矩形、菱形、正方形 2021全国中考真题分类汇编-四边形

2021全国中考真题分类汇编（四边形）

——矩形、菱形、正方形

一、选择题

1.（2021•安徽省）如图，在菱形A8C。中，45=2，NA=120°,过菱形ABC。的对称中

心。分别作边AB,BC的垂线，交各边于点E,F,G,H,则四边形EFG”的周长为（）

A.3+百B.2+2&C.2+V3D.1+273

2.（2021•海南省）如图，在菱形48CO中，点E、F分别是边BC、C£＞的中点，连接AE、

AF.EF.若菱形ABC。的面积为8,则△4£：产的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2021•重庆市4）如图，正方形A8CQ的对角线AC,BD交于点O,M是边AO上一点,

连接。M,过点。做ON_LOM,交CD于点、N.若四边形MONZ）的面积是1,则A8的长为

C.2D.2夜

4.（2021•四川省成都市）.如图，四边形ABC。是菱形，点E,F分别在8C,0c边上,

添加以下条件不能判定尸的是（）

A.BE=DFB.NBAE=/DAFC.AE=ADD.ZAEB=ZAFD

5.（2021•四川省南充市）如图，在菱形ABC。中，/A=60°,点E,尸分别在边AB,

BC上，AE=BF=2,△£）£■尸的周长为3加，则的长为（）

D

A.娓B.273C.V3+1D.273-1

6.（2021•广西玉林市）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形:

4.两组对边分别相等6.一组对边平行且相等

c.一组邻边相等。一个角是直角

顺次添加的条件：①a—ffd②bf<jfc③a—Z?-c则正确的是：（）

A.仅①B.仅③C.①②D.②③

7.（2021•浙江省宁波市）如图是一个由5张纸片拼成的QABC。，相邻纸片之间互不重

叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为5，另两张直角三角形纸片的面积

都为S?,中间一张矩形纸片EFG”的面积为S3,FH与GE相交于点O.当

的面积相等时，下列结论一定成立的是（)

C.AB=ADD.EH=GH

8.（2021•浙江省温州市）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABC。

如图所示.过点。作。下的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连结CG,延长

BE交CG于点、H.若AE=2BE,则堡.（）

BH

C3技

2,7D善

9.（2021•重庆市8）如图，把含30。的直角三角板PMN放置在正方形ABCO中，NPMN

=30°,直角顶点户在正方形A8CC的对角线上，点M,N分别在AB和CC边上，

MN与8。交于点O,且点。为MN的中点，则/AMP的度数为（）

C.75°D.80°

10.（2021•湖北省江汉油田）如图，在正方形ABCD中，A3=4,E为对角线AC上与A,

C不重合的一个动点，过点E作EF_LAB于点尸，EGLBC于点G,连接。E,FG.下

列结论:

AD

①DE=FG；②）DE人FG；③ZBFG=ZADE：④FG的最小值为3.其中正确结论

的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.（2021•内蒙古包头市）如图，在AABC中，AB^AC,△D3C和AABC关于直线BC

对称，连接AD,与BC相交于点O,过点C作CE_LCD,垂足为C,与A。相交于点£若

7DF+AF

AD=S,BC=6,则上------值为（）

BD

12.（2021•深圳）在矩形ABCO中，AB=2,点E是8C边的中点，连接。E,延长EC

至点F,使得EF=DE,过点尸作EGLOE,分别交C。、AB于N、G两点，连接CM、

EG、EN,下列正确的是（）

①tan/GFB=；；②MN=NC；③弁=：；®SmcBEM

Z£S(,jZZ

A.4B.3C.2D.1

二.填空题

1.（2021•湖南省衡阳市）如图1,菱形ABC。的对角线4C与8。相交于点O,P、Q两

点同时从。点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为

O-A-D-O,点Q的运动路线为O-C-B-O.设运动的时间为x秒，P、Q间的距离

为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A-Z）段上运动且尸、Q

两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米.

图1图2

2.（2021•长沙市）如图，菱形ABCO的对角线AC,30相交于点。，点E是边AB的

B

3.（2021•株洲市）《蝶几图》是明朝人戈汕所作一部组合家具的设计图（蠕，同“蝶”）,

它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、

大三斜两只，共十三只（图①中的“槎”和“集”为“样”和“只”）.图②为某蝶几设计

图，其中△A3。和△CBO为“大三斜”组件（“一棣二堡”的大三斜组件为两个全等的等

腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线。Q对称，连接CP、DP.若

ZADQ=24°,则乙吐=度.

\

缝

修:

泌/

3加

M\

旧

方

+圃

口

/

图I图2

4.（2021•株洲市）如图所示，线段BC为等腰AABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE

交于点0,若0D=2,贝IJAC=

5.（2021•江苏省连云港）如图，菱形ABC。的对角线AC、80相交于点。，OELAD,

垂足为E,AC=8，BD=6,则OE的长为.

6.（2021•江苏省苏州市）如图，四边形ABC。为菱形，ZABC=70°,延长8c到E,

在NOCE内作射线CAf,使得NECM=15°,过点。作DFLCM,垂足为F.若DF=后,

则对角线8。的长为▲.（结果保留根号）

7.（2021•上海市）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的

最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2,中心为O,在正方形外有一点P,OP=2,

当正方形绕着点。旋转时，则点P到正方形的最短距离”的取值范围为

p

8.（2021•山西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BD=8,AC=6,

OE//AB,交BC于点E,则OE的长为

9.（2021•四川省凉山州）菱形ABC。中，对角线AC=1（）,80=24,则菱形的高等于

10.（2021•泸州市）如图，在边长为4的正方形ABC。中，点E是8C的中点，点尸在

上，且CF=3B凡AE,BF相交于点G,则“G尸的面积是.

11.（2021•四川省南充市）如图，点E是矩形A8CZ）边AO上一点，点凡G,H分别是

BE,BC,CE的中点，AF=3,则G4的长为

D

12.（2021•青海省）如图，正方形ABC。的边长为8,点"在。C上且。例=2,N是4c

上的一动点，则。N+MN的最小值是

13.（2021•浙江省绍兴市）图1是--种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在

矩形4BC。的对角线BO上，则BC长为cm（结果保留根号）.

14.（2021•浙江省台州）如图，点E,F,G分别在正方形ABCQ的边AB,BC,上,

AFA.EG.若AB=5,AE=DG=1,则8尸=_____.

15.（2021•湖北省十堰市）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点,

若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.

16.（2021•北京市）如图，在矩形48切中，点6,尸分别在比；加上，AF=EC.只需添加

一个条件即可证明四边形力的是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

17.（2021•广西贺州市）如图，在矩形ABC。中，E，尸分别为BC,ZM的中点，以CO

为斜边作RtAGCD,G£>=GC,连接GE,GF.若BC=2GC,则/EGF=_______.

「ED

BFC

18.（2021•呼和浩特市）已知菱形ABC£>的面积为26，点E是一边3c上的中点，点户

是对角线3。上的动点.连接AE,若46平分ZBAC,则线段尸£与PC的和的最小值为

最，最大值为.

19.（2021•内蒙古包头市）如图，8。是正方形A8CD的一条对角线，E是8。上一点，F是

CB延长线上一点，连接CE,EF,AF.若=EF=EC,则N84厂的度数为

20.（2021•襄阳市）如图，正方形ABCD的对角线相交于点。，点E在边上，点尸在

C8的延长线上，ZEAF=45°,AE交BD于点、G,tanZBAE=~,BF=2,贝U

2

FG=.

21.（2021•贵州省贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，菱形A3C。对角线的交点坐标是

O（0,0）,点B的坐标是（0,1）,且BC=泥，则点A的坐标是

22.（2021•绥化市）在边长为4的正方形ABQD中，连接对角线AC、BD,点尸是正方

形边上或对角线上的一点，若PB=3PC，则PC=.

23.（2021•四川省眉山市）如图，在菱形A8C。中，AB=AC=W,对角线AC、8。相交于

点。，点M在线段4c上，且AM=3,点P为线段8。上的一个动点，则的最小

三、解答题

1.如图，的对角线AC,3。相交于点。，是等边三角形，AB=4.

（1）求证：QABC£＞是矩形;

(2)求AD的长.

2.(2021•株洲市)如图所示，在矩形A8CD中，点E在线段CO上，点尸在线段A3的

延长线上，连接£尸交线段于点G,连接8D，若DE=BF=2.

(1)求证：四边形8阻)是平行四边形；

2

(2)若tan/46Q=一，求线段BG的长度.

3

3.(2021•湖南省衡阳市)如图，点E为正方形ABCQ外一点，NAEB=90°,将RtZVIBE

绕A点逆时针方向旋转90°得到△4OF,。尸的延长线交BE于”点.

(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由;

(2)己知84=7,8c=13,求。，的长.

D

B

H

4.（2021•湖南省邵阳市）如图，在正方形ABC。中，对角线AC,BZ）相交于点。，点E,

产是对角线4c上的两点，且4E=CF.连接OE,DF,BE,BF.

（1）证明：

（2）若48=4M，AE=2,求四边形尸的周长.

5.（2021•江苏省连云港）如图，点C是8E的中点，四边形A3QD是平行四边形.

（1）求证：四边形4CE。是平行四边形;

（2）如果A3=AE，求证：四边形ACEO是矩形.

AD

BCE

6.（2021•江苏省扬州）如图，在AABC中，41C的角平分线交于点

DE//AB,DF//AC.

（1）试判断四边形AEDE的形状，并说明理由；

（2）若NB4c=90°,且AO=20，求四边形AFDE的面积.

7.（2021•山东省泰安市）四边形4BCD为矩形，E是AB延长线上的一点.

（1）若AC=EC,如图1,求证：四边形BECD为平行四边形；

（2）若AB=AQ,点尸是AB上的点，AF=BE,EGLAC于点G,如图2,求证：/XDGF

是等腰直角三角形.

图1图2

8.（2021•遂宁市）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点。，过点。

的直线EF与8A、DC的延长线分别交于点E、F.

（1）求证：AE=CF；

（2）请再添加一个条件，使四边形8FDE是菱形，并说明理由.

AD

9.（2021•四川省自贡市）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点.求证:

DE=BF.

10.（2021•湖北省恩施州））如图，矩形ABC。的对角线AC,8力交于点O,5.DE//AC,

AE//BD,连接OE.求证：OE_LAQ.

11.（2021•浙江省金华市）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC,30相交于点。，ZBOC

=120°,AB=2.

（1）求矩形对角线的长.

（2）过。作于点E,连结BE.记NABE=a,求tana的值.

E

D

12.（2021•江苏省盐城市）如图，D、E、尸分别是AABC各边的中点，连接。E、EF、AE.

（1）求证：四边形AOEF为平行四边形；

（2）加上条件后，能使得四边形/为菱形，请从①N84C=90°；②AE平

分/84C；③A8=AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明.

13.（2021•湖北省十堰市）如图，已知AABC中，。是AC的中点，过点。作。E_LAC

交8c于点E,过点A作A///BC交OE于点F,连接AE、CF.

(1)求证：四边形AEb菱形；

(2)若Cr=2,N£4C=30°,ZB=45°,求AB的长.

14.(2021•湖南省张家界市)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与3。相交于点。,

408=60",对角线4C所在的直线绕点。顺时针旋转角。(0°<«<120°),所得

的直线/分别交AO,BC于点E,F.

(1)求证：AAOE=ACOF；

(2)当旋转角tz为多少度时，四边形4尸。£为菱形？试说明理由.

15.(2021•福建省)如图，在正方形ABC。中，E,尸为边AB上的两个三等分点，点A关

于。E的对称点为A',44'的延长线交8c于点G.

(1)求证：DE//A1尸；

(2)求NG4'8的大小；

(3)求证：A'C=2A'B.

FB

16.（2021•襄阳市）如图，80为oABCD的对角线.

（1）作对角线BO的垂直平分线，分别交AO，BC,BD于点、E，F，0（尺规作图,

不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接BE,DF.求证：四边形BEDF为菱形.

17.（2021•吉林省长春市）实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD,将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点8落

在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠，

使AZ）与AM重合，折痕为AF,则NE4F=度.

操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现，当点E

的位置不同时，点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE

上，则/4£户二度.

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设AM与NF的交点为点正求证△/WP之△”£：.

（2）若AB=G,则线段AP的长为.

18.（2021•贵州省贵阳市）如图，在矩形ABCO中，点M在。C上，AM=AB,且BN_L

AM,垂足为N.

（1）求证：XABN空/

（2）若AO=2,AN=4,求四边形8CMN的面积.

19.（2021•呼和浩特市）如图，四边形ABC0是平行四边形，〃。9且分别交对角线AC

于点E,F.

（1）求证：AABE'CDF；

（2）当四边形ABC。分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形尸的形状（无需说明

理由）

答案

一、选择题

1.（2021•安徽省）如图，在菱形ABC。中，AB=2,NA=120°,过菱形ABC。的对称中

心。分别作边A8,BC的垂线，交各边于点E,F,G,H,则四边形EFG”的周长为（）

A

A.3+石B.2+273C.2+V3D.1+273

【答案】A

【解析】

【分析】依次求出0E=。尸=OG=OH,利用勾股定理得出EF和0E的长，即可求出该四边形

的周长.

【详解】,：HFLBC,EGA.AB,

：./BEO=NBFO=90°,

ZA=120°,

.,.ZB=60°,

ZEOF=120°,ZEOH=60°,

由菱形的对边平行，得HF_LAO,EG_LCZ）,

因为O点是菱形ABCD的对称中心，

；.O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH,

ZOEF=ZOFE=3Q°,ZOEH=ZOHE=60°,

Z.NHEF=NEFG=NFGH=NEHG=90。,

所以四边形EFGH是矩形：

设OE=OF=OG=OH=x,

EG=HF=2x,EF=HG=^（2x）2-x2=瓜，

如图，连接AC,则AC经过点。，

可得三角形ABC是等边三角形，

AZBAC=60°,AC=AB=2,

.•.OA=1,/AOE=30°,

1

：.AE=-f

，四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=2Gx+2x=2^x—+2x—=3+,

22

故选A.

2.（2021•海南省）如图，在菱形ABC。中，点E、尸分别是边BC、C。的中点，连接4E、

AF.EF.若菱形A5CD的面积为8,则△AEF的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2021•重庆市4）如图，正方形ABC。的对角线AC,8。交于点O,M是边A。上一点，

连接OM，过点。做ONLOM,交C£＞于点N.若四边形MONO的面积是1,则4B的长为

（）

A.IB.V2C.2D.2夜

【答案】C

【解析】

【分析】先证明△MA0=AND0（AS4）,再证明四边形MOM）的面积等于，&Q4O的面

积，继而解得正方形的面积，据此解题.

【详解】解：在正方形A8Q9中，对角线BQ1.AC,

:.ZAOD^90°

-,-ON1OM

AMON^90°

：.ZAOM=ADON

又ZMAO=ANDO=45°,AO=DO

:.^MAO^NDO（ASA）

…°dNDO

•.•四边形MON。的面积是1,

S«DAO~1

•••正方形ABCD的面积是4,

AB2=4

：.AB=2

故选：C.

4.（2021•四川省成都市）.如图，四边形ABC。是菱形，点E,尸分别在8C,DC边上,

添加以下条件不能判定丝△4£）尸的是（）

A.BE=DFB.NBAE=NDAFC.AE=ADD.NAEB=NAFD

【分析】由四边形ABC。是菱形可得：AB-AD,NB=ND，再根据每个选项添加的条

件逐一判断.

【解答】解：由四边形ABC。是菱形可得：AB=AD,NB=ND,

A、添加BE=QF,可用SAS证明△ABE丝ZvlOF,故不符合题意；

B、添加NBAE=/D4F,可用ASA证明△ABE0△AZ）F,故不符合题意；

C、添加AE=AO,不能证明AABE四△A。凡故符合题意；

D、添加可用4As证明△ABE彩AW凡故不符合题意；

故选：C

5.（2021•四川省南充市）如图，在菱形48CO中，NA=60°,点E,尸分别在边AB,

BC上，AE=BF=2,△DE'F'的周长为3加，则AO的长为（）

【分析】连结B。，作垂足为“，先证明△AB。是等边三角形，再根据SAS证

明△ADE丝△BDF,得到△£>£/是等边三角形，根据周长求出边长。E=遥，设AH=x,

则HE=2-x,。，=两,在RtZXEWE中，根据勾股定理列方程求出苍进而得到AD=2x

的值.

【解答】解：如图，连结8。，作垂足为H,

•.•四边形A8CZ）是菱形，

：.AB=AD,AD//BC,

VZA=60°,

.♦.△ABD是等边三角形，NABC=180°-NA=120°,

：.AD=BD,AABD=ZA=ZADB=60Q,

.•./£>8C=/ABC-NA8£>=120°-60°=60°,

"：AE=BF,

：.△A。&ABDF（SAS）,

DE=DF,ZFDB=ZADE,

：.NEDF=ZEDB+ZFDB^NEDB+NADE=ZADB=60°,

尸是等边三角形，

「△OEF的周长是3近,

设AH=x，则HE=2-x,

"：AD=BD,DHLAB,

...NAQHTNAQB=30°,

2

AD=2~x,DH=，

在Rt^Q”£中，DH2+HE2=DE2,

；.（心）2+（2-x）2=（V6）2,

解得：》=上突负值舍去），

*••AZ）--2JL—1+A/"^，

6.（2021•广西玉林市）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形:

两组对边分别相等员一组对边平行且相等

c.一组邻边相等一个角是直角

顺次添加的条件：①a-c—d②bfdfc③a-%-c则正确的是：（）

A,仅①B.仅③C.①②D.②③

【答案】C

7.（2021•浙江省宁波市）如图是一个由5张纸片拼成的相邻纸片之间互不重

叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，，另两张直角三角形纸片的面积

都为S2,中间一张矩形纸片EFG”的面积为S3,F”与GE相交于点0.当

△AECUBWmCGOg。"。的面积相等时，下列结论一定成立的是（)

C.AB-ADD.

EH=GH

【答案】A

【解析】

【分析】根据和aBCG是等腰直角三角形,四边形A2C。是平行四边形，四边形HEFG

是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a,HE=GF,GH=EF,点、O是矩形HEFG的中心，设

AE=DE=BG=CG=a,HE=GF=b,GH=EF=c,过点。作OP_LEF于点P,OQ_LGF于点Q,

可得出OP,。。分别是AFHE和AEGF的中位线，从而可表示。P,。。的长，再分别计算

出邑，53进行判断即可

【详解】解：由题意得，△4ED和ABCG是等腰直角三角形，

ZADE=ZDAE=ZBCG=ZGBC=45°

四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC,CD=AB,ZADC=ZABC,NBAD=NDCB

:.NHDC=NFBA,NDCH=NBAF,

:./XAED名ACGB,△CDH/BF

：.AE=DE=BG=CG

•.•四边形”EFG是矩形

:.GH=EF,HE=GF

设AE=DE=BG=CG=a,HE=GF=b,GH=EF=c

过点。作OP_LE尸于点P,OQ_LGF于点。，

Z.OPUHE,OQ//EF

:点。是矩形"EFG对角线交点，即“尸和EG的中点,

AOP,0。分别是AFHE和AEG尸的中位线，

A0P^-HE=-b,OQ^-EF^-c

2222

---S"OF=gBF・OQ=g(a_b)xgc=；(a_b)c

SMOE=；AE.OP=；ax(b='b

，-(a-b')c=-ah,EPac-bc=ab

44

而5=3.m=54小。E=5"，

11121212

S-,—SM*、B=-AF+BF——(a+c)(a—b)——(iz—ab+ac—he)——(a~-cib+cih)——ci

2222

所以，5,=S2,故选项A符合题意，

212

S3=HE*EF=(a-b)(a+c)-a-bc-ab+ac=a+ah-ah=a

：.S^S3,故选项8不符合题意，

而AB=A£)于E〃=G”都不一定成立，故C。都不符合题意，

故选：A

8.(2021•浙江省温州市)由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABC。

如图所示.过点。作。F的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连结CG,延长

BE交CG于点H.若AE=2BE,则竺()

BH

£

B

A.3B.V2c.D.因5

275

［分析】如图，过点G作GTA.CF交CF的延长线于7,设BH交CF于MAE交DF于N.设

BE=AN=CH=DF=a，则AE=5M=CF=QN=2〃,想办法求出B”,CG,可得结论.

【解答】解：如图，过点G作GTLCF交CF的延长线于T/E交。/于N,则AE=3M=

CF=DN=2a,

：.EN=EM=MF=FN=a,

・・•四边形ENFM是正方形，

工/EFH=/TFG=45°,/NFE=/DFG=45°,

VGT1TF,DF1DG,

AZTGF=ZTFG=ZDFG=ZDGF=45°,

:.TG=FT=DF=DG=a,

••CT=3a,CG=\（8a）2+a2=W^”

•:MH〃TG,

:・CM:CT=MH;TG=7,

3

BH=5Q+L=&,

33

・CG=迎恒=3A/IQ

BH工a7

2a

故选：C.

9.（2021•重庆市8）如图，把含30。的直角三角板PMN放置在正方形A8CD中，NPMN

=30。，直角顶点尸在正方形ABC。的对角线8。上，点M,N分别在A8和C。边上，

MN与BD交于点、0,且点。为MN的中点，则N4M尸的度数为（)

A.60°B.65°C.75°D.80°

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OM=OP,从而得出NQPM

=150°,利用四边形内角和定理即可求得.

【解答】解：在阳△PMN中，NMPN=90。,

•・・。为MN的中点，

・・・°2=抑=0M，

VZPW=30°,

・・・NMPO=30。，

AZ£>PM=150°,

在四边形AQPM中，

VZA=90°fZADB=45°fZDPM=150°f

・•・NAMP=360。-NA-ZADB-/DPM

=360°-90°-45°-150°

=75°.

故选：C.

10.（2021•湖北省江汉油田）如图，在正方形ABC。中，A5=4,E为对角线AC上与A,

C不重合的一个动点，过点E作石尸，A5于点尸，£6,3。于点6,连接。及厂G.下

列结论:

AD

①DE=FG；②）DE人FG；③ZBFG=ZADE：④FG的最小值为3.其中正确结论

的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】延长。E，交FG于点N,交AB于点、M，连接3E,交FG于点。，先根据正

方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出OE=BE，再根据矩形的判定与性质可得

BE=FG,由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得N4BE=NAOE，再根据矩形

的性质可得OB=Ob,然后根据等腰三角形的性质可得NBFGnNABE,由此可判断③;

根据直角三角形的性质可得NA0E+NAMD=9O°,从而可得N3FG+N/4MD=90°,

由此可判断②；先根据垂线段最短可得当AC时，DE取得最小值，再解直角三角形

可得DE的最小值，从而可得FG的最小值，由此可判断④.

【详解】解：如图，延长。石，交FG于点N,交A3于点〃，连接8E,交FG于点0,

•••四边形ABC。是正方形，AB=4,

AD=AB=4,/ABC=NBAD=90°,NBAE=ZDAE=45°,

AB=AD

△ABE和△?1£＞七中，,N3AE=NOAE,

AE=AE

：.^ABE三AADE（SAS）,

BE=DE,ZABE=ZADE,

ZABC=90°,EF±AB,EGLBC,

二四边形8EEG是矩形，

:.BE=FG,OB=OF,

:.DE=FG,即结论①正确；

•;OB=OF,

：./BFG=ZABE,

：.ZBFG=ZADE,即结论③正确；

QN84Z）=90。，

:.ZADE+ZAMD=9Q°,

:.ZBFG+ZAMD^90°,

:./FNM=9Q。,即DE人FG,结论②正确；

由垂线段最短可知，当OELAC时，OE取得最小值，

此时在Rt^ADE中，DE=AD-sinZDAE=4义上一=2逝，

2

又,；DE=FG,

.•.EG的最小值与DE的最小值相等，即为2及，结论④错误；

综上，正确的结论为①②③，共有3个，

故选：C.

11.（2021•内蒙古包头市）如图，在AAbC中，AB^AC,△OBC和AAbC关于直线BC

对称，连接AQ,与BC相交于点O,过点C作C£_LCZ）,垂足为C,与AZ）相交于点£若

yOF+AF

AD=S,BC=6,则，------值为（）

BD

D

55

C.一D.一

34

【答案】D

12.（2021•深圳）在矩形ABC。中，AB=2,点E是8C边的中点，连接,延长EC

至点F,使得所=£应，过点F作EGLOE,分别交C。、AB于MG两点，连接CM、

EG、EN,下列正确的是（）

①tanNGFB=；；②MN=NC；③段=：；④S四边形GBEW=2^^-

/COZZ

A.4B.3C.2D.1

FC1

【解答】①tanNGEB=tanNEDC=—2=—,①正确;

CD2

②力MN=4NCF=90°,ZMND=ZCNF,

：.NMDN=/CFN,

'：NECD=NEMF,EF=ED,AMDN=NCFN,

：.△DE84FEM(SAS),：.EM=EC,：.DM=FC,

•：ZMDN=4CFN,ZMND=NCNF,DM=FC,

4DMN会4FCN(AAS),：.MN=NC,故②正确；

③•：BE=EC,ME=EC,：.BE=ME,

；在RfAGBE和Rf^GME中:BE=ME,GE=GE,

；.RtAGBE迫RtAGME(HL),:.ZBEG=NMEG,

ME=EC,：.ZEMC=ZECM,

又ZEMC+ZECM=ABEG+AMEG,

CMCF

：.ZGEB=ZMCE,：.MC//GE,：.——=——，

EGEF

•••EF=DE7EC、CD2=6,CF=EF-EC=45-\,

.CM_CF_V5-15-75

故③错误;

"~EG~"EF~75-5

④由上述可知：BE=EC=1,CF=h：.BF=&\,

•：tanZF=tanZEDC=—=：.GB=-BF=

BF222

S四边形GBE”=2SAGBA--•BE-BG-—,故④正确.

故选B.

二.填空题

1.（2021•湖南省衡阳市）如图1,菱形ABCO的对角线AC与8。相交于点O,P、Q两

点同时从。点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为

O-A-O-O,点。的运动路线为0-C-8-0.设运动的时间为x秒，P、。间的距离

为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A-O段上运动且尸、Q

两点间的距离最短时，P、。两点的运动路程之和为（2、隔3）厘米.

图1图2

【分析】结合图象当点P运动到A点，点。运动到C点时，即AC=2«“〃，同理求出

BD=2cm,利用菱形性质即可求出4。=48=8。=£^=2£77?,再由题意易知当点P在A

-O段上运动，P、Q两点的最短时P、。分别位于A。、BC的中点时，求出此时尸、Q

两点的运动路程之和即可.

【解答】解：由图分析易知：当点尸从O-A运动时，点。从O-C运动时，y不断增大，

当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y=PQ=2«c〃?，

'.AC=2-\[2cm,

:四边形ABCD为菱形，

：.AC±BD,0A=。。=4，=心机，

当点尸运动到。点，。运动到8点，结合图象，易知此时，y—BD—lcm.

：.0D=0B=LBD=1C,%

2

在RtAADO中，3八人2祀D2=J（收2+]2=2（cm）,

：.AD=AB=BC=DC=2cm,

如图，当点P在A-O段上运动，点尸运动到点E处，点Q在C-8段上运动，点。运

图1__

此时，OE=OF=°A'°D=近*1

AD22

A"”=而正行=在|="|'

当点P在A-£＞段上运动且尸、Q两点间的距离最短时，P、。两点的运动路程之和为:

q

（F号）X2=2«+3（cm）

故答案为：（2/§+3）.

2.（2021•长沙市）如图，菱形ABCD的对角线AC,3。相交于点。，点E是边AB的

【答案】12

3.（2021•株洲市）《蝶几图》是明朝人戈汕所作一部组合家具的设计图（嘘，同“蝶”）,

它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、

大三斜两只，共十三只（图①中的“棣”和“宴’为"样”和“只”）.图②为某蝶几设计

图，其中△A3。和AaB。为“大三斜”组件（“一梯二堡”的大三斜组件为两个全等的等

腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线。Q对称，连接CQ、DP.若

ZA£>Q=24°,则N/O3=度.

图1图2

【答案】21

4.（2021•株洲市）如图所示，线段BC为等腰4ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE

交于点0,若0D=2,则AC=.

【答案】4

5.（2021•江苏省连云港）如图，菱形A3C。的对角线AC、BO相交于点O,OEJ.4）,

垂足为E,AC=8,BD=6,则OE的长为一

12

【答案】—

5

【解析】

【分析】直接利用菱形的性质得出AO,DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而

利用等面积法得出答案.

【详解】解：・.,菱形ABC。的对角线AC、8。相交于点。，且AO8,DB=6,

・・・A0=4,00=3,NAOD=90。，

：.AD=5f

在中，由等面积法得：；AOgDO=,

AO§PO_3,4_12

.・UtL--------------------------

AD55

12

故答案为：—.

6.（2021•江苏省苏州市）如图，四边形A8C。为菱形，ZABC=70°,延长BC到E,

在NOCE内作射线CM,使得NECM=15°,过点。作DF±CM,垂足为F.若DF=#）,

则对角线的长为▲.（结果保留根号）

【分析】连接AC交BC于H,证明△OCH丝△OCF,得出。”的长度，再根据菱形的性

质得出BO的长度.

【解答】解：如图，连接AC交8。于点"

由菱形的性质的N8OC=35°,NDCE=70°,

又；NMCE=15°,

：.ZDCF=55°,

•：DF工CM,

：.ZCDF=35°,

又；四边形是菱形，

.•.8Z)平分/AOC,

：.ZHDC=35°,

在△CD"和△CQF中，

'NCHD=NCFD

<Z