福州第一中学2023学年高考数学全真模拟密押卷(含解析)

2023学年高考数学模拟测试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合加={%1、=展工},N={xeNI4-X220},则知C"为（）

A.U，2]B.{0,1.2}C.{1,2}D.（12）

,2i

2.若复数Z=1+L（i为虚数单位），则Z的共轨复数的模为（）

1+z

A.亚B.4C.2D.J5

2

TT

3.将函数/（幻=4!1（2》-1）。6/?）的图象分别向右平移可个单位长度与向左平移"（〃>0）个单位长度，若所得到

的两个图象重合，则〃的最小值为（）

兀2兀兀

A.—B.——C.—D.1T71

332

4.设全集〃=11,集合A={r[0<x42},B={x|x<l},则集合A|JB=（）

A.（2,+oo）B,b,+oo）c,（-°o,21D.（f"

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

811

A.-B.3C.—D.4

33

6.已知〃短，£,外都是偶函数，且在/Q十划上单调递增，设函数RxJffx)+^(1-x)-\f(x)--x)I»若a>0,则()

A.F(-a)>F(a)SLF(l+a)>F(1-a)

B.F(-a)>F(a)^F(l+a)<F(1-a)

C.F(-a)<F(a)^.F(l+a)>F(1-a)

D.-a)SF(a)且F(1+a)SF(I-a)

7.执行如图所示的程序框图，若输入的f=3,则输出的i=(

9.直线>=丘+1与抛物线CX2=4y交于A,B两点,直线且/与C相切，切点为P,记A/VLB的面积

为S,则S—|A4的最小值为（）

9273264

A.一下B.——C.D.~~

442727

10.在平行六面体ABC。—中，M为AC与8Q的交点，若血=瓦而=5,4不=乙则与前相等的向

111111II1

量是（）

1-17-1-1-1-1,

-a+-b+c--a-—br+c-_a+—b+c

222222

（3〃-2）a=4〃,

+aa+-..+aa

函数户2l、lsin2r的图象可能是

每小题5分，共20分。

(拳")，cos(a+B)=：cos^P-l^j=-A,则sin[a+?)=

13.已知a,PG

14.函数/（幻=群411（3%+3）[e＞0,]＜少＜兀）的图像如图所示，则该函数的最小正周期为.

15.已知圆C：乂2+尸+8》+4），-5=0经过抛物线后：X2=4），的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是

16.某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物

理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节

和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，平面ABC。，A6=8C=2,CD=AD=J7,乙46C=120°.

M

(I)证明：BD上PC；

(H)若M是尸。中点，BM与平面PAB所成的角的正弦值为挈，求24的长.

18.(12分)如图所示的几何体中，面ADEF，底面A8C7),四边形加印为正方形，四边形A8CD为梯形,

71

AB//CD,乙BADF，AB=AD=2CD^4,G为中点.

(1)证明：CG〃面ADEF；

(2)求二面角A—BE-C的余弦值.

19.(12分)己知点E,产分别是椭圆。：二+^=1(。＞8〉0)的上顶点和左焦点，若EF与圆x2+y2=?相切于

Q2/723

点T,且点丁是线段后尸靠近点E的三等分点.

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）直线，：卜=丘+机与椭圆。只有一个公共点p,且点p在第二象限，过坐标原点。且与/垂直的直线/'与圆

m+*=8相交于4,B两点,求△PA3面积的取值范围.

x=tcosa

20.（12分）在直角坐标系X。），中，曲线。的参数方程为＜c.。为参数，04a＜兀），点”（0,—2）.

।[y=-2+fsina

以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线£的极坐标方程为P=4Gcos（a+?）.

（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其形状；

（2）曲线£与曲线C交于A,8两点，若47+」井=电，求since的值.

12\MA\\MB\4

八-x=A/3COSa-

21.（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为7.（a为参数），以原点。为极点，以无轴正

1[y=sina

兀

半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C,的极坐标方程为psin（0+2）=2.

2O

（1）求曲线q的普通方程与曲线c,的直角坐标方程；

TC

（2）设4,8为曲线q上位于第一，二象限的两个动点，且乙4。8=爹，射线。4,。8交曲线Q分别于,求.08

面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积.

22.（10分）已知函数/（x）=ea＜sinx.

„7t

（1）若/（x）在0，N上单调递增，求实数。的取值范围；

_6

7C

（2）若a=l,对Vxw0,-，恒有/（%）（云成立，求实数匕的最小值.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、c

【答案解析】

分别求解出"，N集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.

【题目详解】

因为集合用={xlx21},^={re2V|-2<x<2}={o,l,2},

所以MAN={1,2}

故选：C

【答案点睛】

本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.

2、D

【答案解析】

由复数的综合运算求出z,再写出其共粗复数，然后由模的定义计算模.

【题目详解】

2/2i(1-i)

；z=l+币=l+(iTWT7r2+i,Z=2T.・•同=6

故选：D.

【答案点睛】

本题考查复数的运算，考查共轨复数与模的定义，属于基础题.

3,B

【答案解析】

首先根据函数/(幻的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合,

那么加+"=hT,利用/(x)的最小正周期为兀，从而求得结果.

【题目详解】

fM的最小正周期为兀，

71,,

那么不+〃=女兀(keZ),

,71

于是〃=左兀一至，

2兀

于是当女=1时，〃最小值为丁，

故选B.

【答案点睛】

该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.

4、C

【答案解析】

•:集合A={x[0<x42)，B={x|x<l},

AAoB=(-00,21

点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.

5、C

【答案解析】

首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出

几何体的体积.

【题目详解】

解：根据几何体的三视图转换为几何体为：

该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，

如图所示：

故选：C.

【答案点睛】

本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.

6、A

【答案解析】

试题分析：由题意得，如刈=包氤溜方方"；『，

|2g〃+a)J1a)=--a)>g(l+a)„,_\2g(l-a)f(a)>g(l-a)

：.F(-a)=12f(-a),f(a)=f(-a)<g(l+a)，*⑷T<g(l-a)'

■：a>0,'>(a+if-(a-1=4a>0>+a\>\a-+a)>g(l-a)>

；♦若力。)>只〃+a)：F(-a)=2g(l+a)<F(a)-2g(l-ah；.F(-a)>F(a),

若匕〃-a)<fla)<g(l+a)：F(-a)=2f,(-a)=2*a),F(a)=2x(1-a)，:.F(-a)>F(a)，

若他)<g(l-a)：F(-a)=2fl-a)=2f(a)>F(a)=2fM,:'F(-a)=F(ah

综上可知R同理可知斤〃+a)>F(1-a),故选A.

考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.

【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与/+a大小不明确的讨论，从

而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常

先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.

7、B

【答案解析】

根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.

【题目详解】

执行程序框，=3,i=0；，=8,i=1；t=23,i=3；

r=68,i=7；t=203,z=15；f=608,i=3l,

满足f>606,退出循环，因此输出i=31,

故选:B.

【答案点睛】

本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.

8、B

【答案解析】

判断函数/G)的奇偶性，可排除A、C,再判断函数/G)在区间(o，g)上函数值与0的大小，即可得出答案.

【题目详解】

，,、(21

解：因为/(幻=T-1cosx=-——cosx,

11+e*y11+)

所以/(-X)=-­cos(-%)=__Icosx--_flcosx=-f(x),

<1+e-xex+11+ex

所以函数/(x)是奇函数，可排除A、C；

又当，G)<(),可排除D；

故选：B.

【答案点睛】

本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.

9、D

【答案解析】

设出A,B坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得|A6|,再由点到直线的距离公式求得尸到A8的距离,

得到的面积为S，作差后利用导数求最值.

【题目详解】

设A(x,y),B(x,y),联立]一^”，得心一4"一4=0

II22[%2=4y

则x+x=4k,y+y=k(x)+2=4k2+2

则附I=y+y+p=4%2+4

=>y=L

由X2=4y,得>=-；-

42

设P(x,y),则1x=k=X=2k,y=22

oo20oo

则点P到直线y=履+1的距离d="TT>1

从而S=；|A卦”=262+1).52+1

5一|叫=2《2+1)必+1-4(12+1)=2</3-4^2(</>1).

令f(x)=2x3—4x2=>/,(X)=6X2-8X(X>1)

当■时，/'(x)<0；当x>g时，/'(x)>0

故/(x)=即§-|AB|的最小值为

min\JN/27

本题正确选项：D

【答案点睛】

本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用

构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.

10、D

【答案解析】

根据空间向量的线性运算，用£,反2作基底表示片面■即可得解.

【题目详解】

根据空间向量的线性运算可知

BM

11

一1---

=A4+-BD

।2।।

=A4+_LQA+AD）

11

121

=AA+LCAB+AD）

I2

因为福=d,A。=万,A4=c,

i

则44：+?（4耳+4》）

1-1-

=——Q+—O7+c

22

1-1r-

即BM=-—a+—b+c,

故选：D.

【答案点睛】

本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.

11、C

【答案解析】

利用（3〃-2）。的前”项和求出数列《3”一2）。｝的通项公式，可计算出。，然后利用裂项法可求出

nnn

aa+aa+・・・+aa的值

23342122

【题目详解】

♦・a+4。+7。+・・・+（3力-2）。=4〃

*123n

当〃=1时，a=4；

i

当〃22时，由。+4。+7。+.・・+（3〃一2）。=4n,

123n

可得a+4a+7Q+.・・+（3〃一5）・Q=4（〃-1）,

123n-\

两式相减，可得(3〃-2)。=4,故a4

n«3〃-2

4

因为a=4也适合上式，所以。一

।"3〃一2

1616f11)

aa

依题意，n+i,1+2­(3〃+1温+4)—T13〃+l―3〃+4/

叩」+L

故aa+aa+・・・+aa

233421223(477

故选：C.

【答案点睛】

本题考查利用S求。，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.

nn

12、D

【答案解析】

TT

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在(耳,兀)上的符号，即可判断选择.

详解：令/(x)=2“sin2x,

因为RER,f(-x)=2-Xsin2(-x)=-2^sin2x=-/(x),所以/(x)=2"sin2x为奇函数，排除选项A,B;

兀

因为xe(,,7i)时，/(x)<0,所以排除选项C,选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值

域，判断图象的上、下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性;

(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

33

13>---

65

【答案解析】

由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得sin(a+p),sinfP-11的值，由两角差的正弦公式即可计算得

sin(a+：J的值.

【题目详解】

..a,JU停,兀),8s(a+B)=+"吁)-《

(3兀

a+pGB-心，

sin(a+P)=-^l-cos2(a+P)3

5

sinP-1=12

I4；13

a+H=sin(a+B)—[p—；

4J

=sin(a+p)cos(B-^-j-cos(a+p)sin(0-口=[-j-_x_=--e

33

故答案为：一二

o5

【答案点睛】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.

14、8

【答案解析】

根据图象利用/(0)=当，先求出中的值，结合，(1)=°求出03,然后利用周期公式进行求解即可.

【题目详解】

解：由/(0)=占Sin<p=半，得sin(p=¥，

7131t

•/<(p<7t,—

24

贝!|f(x)=万sin(3x+当,

4

,//(1)=百$也(0>+弓)=

0,

37r兀

.­.co+—=n,即co=—,

44

2n2兀=8

则函数的最小正周期f-(071

4

故答案为：8

【答案点睛】

本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键.

15、4#

【答案解析】

求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出。的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利

用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长.

【题目详解】

抛物线E：m=4y的准线为y=-l,焦点为(0,1),把焦点的坐标代入圆的方程中，得。=4,所以圆心的坐标为

(-4,-2),半径为5,则圆心到准线的距离为1,

所以弦长=2后T=4>/6.

【答案点睛】

本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式.

16、1344

【答案解析】

分四种情况讨论即可

【题目详解】

解：数学排在第一节时有：0x4x0=384

444

数学排在第二节时有：CIXA4XCI=288

344

数学排在第三节时有：CIXA4XCI=288

344

数学排在第四节时有：0x4x0=384

444

所以共有1344种

故答案为：1344

【答案点睛】

考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)见解析；(II)依

【答案解析】

(I)取AC的中点O,连接03,00,由钻=8C,AD=C£>,得民0,0三点共线，且AC_L8。，又8。_L24,

再利用线面垂直的判定定理证明.

(H)设PA=x,则尸3=正转，PD=y[x2+7,在底面A8C0中，BD=3,在中，由余弦定理得:

+Z,在△OBM中，由余弦定理得

J+，再过。作£>"J_84,则DH1

4-Z,两式相加求得

平面PAB,即点。到平面PAB的距离，由M是PO中点，得到M到平面PAB的距离----然后根据与平面

上山所成的角的正弦值为士求解.

10

【题目详解】

(I)取4c的中点。，连接08,00,

由=AD=CD,得B,O,D三点共线,

且力CJ.8。，又BD上PA,ACnPA^A,

所以8。_L平面PAC,

所以BOLPC.

(II)设PA=x,PB=JX2+4,P。=，尤2+7,

在底面ABCD中，BD-3,

在APBM中，由余弦定理得：=+-...z

在△O8W中，由余弦定理得=+_z

过。作£归，,则£归，平面,

即点D到平面PAB的距离DH=BD-sin60=更

2

DH3事

因为M是尸。中点，所以为M到平面E46的距离”

24

因为8M与平面Q钻所成的角的正弦值为芷,

10

即

解得x=#.

【答案点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力，属于中档

题.

1

18、(1)见解析；(2)-

【答案解析】

(1)取Ab的中点〃，结合三角形中位线和长度关系，为平行四边形，进而得到CG〃//£>,根据线面平行判定

定理可证得结论；

(2)以AB,AD,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据

二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；

【题目详解】

(1)取A尸的中点〃，连结GH,HD

因为G为中点，AB//CD,AB=2CD,

所以GH〃CD,G"=C£>,C0HG为平行四边形，

所以CG//HD,

又因为HD<=面4OEF,CG(Z面AO£F

所以CG〃面AOEF；

(2)由题及(1)易知AB,AD,AF两两垂直，

所以以AB,AD,AF为％,z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,(),0),B(4,0,0),D(0,4,0),F(0,0,4),。(2,4,0),即=(-4,0,4),尸。=(2,4,-4)

易知面ABF的法向量为n=(0,1,0)

1

设面A8E的法向量为6=G,y,Z)

2

n-BF=-4x4-4^=0

则12

n-FC=2x+4y-4z=0

2

可得司=,,1

1

如图可知二面角A-即-C为锐角，所以余弦值为g

【答案点晴】

本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角，正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.

19、

【答案解析】

（D连接由三角形相似得，OT2=ETTF=3,进而得出42=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,写出椭圆C的

标准方程;

y-kx+m

（2）由.［得,G左2+1）x2+6knx+3〃22-6=0,因为直线/：y=履+〃?与椭圆。相切于点p,△=€）,

X2y2

6+2

-3kmm

解得x_____y=_____，因为点尸在第二象限，所以改>0,m>0,所以加=，6女2+2,设直线/'与/垂直

3左2+1'J3女2+1

交于点。，则|PQ|是点p到直线I'的距离，设直线I'的方程为y=一,则|尸0|=#-点，求出△P4B面积的取

K

值范围.

【题目详解】

解：（1）连接OT,由AEOT可得OT2=ET-TF=

。2=6,枕=OE2=OT2+ET2=2,

c%2V2

椭圆C的标准方程丁+==1；

62

y=kx+m

（2）由＜得，(3k2+1)x2+6kmx+3m?-6=0,

X2V2

——+—

162

因为直线l：y=kx+m与椭圆C相切于点p,

所以A=(.6km-4(3攵2+1)《m2—6)=12(6左2+2—m2)=0,即m2-6k2+2,

—3kmm

解得x

3人+1，了=^35——h+17

-3kmm

即点P的坐标为3k2+1'3k2+1

因为点P在第二象限，所以攵＞0,m＞0,

所以/〃=J6A+2，

所以点P的坐标为

设直线r与i垂直交于点。，则『0是点p到直线r的距离,

设直线/,的方程为、=一?,

1=乎时，|PQ|有最大值《一户,

当且仅当班=记’即公

所以SRU=；x4j?x|PQ仔4日—4,即△PAB面积的取值范围为

【答案点睛】

本题考查直线和椭圆位置关系的应用，利用基本不等式，属于难题.

20、(1)(x—2)2+(y+2)2=8,以(2,—2)为圆心，2声为半径的圆；⑵sina=2*—

【答案解析】

(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到C,的直角坐标方程并判断形状；

(2)联立直线参数方程与的直角坐标方程，根据直线参数方程中，的几何意义结合」九+J^n夕求解出

2\MA\\MB\4

sina的值.

【题目详解】

解：(1)由P=4>/Tcos(。+：),得p=4cos0-4sin0,所以p2=4pcos0-4psin。，

即X2+y2=4x-4y,(x-2)2+(y+2"=8.

所以曲线c,是以(2,-2)为圆心，2G为半径的圆.

x=rcosa

(2)将<代入(x-2)2+(y+2)2=8,

y=-2+rsina

整理得t2-4rcosa-4=0.

设点A,8所对应的参数分别为(，(，

则，+，=4cosa,tt=-4.

1212

1上1_\MA\+\MB\_\t\+|/J_p,_x/16cos2a+16_717

\MA\\MB\~\MA\\MB\~'|Hj-'4~"44-k

解得cos2a=-L,则sina=Jl-cos2a=乂12.

164

【答案点睛】

本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中，的几何意义求值，难度一般.(1)极坐标与直角坐标的互

化公式：pcosa=x,psin9=y.(2)若要使用直线参数方程中，的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到

对应曲线的直角坐标方程中，构成关于，的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解.

x2329

21、(1)—+y2=l.x+Wy-4=0(2)AAOB面积的最小值为.；四边形的面积为彳

【答案解析】

(1)将曲线q消去参数即可得到q的普通方程，^x=pcos9,y=psinO代入曲线C,的极坐标方程即可;

(2)由(1)得曲线C|的极坐标方程，设A(P/。)，8(p,,0+》，D(p,0),C(p4,0+l)

1142,114i3

利用方程可得=再利用基本不等式得43+工7=Q,即可得S=-PP12>-,根据题意知

P2P2JPpP2P2JMOB24

s二S『-Sz进而可得四边形ABC£>的面积.

ABCDACOO^AOB

【题目详解】

_x=JTcosa2

(D由曲线£的参数方程为v,(。为参数)消去参数X得+尸=1

1[y=sina3

[LfTT-JT

曲线C的极坐标方程为Psin(0+下)=2,即psinMos—+pcos0sin—=2,

2o66

所以，曲线C,的直角坐标方程x+&y-4=0.

(2)依题意得£的极坐标方程为竺1*9+p2sin29=1

TTjr

设A(p/。)，B(p,0+_),O(P?6),C(P4，0+-)

114

iP2cos2。.n,P2sin20Q.

则一1------+P2sm26=1,—3------+P2cos2»=1,古改夕---+---二——

3>32P2p23

I2

和《正+正二9,当且仅当Prp2(即°=不)时取』"，

1212

133

故"。B=，PF产"即面积的最小值为不

01122-4=8

S=-pp=----------------------

此时ACOD2342|兀