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文档简介
2021全国中考真题分类汇编(四边形)
——矩形、菱形、正方形
一、选择题
1.(2021•安徽省)如图,在菱形A8C。中,45=2,NA=120°,过菱形ABC。的对称中
心。分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFG”的周长为()
A.3+百B.2+2&C.2+V3D.1+273
2.(2021•海南省)如图,在菱形48CO中,点E、F分别是边BC、C£>的中点,连接AE、
AF.EF.若菱形ABC。的面积为8,则△4£:产的面积为()
A.2B.3C.4D.5
3.(2021•重庆市4)如图,正方形A8CQ的对角线AC,BD交于点O,M是边AO上一点,
连接。M,过点。做ON_LOM,交CD于点、N.若四边形MONZ)的面积是1,则A8的长为
C.2D.2夜
4.(2021•四川省成都市).如图,四边形ABC。是菱形,点E,F分别在8C,0c边上,
添加以下条件不能判定尸的是()
A.BE=DFB.NBAE=/DAFC.AE=ADD.ZAEB=ZAFD
5.(2021•四川省南充市)如图,在菱形ABC。中,/A=60°,点E,尸分别在边AB,
BC上,AE=BF=2,△£)£■尸的周长为3加,则的长为()
D
A.娓B.273C.V3+1D.273-1
6.(2021•广西玉林市)一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形:
4.两组对边分别相等6.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等。一个角是直角
顺次添加的条件:①a—ffd②bf<jfc③a—Z?-c则正确的是:()
A.仅①B.仅③C.①②D.②③
7.(2021•浙江省宁波市)如图是一个由5张纸片拼成的QABC。,相邻纸片之间互不重
叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为5,另两张直角三角形纸片的面积
都为S?,中间一张矩形纸片EFG”的面积为S3,FH与GE相交于点O.当
的面积相等时,下列结论一定成立的是()
C.AB=ADD.EH=GH
8.(2021•浙江省温州市)由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABC。
如图所示.过点。作。下的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连结CG,延长
BE交CG于点、H.若AE=2BE,则堡.()
BH
C3技
2,7D善
9.(2021•重庆市8)如图,把含30。的直角三角板PMN放置在正方形ABCO中,NPMN
=30°,直角顶点户在正方形A8CC的对角线上,点M,N分别在AB和CC边上,
MN与8。交于点O,且点。为MN的中点,则/AMP的度数为()
C.75°D.80°
10.(2021•湖北省江汉油田)如图,在正方形ABCD中,A3=4,E为对角线AC上与A,
C不重合的一个动点,过点E作EF_LAB于点尸,EGLBC于点G,连接。E,FG.下
列结论:
AD
①DE=FG;②)DE人FG;③ZBFG=ZADE:④FG的最小值为3.其中正确结论
的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.(2021•内蒙古包头市)如图,在AABC中,AB^AC,△D3C和AABC关于直线BC
对称,连接AD,与BC相交于点O,过点C作CE_LCD,垂足为C,与A。相交于点£若
7DF+AF
AD=S,BC=6,则上------值为()
BD
12.(2021•深圳)在矩形ABCO中,AB=2,点E是8C边的中点,连接。E,延长EC
至点F,使得EF=DE,过点尸作EGLOE,分别交C。、AB于N、G两点,连接CM、
EG、EN,下列正确的是()
①tan/GFB=;;②MN=NC;③弁=:;®SmcBEM
Z£S(,jZZ
A.4B.3C.2D.1
二.填空题
1.(2021•湖南省衡阳市)如图1,菱形ABC。的对角线4C与8。相交于点O,P、Q两
点同时从。点出发,以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为
O-A-D-O,点Q的运动路线为O-C-B-O.设运动的时间为x秒,P、Q间的距离
为y厘米,y与x的函数关系的图象大致如图2所示,当点P在A-Z)段上运动且尸、Q
两点间的距离最短时,P、Q两点的运动路程之和为厘米.
图1图2
2.(2021•长沙市)如图,菱形ABCO的对角线AC,30相交于点。,点E是边AB的
B
3.(2021•株洲市)《蝶几图》是明朝人戈汕所作一部组合家具的设计图(蠕,同“蝶”),
它的基本组件为斜角形,包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、
大三斜两只,共十三只(图①中的“槎”和“集”为“样”和“只”).图②为某蝶几设计
图,其中△A3。和△CBO为“大三斜”组件(“一棣二堡”的大三斜组件为两个全等的等
腰直角三角形),已知某人位于点P处,点P与点A关于直线。Q对称,连接CP、DP.若
ZADQ=24°,则乙吐=度.
\
缝
修:
泌/
3加
M\
旧
方
+圃
口
/
图I图2
4.(2021•株洲市)如图所示,线段BC为等腰AABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE
交于点0,若0D=2,贝IJAC=
5.(2021•江苏省连云港)如图,菱形ABC。的对角线AC、80相交于点。,OELAD,
垂足为E,AC=8,BD=6,则OE的长为.
6.(2021•江苏省苏州市)如图,四边形ABC。为菱形,ZABC=70°,延长8c到E,
在NOCE内作射线CAf,使得NECM=15°,过点。作DFLCM,垂足为F.若DF=后,
则对角线8。的长为▲.(结果保留根号)
7.(2021•上海市)定义:在平面内,一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的
最短距离,在平面内有一个正方形,边长为2,中心为O,在正方形外有一点P,OP=2,
当正方形绕着点。旋转时,则点P到正方形的最短距离”的取值范围为
p
8.(2021•山西)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=8,AC=6,
OE//AB,交BC于点E,则OE的长为
9.(2021•四川省凉山州)菱形ABC。中,对角线AC=1(),80=24,则菱形的高等于
10.(2021•泸州市)如图,在边长为4的正方形ABC。中,点E是8C的中点,点尸在
上,且CF=3B凡AE,BF相交于点G,则“G尸的面积是.
11.(2021•四川省南充市)如图,点E是矩形A8CZ)边AO上一点,点凡G,H分别是
BE,BC,CE的中点,AF=3,则G4的长为
D
12.(2021•青海省)如图,正方形ABC。的边长为8,点"在。C上且。例=2,N是4c
上的一动点,则。N+MN的最小值是
13.(2021•浙江省绍兴市)图1是--种矩形时钟,图2是时钟示意图,时钟数字2的刻度在
矩形4BC。的对角线BO上,则BC长为cm(结果保留根号).
14.(2021•浙江省台州)如图,点E,F,G分别在正方形ABCQ的边AB,BC,上,
AFA.EG.若AB=5,AE=DG=1,则8尸=_____.
15.(2021•湖北省十堰市)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,
若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.
16.(2021•北京市)如图,在矩形48切中,点6,尸分别在比;加上,AF=EC.只需添加
一个条件即可证明四边形力的是菱形,这个条件可以是(写出一个即可).
17.(2021•广西贺州市)如图,在矩形ABC。中,E,尸分别为BC,ZM的中点,以CO
为斜边作RtAGCD,G£>=GC,连接GE,GF.若BC=2GC,则/EGF=_______.
「ED
BFC
18.(2021•呼和浩特市)已知菱形ABC£>的面积为26,点E是一边3c上的中点,点户
是对角线3。上的动点.连接AE,若46平分ZBAC,则线段尸£与PC的和的最小值为
最,最大值为.
19.(2021•内蒙古包头市)如图,8。是正方形A8CD的一条对角线,E是8。上一点,F是
CB延长线上一点,连接CE,EF,AF.若=EF=EC,则N84厂的度数为
20.(2021•襄阳市)如图,正方形ABCD的对角线相交于点。,点E在边上,点尸在
C8的延长线上,ZEAF=45°,AE交BD于点、G,tanZBAE=~,BF=2,贝U
2
FG=.
21.(2021•贵州省贵阳市)如图,在平面直角坐标系中,菱形A3C。对角线的交点坐标是
O(0,0),点B的坐标是(0,1),且BC=泥,则点A的坐标是
22.(2021•绥化市)在边长为4的正方形ABQD中,连接对角线AC、BD,点尸是正方
形边上或对角线上的一点,若PB=3PC,则PC=.
23.(2021•四川省眉山市)如图,在菱形A8C。中,AB=AC=W,对角线AC、8。相交于
点。,点M在线段4c上,且AM=3,点P为线段8。上的一个动点,则的最小
三、解答题
1.如图,的对角线AC,3。相交于点。,是等边三角形,AB=4.
(1)求证:QABC£>是矩形;
(2)求AD的长.
2.(2021•株洲市)如图所示,在矩形A8CD中,点E在线段CO上,点尸在线段A3的
延长线上,连接£尸交线段于点G,连接8D,若DE=BF=2.
(1)求证:四边形8阻)是平行四边形;
2
(2)若tan/46Q=一,求线段BG的长度.
3
3.(2021•湖南省衡阳市)如图,点E为正方形ABCQ外一点,NAEB=90°,将RtZVIBE
绕A点逆时针方向旋转90°得到△4OF,。尸的延长线交BE于”点.
(1)试判定四边形AFHE的形状,并说明理由;
(2)己知84=7,8c=13,求。,的长.
D
B
H
4.(2021•湖南省邵阳市)如图,在正方形ABC。中,对角线AC,BZ)相交于点。,点E,
产是对角线4c上的两点,且4E=CF.连接OE,DF,BE,BF.
(1)证明:
(2)若48=4M,AE=2,求四边形尸的周长.
5.(2021•江苏省连云港)如图,点C是8E的中点,四边形A3QD是平行四边形.
(1)求证:四边形4CE。是平行四边形;
(2)如果A3=AE,求证:四边形ACEO是矩形.
AD
BCE
6.(2021•江苏省扬州)如图,在AABC中,41C的角平分线交于点
DE//AB,DF//AC.
(1)试判断四边形AEDE的形状,并说明理由;
(2)若NB4c=90°,且AO=20,求四边形AFDE的面积.
7.(2021•山东省泰安市)四边形4BCD为矩形,E是AB延长线上的一点.
(1)若AC=EC,如图1,求证:四边形BECD为平行四边形;
(2)若AB=AQ,点尸是AB上的点,AF=BE,EGLAC于点G,如图2,求证:/XDGF
是等腰直角三角形.
图1图2
8.(2021•遂宁市)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点。,过点。
的直线EF与8A、DC的延长线分别交于点E、F.
(1)求证:AE=CF;
(2)请再添加一个条件,使四边形8FDE是菱形,并说明理由.
AD
9.(2021•四川省自贡市)如图,在矩形ABCD中,点E、F分别是边AB、CD的中点.求证:
DE=BF.
10.(2021•湖北省恩施州))如图,矩形ABC。的对角线AC,8力交于点O,5.DE//AC,
AE//BD,连接OE.求证:OE_LAQ.
11.(2021•浙江省金华市)已知:如图,矩形ABCD的对角线AC,30相交于点。,ZBOC
=120°,AB=2.
(1)求矩形对角线的长.
(2)过。作于点E,连结BE.记NABE=a,求tana的值.
E
D
12.(2021•江苏省盐城市)如图,D、E、尸分别是AABC各边的中点,连接。E、EF、AE.
(1)求证:四边形AOEF为平行四边形;
(2)加上条件后,能使得四边形/为菱形,请从①N84C=90°;②AE平
分/84C;③A8=AC这三个条件中选择1个条件填空(写序号),并加以证明.
13.(2021•湖北省十堰市)如图,已知AABC中,。是AC的中点,过点。作。E_LAC
交8c于点E,过点A作A///BC交OE于点F,连接AE、CF.
(1)求证:四边形AEb菱形;
(2)若Cr=2,N£4C=30°,ZB=45°,求AB的长.
14.(2021•湖南省张家界市)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与3。相交于点。,
408=60",对角线4C所在的直线绕点。顺时针旋转角。(0°<«<120°),所得
的直线/分别交AO,BC于点E,F.
(1)求证:AAOE=ACOF;
(2)当旋转角tz为多少度时,四边形4尸。£为菱形?试说明理由.
15.(2021•福建省)如图,在正方形ABC。中,E,尸为边AB上的两个三等分点,点A关
于。E的对称点为A',44'的延长线交8c于点G.
(1)求证:DE//A1尸;
(2)求NG4'8的大小;
(3)求证:A'C=2A'B.
FB
16.(2021•襄阳市)如图,80为oABCD的对角线.
(1)作对角线BO的垂直平分线,分别交AO,BC,BD于点、E,F,0(尺规作图,
不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接BE,DF.求证:四边形BEDF为菱形.
17.(2021•吉林省长春市)实践与探究
操作一:如图①,已知正方形纸片ABCD,将正方形纸片沿过点A的直线折叠,使点8落
在正方形ABCD的内部,点B的对应点为点折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠,
使AZ)与AM重合,折痕为AF,则NE4F=度.
操作二:如图②,将正方形纸片沿EF继续折叠,点C的对应点为点N.我们发现,当点E
的位置不同时,点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时,点N恰好落在折痕AE
上,则/4£户二度.
在图②中,运用以上操作所得结论,解答下列问题:
(1)设AM与NF的交点为点正求证△/WP之△”£:.
(2)若AB=G,则线段AP的长为.
18.(2021•贵州省贵阳市)如图,在矩形ABCO中,点M在。C上,AM=AB,且BN_L
AM,垂足为N.
(1)求证:XABN空/
(2)若AO=2,AN=4,求四边形8CMN的面积.
19.(2021•呼和浩特市)如图,四边形ABC0是平行四边形,〃。9且分别交对角线AC
于点E,F.
(1)求证:AABE'CDF;
(2)当四边形ABC。分别是矩形和菱形时,请分别说出四边形尸的形状(无需说明
理由)
答案
一、选择题
1.(2021•安徽省)如图,在菱形ABC。中,AB=2,NA=120°,过菱形ABC。的对称中
心。分别作边A8,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFG”的周长为()
A
A.3+石B.2+273C.2+V3D.1+273
【答案】A
【解析】
【分析】依次求出0E=。尸=OG=OH,利用勾股定理得出EF和0E的长,即可求出该四边形
的周长.
【详解】,:HFLBC,EGA.AB,
:./BEO=NBFO=90°,
ZA=120°,
.,.ZB=60°,
ZEOF=120°,ZEOH=60°,
由菱形的对边平行,得HF_LAO,EG_LCZ),
因为O点是菱形ABCD的对称中心,
;.O点到各边的距离相等,即OE=OF=OG=OH,
ZOEF=ZOFE=3Q°,ZOEH=ZOHE=60°,
Z.NHEF=NEFG=NFGH=NEHG=90。,
所以四边形EFGH是矩形:
设OE=OF=OG=OH=x,
EG=HF=2x,EF=HG=^(2x)2-x2=瓜,
如图,连接AC,则AC经过点。,
可得三角形ABC是等边三角形,
AZBAC=60°,AC=AB=2,
.•.OA=1,/AOE=30°,
1
:.AE=-f
,四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=2Gx+2x=2^x—+2x—=3+,
22
故选A.
2.(2021•海南省)如图,在菱形ABC。中,点E、尸分别是边BC、C。的中点,连接4E、
AF.EF.若菱形A5CD的面积为8,则△AEF的面积为()
A.2B.3C.4D.5
3.(2021•重庆市4)如图,正方形ABC。的对角线AC,8。交于点O,M是边A。上一点,
连接OM,过点。做ONLOM,交C£>于点N.若四边形MONO的面积是1,则4B的长为
()
A.IB.V2C.2D.2夜
【答案】C
【解析】
【分析】先证明△MA0=AND0(AS4),再证明四边形MOM)的面积等于,&Q4O的面
积,继而解得正方形的面积,据此解题.
【详解】解:在正方形A8Q9中,对角线BQ1.AC,
:.ZAOD^90°
-,-ON1OM
AMON^90°
:.ZAOM=ADON
又ZMAO=ANDO=45°,AO=DO
:.^MAO^NDO(ASA)
…°dNDO
•.•四边形MON。的面积是1,
S«DAO~1
•••正方形ABCD的面积是4,
AB2=4
:.AB=2
故选:C.
4.(2021•四川省成都市).如图,四边形ABC。是菱形,点E,尸分别在8C,DC边上,
添加以下条件不能判定丝△4£)尸的是()
A.BE=DFB.NBAE=NDAFC.AE=ADD.NAEB=NAFD
【分析】由四边形ABC。是菱形可得:AB-AD,NB=ND,再根据每个选项添加的条
件逐一判断.
【解答】解:由四边形ABC。是菱形可得:AB=AD,NB=ND,
A、添加BE=QF,可用SAS证明△ABE丝ZvlOF,故不符合题意;
B、添加NBAE=/D4F,可用ASA证明△ABE0△AZ)F,故不符合题意;
C、添加AE=AO,不能证明AABE四△A。凡故符合题意;
D、添加可用4As证明△ABE彩AW凡故不符合题意;
故选:C
5.(2021•四川省南充市)如图,在菱形48CO中,NA=60°,点E,尸分别在边AB,
BC上,AE=BF=2,△DE'F'的周长为3加,则AO的长为()
【分析】连结B。,作垂足为“,先证明△AB。是等边三角形,再根据SAS证
明△ADE丝△BDF,得到△£>£/是等边三角形,根据周长求出边长。E=遥,设AH=x,
则HE=2-x,。,=两,在RtZXEWE中,根据勾股定理列方程求出苍进而得到AD=2x
的值.
【解答】解:如图,连结8。,作垂足为H,
•.•四边形A8CZ)是菱形,
:.AB=AD,AD//BC,
VZA=60°,
.♦.△ABD是等边三角形,NABC=180°-NA=120°,
:.AD=BD,AABD=ZA=ZADB=60Q,
.•./£>8C=/ABC-NA8£>=120°-60°=60°,
":AE=BF,
:.△A。&ABDF(SAS),
DE=DF,ZFDB=ZADE,
:.NEDF=ZEDB+ZFDB^NEDB+NADE=ZADB=60°,
尸是等边三角形,
「△OEF的周长是3近,
设AH=x,则HE=2-x,
":AD=BD,DHLAB,
...NAQHTNAQB=30°,
2
AD=2~x,DH=,
在Rt^Q”£中,DH2+HE2=DE2,
;.(心)2+(2-x)2=(V6)2,
解得:》=上突负值舍去),
*••AZ)--2JL—1+A/"^,
6.(2021•广西玉林市)一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形:
两组对边分别相等员一组对边平行且相等
c.一组邻边相等一个角是直角
顺次添加的条件:①a-c—d②bfdfc③a-%-c则正确的是:()
A,仅①B.仅③C.①②D.②③
【答案】C
7.(2021•浙江省宁波市)如图是一个由5张纸片拼成的相邻纸片之间互不重
叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为,,另两张直角三角形纸片的面积
都为S2,中间一张矩形纸片EFG”的面积为S3,F”与GE相交于点0.当
△AECUBWmCGOg。"。的面积相等时,下列结论一定成立的是()
C.AB-ADD.
EH=GH
【答案】A
【解析】
【分析】根据和aBCG是等腰直角三角形,四边形A2C。是平行四边形,四边形HEFG
是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a,HE=GF,GH=EF,点、O是矩形HEFG的中心,设
AE=DE=BG=CG=a,HE=GF=b,GH=EF=c,过点。作OP_LEF于点P,OQ_LGF于点Q,
可得出OP,。。分别是AFHE和AEGF的中位线,从而可表示。P,。。的长,再分别计算
出邑,53进行判断即可
【详解】解:由题意得,△4ED和ABCG是等腰直角三角形,
ZADE=ZDAE=ZBCG=ZGBC=45°
四边形ABCD是平行四边形,
:.AD=BC,CD=AB,ZADC=ZABC,NBAD=NDCB
:.NHDC=NFBA,NDCH=NBAF,
:./XAED名ACGB,△CDH/BF
:.AE=DE=BG=CG
•.•四边形”EFG是矩形
:.GH=EF,HE=GF
设AE=DE=BG=CG=a,HE=GF=b,GH=EF=c
过点。作OP_LE尸于点P,OQ_LGF于点。,
Z.OPUHE,OQ//EF
:点。是矩形"EFG对角线交点,即“尸和EG的中点,
AOP,0。分别是AFHE和AEG尸的中位线,
A0P^-HE=-b,OQ^-EF^-c
2222
---S"OF=gBF・OQ=g(a_b)xgc=;(a_b)c
SMOE=;AE.OP=;ax(b='b
,-(a-b')c=-ah,EPac-bc=ab
44
而5=3.m=54小。E=5",
11121212
S-,—SM*、B=-AF+BF——(a+c)(a—b)——(iz—ab+ac—he)——(a~-cib+cih)——ci
2222
所以,5,=S2,故选项A符合题意,
212
S3=HE*EF=(a-b)(a+c)-a-bc-ab+ac=a+ah-ah=a
:.S^S3,故选项8不符合题意,
而AB=A£)于E〃=G”都不一定成立,故C。都不符合题意,
故选:A
8.(2021•浙江省温州市)由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABC。
如图所示.过点。作。F的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连结CG,延长
BE交CG于点H.若AE=2BE,则竺()
BH
£
B
A.3B.V2c.D.因5
275
[分析】如图,过点G作GTA.CF交CF的延长线于7,设BH交CF于MAE交DF于N.设
BE=AN=CH=DF=a,则AE=5M=CF=QN=2〃,想办法求出B”,CG,可得结论.
【解答】解:如图,过点G作GTLCF交CF的延长线于T/E交。/于N,则AE=3M=
CF=DN=2a,
:.EN=EM=MF=FN=a,
・・•四边形ENFM是正方形,
工/EFH=/TFG=45°,/NFE=/DFG=45°,
VGT1TF,DF1DG,
AZTGF=ZTFG=ZDFG=ZDGF=45°,
:.TG=FT=DF=DG=a,
••CT=3a,CG=\(8a)2+a2=W^”
•:MH〃TG,
:・CM:CT=MH;TG=7,
3
BH=5Q+L=&,
33
・CG=迎恒=3A/IQ
BH工a7
2a
故选:C.
9.(2021•重庆市8)如图,把含30。的直角三角板PMN放置在正方形A8CD中,NPMN
=30。,直角顶点尸在正方形ABC。的对角线8。上,点M,N分别在A8和C。边上,
MN与BD交于点、0,且点。为MN的中点,则N4M尸的度数为()
A.60°B.65°C.75°D.80°
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知:OM=OP,从而得出NQPM
=150°,利用四边形内角和定理即可求得.
【解答】解:在阳△PMN中,NMPN=90。,
•・・。为MN的中点,
・・・°2=抑=0M,
VZPW=30°,
・・・NMPO=30。,
AZ£>PM=150°,
在四边形AQPM中,
VZA=90°fZADB=45°fZDPM=150°f
・•・NAMP=360。-NA-ZADB-/DPM
=360°-90°-45°-150°
=75°.
故选:C.
10.(2021•湖北省江汉油田)如图,在正方形ABC。中,A5=4,E为对角线AC上与A,
C不重合的一个动点,过点E作石尸,A5于点尸,£6,3。于点6,连接。及厂G.下
列结论:
AD
①DE=FG;②)DE人FG;③ZBFG=ZADE:④FG的最小值为3.其中正确结论
的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】延长。E,交FG于点N,交AB于点、M,连接3E,交FG于点。,先根据正
方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出OE=BE,再根据矩形的判定与性质可得
BE=FG,由此可判断①;先根据三角形全等的性质可得N4BE=NAOE,再根据矩形
的性质可得OB=Ob,然后根据等腰三角形的性质可得NBFGnNABE,由此可判断③;
根据直角三角形的性质可得NA0E+NAMD=9O°,从而可得N3FG+N/4MD=90°,
由此可判断②;先根据垂线段最短可得当AC时,DE取得最小值,再解直角三角形
可得DE的最小值,从而可得FG的最小值,由此可判断④.
【详解】解:如图,延长。石,交FG于点N,交A3于点〃,连接8E,交FG于点0,
•••四边形ABC。是正方形,AB=4,
AD=AB=4,/ABC=NBAD=90°,NBAE=ZDAE=45°,
AB=AD
△ABE和△?1£>七中,,N3AE=NOAE,
AE=AE
:.^ABE三AADE(SAS),
BE=DE,ZABE=ZADE,
ZABC=90°,EF±AB,EGLBC,
二四边形8EEG是矩形,
:.BE=FG,OB=OF,
:.DE=FG,即结论①正确;
•;OB=OF,
:./BFG=ZABE,
:.ZBFG=ZADE,即结论③正确;
QN84Z)=90。,
:.ZADE+ZAMD=9Q°,
:.ZBFG+ZAMD^90°,
:./FNM=9Q。,即DE人FG,结论②正确;
由垂线段最短可知,当OELAC时,OE取得最小值,
此时在Rt^ADE中,DE=AD-sinZDAE=4义上一=2逝,
2
又,;DE=FG,
.•.EG的最小值与DE的最小值相等,即为2及,结论④错误;
综上,正确的结论为①②③,共有3个,
故选:C.
11.(2021•内蒙古包头市)如图,在AAbC中,AB^AC,△OBC和AAbC关于直线BC
对称,连接AQ,与BC相交于点O,过点C作C£_LCZ),垂足为C,与AZ)相交于点£若
yOF+AF
AD=S,BC=6,则,------值为()
BD
D
55
C.一D.一
34
【答案】D
12.(2021•深圳)在矩形ABC。中,AB=2,点E是8C边的中点,连接,延长EC
至点F,使得所=£应,过点F作EGLOE,分别交C。、AB于MG两点,连接CM、
EG、EN,下列正确的是()
①tanNGFB=;;②MN=NC;③段=:;④S四边形GBEW=2^^-
/COZZ
A.4B.3C.2D.1
FC1
【解答】①tanNGEB=tanNEDC=—2=—,①正确;
CD2
②力MN=4NCF=90°,ZMND=ZCNF,
:.NMDN=/CFN,
':NECD=NEMF,EF=ED,AMDN=NCFN,
:.△DE84FEM(SAS),:.EM=EC,:.DM=FC,
•:ZMDN=4CFN,ZMND=NCNF,DM=FC,
4DMN会4FCN(AAS),:.MN=NC,故②正确;
③•:BE=EC,ME=EC,:.BE=ME,
;在RfAGBE和Rf^GME中:BE=ME,GE=GE,
;.RtAGBE迫RtAGME(HL),:.ZBEG=NMEG,
ME=EC,:.ZEMC=ZECM,
又ZEMC+ZECM=ABEG+AMEG,
CMCF
:.ZGEB=ZMCE,:.MC//GE,:.——=——,
EGEF
•••EF=DE7EC、CD2=6,CF=EF-EC=45-\,
.CM_CF_V5-15-75
故③错误;
"~EG~"EF~75-5
④由上述可知:BE=EC=1,CF=h:.BF=&\,
•:tanZF=tanZEDC=—=:.GB=-BF=
BF222
S四边形GBE”=2SAGBA--•BE-BG-—,故④正确.
故选B.
二.填空题
1.(2021•湖南省衡阳市)如图1,菱形ABCO的对角线AC与8。相交于点O,P、Q两
点同时从。点出发,以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为
O-A-O-O,点。的运动路线为0-C-8-0.设运动的时间为x秒,P、。间的距离
为y厘米,y与x的函数关系的图象大致如图2所示,当点P在A-O段上运动且尸、Q
两点间的距离最短时,P、。两点的运动路程之和为(2、隔3)厘米.
图1图2
【分析】结合图象当点P运动到A点,点。运动到C点时,即AC=2«“〃,同理求出
BD=2cm,利用菱形性质即可求出4。=48=8。=£^=2£77?,再由题意易知当点P在A
-O段上运动,P、Q两点的最短时P、。分别位于A。、BC的中点时,求出此时尸、Q
两点的运动路程之和即可.
【解答】解:由图分析易知:当点尸从O-A运动时,点。从O-C运动时,y不断增大,
当点P运动到A点,点Q运动到C点时,由图象知此时y=PQ=2«c〃?,
'.AC=2-\[2cm,
:四边形ABCD为菱形,
:.AC±BD,0A=。。=4,=心机,
当点尸运动到。点,。运动到8点,结合图象,易知此时,y—BD—lcm.
:.0D=0B=LBD=1C,%
2
在RtAADO中,3八人2祀D2=J(收2+]2=2(cm),
:.AD=AB=BC=DC=2cm,
如图,当点P在A-O段上运动,点尸运动到点E处,点Q在C-8段上运动,点。运
图1__
此时,OE=OF=°A'°D=近*1
AD22
A"”=而正行=在|="|'
当点P在A-£>段上运动且尸、Q两点间的距离最短时,P、。两点的运动路程之和为:
q
(F号)X2=2«+3(cm)
故答案为:(2/§+3).
2.(2021•长沙市)如图,菱形ABCD的对角线AC,3。相交于点。,点E是边AB的
【答案】12
3.(2021•株洲市)《蝶几图》是明朝人戈汕所作一部组合家具的设计图(嘘,同“蝶”),
它的基本组件为斜角形,包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、
大三斜两只,共十三只(图①中的“棣”和“宴’为"样”和“只”).图②为某蝶几设计
图,其中△A3。和AaB。为“大三斜”组件(“一梯二堡”的大三斜组件为两个全等的等
腰直角三角形),已知某人位于点P处,点P与点A关于直线。Q对称,连接CQ、DP.若
ZA£>Q=24°,则N/O3=度.
图1图2
【答案】21
4.(2021•株洲市)如图所示,线段BC为等腰4ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE
交于点0,若0D=2,则AC=.
【答案】4
5.(2021•江苏省连云港)如图,菱形A3C。的对角线AC、BO相交于点O,OEJ.4),
垂足为E,AC=8,BD=6,则OE的长为一
12
【答案】—
5
【解析】
【分析】直接利用菱形的性质得出AO,DO的长,再利用勾股定理得出菱形的边长,进而
利用等面积法得出答案.
【详解】解:・.,菱形ABC。的对角线AC、8。相交于点。,且AO8,DB=6,
・・・A0=4,00=3,NAOD=90。,
:.AD=5f
在中,由等面积法得:;AOgDO=,
AO§PO_3,4_12
.・UtL--------------------------
AD55
12
故答案为:—.
6.(2021•江苏省苏州市)如图,四边形A8C。为菱形,ZABC=70°,延长BC到E,
在NOCE内作射线CM,使得NECM=15°,过点。作DF±CM,垂足为F.若DF=#),
则对角线的长为▲.(结果保留根号)
【分析】连接AC交BC于H,证明△OCH丝△OCF,得出。”的长度,再根据菱形的性
质得出BO的长度.
【解答】解:如图,连接AC交8。于点"
由菱形的性质的N8OC=35°,NDCE=70°,
又;NMCE=15°,
:.ZDCF=55°,
•:DF工CM,
:.ZCDF=35°,
又;四边形是菱形,
.•.8Z)平分/AOC,
:.ZHDC=35°,
在△CD"和△CQF中,
'NCHD=NCFD
<Z
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