别式.

【分析】利用完全平方的展开式将（a-c）2展开，即可得出acVO,再结合方程

ax2+bx+c=0根的判别式△=b2-4ac,即可得出△>(),由此即可得出结论.

【解答】解:■:(a-c)2=a2+c2-2ac>a2+c2,

.*.ac<0.

在方程ax2+bx+c=0中，

△=b2-4ac2-4ac>0,

工方程ax2+bx+c=O有两个不相等的实数根.

故选B.

【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△二b2-

4ac>0.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符

号，得出方程实数根的个数是关键.

11.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE〃BD,DE〃AC,AD=2«,

DE=2,则四边形OCED的面积()

BC

A.2aB.4C.473D.8

【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质.

【专题】计算题；矩形菱形正方形.

【分析】连接0E,与DC交于点F,由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分

且相等，进而得到OD=OC,再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到

ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱

形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可.

【解答】解：连接0E,与DC交于点F,

•.•四边形ABCD为矩形，

AOA=OC,OB=OD,且AC=BD,即OA=OB=OC=OD,

VOD//CE,OC〃DE,

二四边形ODEC为平行四边形，

VOD=OC,

四边形ODEC为菱形，

，DF=CF,OF=EF,DC±OE,

•.•DE〃OA,且DE=OA,

...四边形ADE。为平行四边形，

•.，AD=2«,DE=2,

.•.0E=2«,即OF=EF=«,

在Rt^DEF中，根据勾股定理得：DF=yT7§=l,即DC=2,

贝US变形。DEC=L0E・DC=LX2«X2=2«­

22

故选A

【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握

矩形的性质是解本题的关键.

12.一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2

个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（）

A.2B.2C.3D.A

53510

【考点】列表法与树状图法.

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到

的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：画树状图得：

开始

红红白白白

/TVzyV/TVz/V/TV

仃白白白红白白白红红白白红红白白红红白白

•.•共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，

取到的是一个红球、一个白球的概率为：12=2.

205

故选C.

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.注意此题是不放回实验.用到的

知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

二.填空题（共4小题）

13.如果关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是1

—4-

【考点】一元二次方程根的判别式.

【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元

一次方程，解方程即可得出结论.

【解答】解：•••关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，

，△=（-3）2-4XlXk=9-4k=0,

解得：k=l.

4

故答案为:旦.

4

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9-

4k=0.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合

根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键.

14.下列各组的两个图形：

①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一

个内角是45。的两个等腰三角形.

其中一定相似的是③④（只填序号）

【考点】相似多边形的判定.

【分析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形.具体的说就是对应

的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断.

【解答】解：①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；

②两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；

③两个等边三角形一定相似；

④两个正方形一定相似；

⑤各有一个内角是45。的两个等腰三角形不一定相似，故错误，

故答案为：③④.

【点评】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义进行判断.对多边形主要

是判断对应的角和对应的边.

15.如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的

【考点】相似三角形的性质.

【专题】应用题.

【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子,

经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答.

【解答】解:如图:

•.•AB〃CD,

ACD：AB=CE：BE,

.,.1,6：AB=2：10,

；.AB=8米，

•••灯杆的高度为8米.

答：灯杆的高度为8米.

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比,

列出方程，通过解方程求出灯杆的高度，体现了方程的思想.

16.正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点。，DE平分NADO交AC于点E,

把4ADE沿AD翻折，得至l/ADE，，点F是DE的中点，连接AF,BF,ET.若AE=

V2.则四边形ABFE，的面积是空返.

一2一

【考点】正方形的性质.

【分析】如图，连接EB、EE',作EMLAB于M,EE咬AD于N.易知△AEB^A

AED丝ZXADE',先求出正方形AMEN的边长，再求出AB,根据S四边形ABFE，=S四边形AEFE，+S

△AEB+SAEFB即可解决问题.

【解答】解：如图，连接EB、EE,作EMLAB于M,EE咬AD于N.

•四边形ABCD是正方形，

；.AB=BC=CD=DA,AC±BD,AO=OB=OD=OC,

ZDAC=ZCAB=ZDAE=45°,

根据对称性，AADE^AADE^AABE,

.•.DE=DE',AE=AE',

，AD垂直平分EE',

.•.EN=NE',

ZNAE=ZNEA=ZMAE=ZMEA=45°,AE="/^,

，AM=EM=EN=AN=1,

,ED平分NADO,EN±DA,EO±DB,

.EN=EO=1,AO=&+1,

.AB=&AO=2+逐

•SAAEB=SAAED=SAADE,=—XIX(2+A/2)=1+^^^，SABDE=SAADB_2SAAEB=1+V2,

22

*DF=EF,

$EFB=¥，

2

,SADEE,=2SAADE-S/、AEE，=I'/"^+1，SADFE,=—SADEE'=^^^—

22

c_->__3+V2

c-c

四边形AEFE'-Z'AADE、ZsDFE'-------，

cc+c,c6+3加

四边彩ABFE'=>AEFE，+->AAEBTJAEFB=-------•

【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性

质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法

求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题.

三.解答题(共6小题)

17.已知关于x的方程x2+mx+m-2=0.

(1)若此方程的一个根为1,求m的值；

(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根.

【考点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解.

【分析】(1)直接把x=l代入方程x2+mx+m-2=0求出m的值；

(2)计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可.

【解答】解：(1)根据题意，将x=l代入方程x2+mx+m-2=0,

得：1+m+m-2=0,

解得：m=l；

2

(2)VA=m2-4XIX(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,

...不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的根的判别式442-4ac：

当△>(),方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当

△V0,方程没有实数根.

18.如图，BD〃AC,AB与CD相交于点0,AOBD^AOAC,强=2,0B=4,求

0C3

A0和AB的长.

C

O

DB

【考点】相似三角形的性质.

【分析】由相似比可求得0A的长，再利用线段的和可求得AB长.

【解答】解:

VAOBD^AOAC,

•••-0-B--0-D---2-,

OA0C3

解得。A=6,

0A3

.,.AB=OA+OB=4+6=10.

【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解

题的关键.

19.一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其

他差别.

（1）当n=l时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相

同？

（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现

摸到绿球的频率稳定于0.25,则n的值是2；

（3）当n=2时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，

请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率.

【考点】利用频率估计概率.

（分析］（1）当n=l时，利用概率公式可得到摸到红球和摸到白球的概率都为工；

3

（2）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.25,根据概率公式得到」—

l+1+n

=0.25,然后解方程即可；

（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球颜色不同

的结果数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：（1）当n=l时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可

能性相同；

（2）利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为0.25,

则—I—=0.25,解得n=2,

l+1+n

故答案为2；

（3）解：画树状图为:

红绿白白

/1\/1\

绿白白红白白红绿白红球白

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的结白色的结果共有2种,

所以两次摸出的球颜色不同的概率=2=工.

126

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能

的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求

出事件A或B的概率.

20.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线.

（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作

图痕迹，不写作法和证明）.

（2）连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由.

【考点】矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形.

【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确

定出垂直平分线即可；

（2）连接BE,DF,四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD,得到BE=DE,

NDEF=NBEF,再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等

边得到BE=BF,再由BF=DF,等量代换得到四条边相等，即可得证.

【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；

(2)四边形BEDF为菱形，理由为:

证明：：EF垂直平分BD,

，BE=DE,NDEF=NBEF,

•.•AD〃BC,

/.ZDEF=ZBFE,

/.ZBEF=ZBFE,

；.BE=BF,

VBF=DF,

，BE=ED=DF=BF,

...四边形BEDF为菱形.

【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图-基本作图，熟练掌握

性质及判定是解本题的关键.

21.如图，在4ABC中，AB=AC=1,BC=返二L在AC边上截取AD=BC,连接

2

BD.

(1)通过计算，判断AD?与AC・CD的大小关系；

(2)求/ABD的度数.

【考点】相似三角形的判定.

【分析】(1)先求得AD、CD的长，然后再计算出AD?与AC・CD的值，从而可得

至I」AD?与AC・CD的关系；

（2）由（1）可得到BD2=AC・CD,然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形

相似证明△BCDsaABC,依据相似三角形的性质可知NDBC=NA,DB=CB,然后

结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得NABD的度数.

【解答】解：（1）VAD=BC,BC=^-1>

2

1

/.AD=^->DC=1-V5-1=3-V5

222

5+123

AD2=-V5=-V5>ac.cd=1x

4222

.*.AD2=AC«CD.

（2）VAD=BC,AD2=AC*CD,

BC2=AC*CD,即约0.

AC-BC

又,.4=/（：,

/.△BCD^AACB.

AAB_BELZDBC=ZA.

AC-CB

，DB=CB=AD.

Z.ZA=ZABD,ZC=ZBDC.

设NA=x,则NABD=x,ZDBC=x,ZC=2x.

VZA+ZABC+ZC=180°,

.,.x+2x+2x=180°.

解得:x=36°.

/.ZABD=36O.

【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角

形内角和定理的应用，证得△BCDS^ABC是解题的关键.

22.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两

次降价的百分率相同.

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次

降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少

件？

【考点】平均增长（降低）率问题（一元二次方程）.

【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为X%,根据“两次降价后的售价=原

价义（1-降价百分比）的平方”，即可得出关于X的一元二次方程，解方程即可

得出结论；

（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100

-m）件，根据"总利润=第一次降价后的单件利润X销售数量+第二次降价后的

单件利润X销售数量"，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出

结论.

【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为X%,

依题意得：400X（1-x%）2=324,

解得：x=10,或x=190（舍去）.

答：该种商品每次降价的百分率为10%.

（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100

-m）件，

第一次降价后的单件利润为：400X（1-10%）-300=60（元/件）；

第二次降价后的单件利润为：324-300=24（元/件）.

依题意得：60m+24X（100-m）=36m+2400>3210,

解得：m222.5.

答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元.第一次降价后至少要售出该种

商品23件.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关

键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关

于m的一元一次不等式.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根

据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键.

北师九年级（上）期中数学试卷

本试题分为第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120

分钟.

答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、

姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置.考试结束后，只交答题卡.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本题共15个小题，每题只有一个正确答案，每小题4分，共60分）

1.下列各点在反比例函数y=9图象上的是（）

x

A（2,-3）B（2,4）C（-2,3）D（2,3）

2.右图所示的几何体的俯视图是（）

3.下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）

ABCD

4.连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（）

5.一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明

摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）

1111

A.—B.-C.-D.—

24612

6.在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个.每次将球

搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球实验后发现，摸

到红球的频率稳定在25%,那么可以推算出a大约是（）

A.12B.9C.4I）.3

7.如图，在中，DE//BC,AD=6,劭=3,4左4,则EC的长为（）

A.1B.2C.3D.4

第7题图第8题图第9题图第10题图

8.如图，下列条件不熊判定如△4961的是()

„ADAB

A.NABgZACBB.NADB=NABCB.A^^AD-ACD.—=—

ABBC

9.如图，点D、E分别为aABC的边AB、AC上的中点，则AADE的面积与四边形BCED的面

积的比为()

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：1

10.如图，在直角坐标系中，有两点4(6,3)、6(6,0).以原点0为位似中心，相似比为!，

3

在第一象限内把线段16缩小后得到线段切，则点。的坐标为()

A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)

-6

11.已知点A(-2,%),6(-3,%)是反比例函y=——图象上的两点，则有()

x

A.y\>y2B.y\<yzC.y\—y-iD.不能确定

12.函数y=-(aH0)与y=ax—a(aw0)在同一平面直角坐标系中的大致图象是(

x

A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多

B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例

C.若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人

1).当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷

14.(2018•重庆)如图，菱形ABCD的边AD_Ly轴，垂足

y

为点E,顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，

反比例函数丫=幺仅。0,1〉0）的图象同时经过顶点（1口，若点C的横坐标为5,BE=3DE.则

x

k的值为（）

515

A.-B.3C.—D.5

24

15.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），

对角线AC、BD相交于点0,过点P分别作AC、BD的垂线，分别交

AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N.下列结论：①△APE峥A

AME；②PM+PN=AC；③PE'PF'PO"；©APOF^ABNF；⑤当△PMNS

△AMP时，点P是AB的中点.其中正确的结论有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题（本题共7个小题，每题4分，共28分）

I,x一，。ce八口，，"八…a+c+e

16.若3x=5y,则1-------；已知Z=，=7=2,且""八贝"瓦万用

17.（2018•新疆）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，

小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是.

18.把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是cm.（结果保留根号）

19.如图所示，一个底面为等边三角形的三棱柱，底面边长为2,高为4,如图放置，则其左

主视图俯视图左视图

20.如下图，为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，实验学校“玩转数学”社团做了如下

的探索：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量

方案：把镜子放在离树（AB）9米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D,这是恰好在镜子

里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.8米，则树（AB）的高度为

米.

第20题图第21题图

21.如图，点A为函数y=2（x>0）图象上一点，连结0A,交函数y=1（x>0）的图象于

XX

点B,点C是x轴上一点，且A0=AC,则aABC的面积为.

22.如图，在RTZ\ABC中，ZC=90°,BC=8,AC=6,动点Q从B点开始在线段

BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC

上以每秒1个单位长度的速度向点C移动.当一点停止运动，另一点也随之停

止运动.设点Q,P移动的时间为t秒.当t=秒时△APQ与AABC

相似.

三.解答题

23.（8分）同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长1.2m,一

电线杆影长为9m,则电线杆的高为多少米？

24.（8分）在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2

名男生和2名女生获得音乐奖.

（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；

（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚

好是一男生一女生的概率.

25.（8分）如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边上的两点，且AB=8,AC=6,AD=3,AE=4,DE=6,

求BC的长.

26.(12分)如图，AABC为锐角三角形，AD是BC边上的高,正方形EFG1I的一边FG在BC

上，顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.

(1)求证:AAEH^-AABC；

(2)求这个正方形的边长与面积.

27.(12分)如图，已知反比例函数旷="与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点

x

A(1,—Z+4).

(1)试确定这两个函数的表达式；

(2)求出这两个函数的另一个交点B的坐标，并求出AAOB的面积.

(3)直接写出当反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围.

28(14分)如图，在平面直角坐标系中，OA±OB,AB_Lx轴于点C,点A(囱，1)在反比

例函数尸一的图象上.

X

(1)求反比例函数y=K的表达式；

X

(2)在X轴上是否存在一点P,使得AA0B,若存在求点P的坐标；若不存在请说明

2

理由.

(3)若将ABOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到ABDE,直%接写出点E的坐标，并判断点

E是否在4该反比例函数的图象上，说明理由.

备用图

数学试题答案

一选择题

05DBABC6-10ABDBA11_15AADCB

二填空题

5

16.-2

3

17.-A解析)用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；

2

用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生

的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb.所以颜色搭配正确的概率是,.

2

18.(IOA/5-IO)注：无括号也不再扣分

19.443

20.6

6

30T50

22.—或一

1113

三解答题

23.解设电线杆高x米，由题意得:

k6E2

x9-------------------------------------------------------------------------5分

X=12-----------------------------------------------------7分

答：电线高为12米----------------------------------------------------8分

24.解：(1)从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，

刚好是男生的概率=二3=±3；—-----------2分

3+47

(2)画树状图为：

开始

美术奖?w/

音乐奖男男女女弟男女女男男女女---------------5分

共有12种等可能的结果数，------------------------6分

其中刚好是一男生一女生的结果数为6,--7分

所以刚好是一男生一女生的概率=£=《-----------------------8分

122

AE_A

2分

AS-8-2

ADAE

3分

就

・・・ZA=ZA,4分

...AADE^AACB.5分

**-DEAD_1

BC-AC~2

即6_17分

~BC~2

二BC=128分

26解：（1）证明：•••四边形EFGH是正方形，

EH〃BC,-------------------------1分

ZAEH=ZB,------------------------2分

ZAHE=ZC,-------------------------3分

AAEH^AABC.--------------------4分

（2）解：如图设AD与EH交于点M.5分

VZEFD=ZFEM=ZFDM=90°,

四边形EFDM是矩