新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第02讲 函数的单调性与最大（小）值（高频精讲）（解析版）

第02讲函数的单调性与最大（小）值(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 3第三部分：高频考点一遍过 5高频考点一：函数的单调性 5角度1：求函数的单调区间 5角度2：根据函数的单调性求参数 7角度3：复合函数的单调性 11角度4：根据函数单调性解不等式 13高频考点二：函数的最大（小）值 16角度1：利用函数单调性求最值 16角度2：根据函数最值求参数 18角度3：不等式恒成立问题 21角度4：不等式有解问题 25第四部分：高考新题型 28①开放性试题 28第五部分：数学思想方法 29①函数与方程的思想 29②数形结合的思想 30温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、函数的单调性（1）单调性的定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数（2）单调性简图：（3）单调区间（注意先求定义域）若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．2、函数的最值（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足①对于任意的，都有；②存在，使得则为最大值（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足①对于任意的，都有；②存在，使得则为最小值3、常用高频结论（1）设，.①若有或，则在闭区间上是增函数；②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.（2）函数相加或相减后单调性：设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）增增增减减减增减增减增减（3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．（4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．第二部分：高考真题回归1．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.2．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.3．（2021·全国（甲卷文）·高考真题）下列函数中是增函数的为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：函数的单调性角度1：求函数的单调区间典型例题例题1．（2023春·高一校考开学考试）函数的单增区间为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】.因为，，所以的增区间是．故选：D例题2．（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）已知函数，则的单调递增区间为__________.【答案】【详解】当时，单调递减；当时，，在上单调递增，在单调递减；故答案为：例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是_________；单调递减区间是_________．【答案】

，

，【详解】作出函数y=|-x2+2x+1|的图像，如图所示，观察图像得，函数y=|-x2+2x+1|在和上单调递增，在和上单调递减，所以原函数的单调增区间是，，单调递减区间是，.故答案为：，；，练透核心考点1．（2023·高一课时练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，开口向下，对称轴为，故其递增区间是；当时，，开口向上，对称轴为，在时，单调递减，综上：的单调递增区间是.故选：A.2．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数的增区间为______.【答案】【详解】任取，，因为，，当时，，，此时，，为增函数，所以函数的增区间为.故答案为：3．（2023·高一课时练习）函数的单调减区间是______．【答案】【详解】因为函数可化为，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数的单调递减区间为，故答案为：.角度2：根据函数的单调性求参数典型例题例题1．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得；易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增；若满足函数在上单调递增，则分段端点处的函数值需满足，如下图所示：所以，解得；综上可得.故选：A例题2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）已知，若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】令，则，所以，所以在上递减，因为函数在区间上为减函数，所以，得，故选：A例题3．（多选）（2023秋·福建龙岩·高一统考期末）若二次函数在区间上是增函数，则可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】AB【详解】二次函数对称轴为，因为二次函数在区间上是增函数，所以，解得.故选：AB.例题4．（2023秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】因为函数是定义在上的增函数，所以，解得.故答案为：练透核心考点1．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）若函数在上单调递增,则a的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，则，在上单调递增，满足题意；当时，的对称轴为，要使函数在上单调递增，只需，解得综上，a的取值范围是故选：D2．（2023春·湖南·高一湖南省东安县第一中学校联考开学考试）已知为增函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为为增函数，故，解得.故选：.3．（2023·高一课时练习）若是上的严格减函数，则实数的取值范围为______．【答案】【详解】因为函数是上的严格减函数，所以，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.4．（2023·高一课时练习）已知函数，是严格减函数，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】当时，函数为在区间上为增函数，不合题意；当时，要使函数，是严格减函数，则，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.角度3：复合函数的单调性典型例题例题1．（2023秋·河南安阳·高一统考期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，函数有意义，则有，得或，设，则当时，u关于x单调递减，当时，u关于x单调递增，又因为函数在定义域内单调递增，由复合函数单调性知可知的单调递减区间为．故选：A例题2．（2023·高三课时练习）已知在上是严格减函数，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】已知在上是严格减函数，由，函数在上是严格减函数，所以函数在定义域内是严格增函数，则有，又函数在上最小值，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间为__________．【答案】##【详解】解：函数的定义域为，令，，，因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调减区间为，单调增区间为.故答案为：.练透核心考点1．（2023春·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是____________.【答案】【详解】令，解得，则的定义域为，记，由于的对称轴为，故其在上单调递减，而在定义域内单调递增，由复合函数单调性的原则可知：在单调递减，故答案为：.2．（2023春·湖南邵阳·高一统考阶段练习）函数的单调递增区间是____________．【答案】##【详解】，或，是增函数，在上递减，在上递增，所以的增区间是．故答案为：．3．（2023·全国·高三专题练习）已知且，若函数在上是减函数，则的取值范围是__________【答案】【详解】令，当时，因为函数在上是减函数，所以函数在上是减函数，且成立，则，无解，当时，因为函数在上是减函数，所以函数在上是增函数，且成立，则，解得，综上：实数的取值范围是故答案为：角度4：根据函数单调性解不等式典型例题例题1．（2023春·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】画出的图象，如下：显然要满足，则要，且，解得：.故选：C例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵在上为增函数，且，∴，解得，故选：A．例题3．（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（

）．A． B．或C． D．【答案】D【详解】函数中，在上单调递减，在上单调递减，且，则函数在定义域上单调递减，，，解得：，即不等式的解集为.故选：D.例题4．（2023秋·山西大同·高一大同一中校考期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对，且定义域为，由复合函数单调性可知其在定义域单调递增，故，等价于，由，即，，解得；由，即，解得；故实数的取值范围为.故选：C.练透核心考点1．（2023·高一课时练习）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为.故选：C.2．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由且，，则两边同时除以可得，令，则在单调递增，由得且，即解得，故选：D.3．（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数在定义域上是减函数，且，则有解得，所以实数的取值范围是.故选：A．4．（2023·上海·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是__________.【答案】【详解】函数的定义域为.因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，又，所以不等式的解集为.故答案为：高频考点二：函数的最大（小）值角度1：利用函数单调性求最值典型例题例题1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知函数，则在上的最大值为（

）A．9 B．8 C．3 D．【答案】A【详解】函数的对称轴为，所以函数在上单调递减，.故选：A.例题2．（2023春·甘肃武威·高一统考开学考试）函数（）的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数的对称轴为，故函数在上单调递增，又，，所以函数（）的值域是故选：A.例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最大值为________．【答案】3【详解】与y=－log2(x＋2)都是[-1，1]上的减函数，所以函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[-1，1]上的减函数，∴最大值为：f（-1）=3故答案为3．例题4．（2023·高一单元测试）函数的最大值为____________【答案】5【详解】化简函数在上递减，所以当时，最大值为5.故答案为：5练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝在[2，3]上的最小值为（

）A．2 B．C． D．－【答案】B【详解】y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，故选：B.2．（2023·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B3．（2023·高一课时练习）已知函数，，则此函数的值域是____.【答案】【详解】因为函数在区间上为减函数，当时，，即.因此，函数，的值域为.故答案为：.4．（2023·高一课时练习）若函数（）的最大值为，最小值为.则______.【答案】1【详解】因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，，当时，，所以，所以，故答案为：1角度2：根据函数最值求参数典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数的值域为，所以，所以，解得或，所以实数的取值范围为.故选：A例题2．（2023·全国·高三专题练习）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；即当时，函数的最小值为，当时，，要使得函数的最小值为，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A.例题3．（2023·高三课时练习）已知函数有最小值，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】解：由题意，在中，∵函数有最小值，∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数，∴，解得：，∴有最小值时，实数a的取值范围是.故答案为：.例题4．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）若函数在区间上的最大值为，则实数_______.【答案】3【详解】∵函数，由复合函数的单调性知，当时，在上单调递减，最大值为；当时，在上单调递增，最大值为，即，显然不合题意，故实数.故答案为：3练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在定义域上的值域为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为的对称轴为，且所以若函数在定义域上的值域为，则故选：A2．（多选）（2023·高一课时练习）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（

）A． B．3 C． D．1【答案】BC【详解】解：因为函数，函数的对称轴为，开口向上，又在区间上的最小值为，所以当时，，解得（舍去）或；当，即时，，解得（舍去）或；当，即时，．综上，的取值集合为．故选：BC．3．（2023秋·浙江杭州·高二统考期末）写出使不等式恒成立的一个实数的值__________．【答案】不少于的任意一个实数【详解】解:因为恒成立,所以,即只需,因为,所以,故只需即可.故答案为:不少于的任意一个实数4．（2023秋·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为__________.【答案】【详解】解：函数的图象如下，当时，令，得舍，，当时，令，得，舍，结合图象可得故答案为：角度3：不等式恒成立问题典型例题例题1．（2023·江苏·高一专题练习）设函函，若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为tx对任意的实数x1恒成立，所以x2﹣2x+2tx对任意的实数x1恒成立，等价于在上恒成立，由对勾函数的性质可知在处取最小值为，所以，所以实数t的取值范围是．故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】当时，由恒成立可得，恒成立，令，，当，即当时，取得最小值为，因为恒成立，所以，即.故选:B．例题3．（2023秋·河南郑州·高一校考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．【答案】【详解】由题意得：恒成立，当时，，解得：，定义域为不是R，舍去；当时，要满足，解得：，综上：实数a的取值范围是.故答案为：.例题4．（2023·高一课时练习）设函数，已知不等式的解集为或.(1)求和的值；(2)若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】（1）有题意得是关于的方程的两个根，所以解出，故；（2）方法一：二次函数实根分布法：由（1）可知对任意的恒成立.可化简为对任意的恒成立.①，解得：；②，解得；综上：的取值范围是.方法二：分离参数法由（1）得，则对任意恒成立，即，对任意恒成立.又（当且仅当时等号成立），所以，所以c的取值范围.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）对，不等式恒成立，则a的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【详解】不等式对一切恒成立，当，即时，恒成立，满足题意；当时，要使不等式恒成立，需，即有，解得.综上可得，的取值范围为.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）若函数对任意有恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，函数对任意有（1）当时，成立；（2）当时，函数为二次函数，若满足对任意有，则综上：故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得：在上恒成立.即时，恒成立，符合题意，时，只需，解得：，综上：，故选：C.4．（2023·高一课时练习）设k为实数，已知关于x的函数(1)若对于∀x∈R，都有y≤0恒成立，求k的取值范围；(2)若对于∀m≥1，∃x∈[1，4]，满足y≤m成立，求k的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）当时，恒成立，符合题意；当时，要想对于∀x∈R恒成立，只需满足下列条件：，综上所述：k的取值范围为；（2）当时，，显然对于∀m≥1，∃x∈[1，4]，满足y≤m成立，符合题意；当时，二次函数的对称轴为：，且开口向上，当x∈[1，4]时，函数单调递增，所以，因此要想对于∀m≥1，∃x∈[1，4]，满足y≤m成立，只需，即；当时，二次函数的对称轴为：，且开口向下，当x∈[1，4]时，函数单调递减，所以，因此要想对于∀m≥1，∃x∈[1，4]，满足y≤m成立，只需，即，综上所述：k的取值范围为.角度4：不等式有解问题典型例题例题1．（2023春·安徽安庆·高一安徽省宿松中学校考开学考试）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】若，，使得，故只需，其中在上单调递减，故，在上单调递增，故，所以，解得：，实数的取值范围是.故选：C例题2．（2023·高一课时练习）命题：，成立的充要条件是__________．【答案】【详解】在有解，因为，所以，故命题p成立的充要条件是．故答案为：例题3．（2023·江苏·高一专题练习）（1）关于的不等式的有解，求的取值范围.（2）若不等式对满足的所有都成立，求的范围.【答案】(1)；(2).【详解】(1)不等式的化为：，而，于是得，即时，取最大值2，关于的不等式的有解，即存在实数x使不等式成立，则，所以的取值范围是；(2)不等式等价于，令，于是有恒成立，而是一次型函数，因此得：，即有，解得或，解得，综合得，所以的范围是.练透核心考点1．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是_____________．【答案】【详解】当时，，则，因为对任意的，都存在，使得成立，因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值，而当时，，，不符合题意，于是，函数在上单调递增，则，即，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：2．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______.【答案】【详解】依题意，，由不等式有解知，，而，因此，因存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组无解，由有解得有解，于是得，解得，由无解得无解，于是得，解得，因此，所以a的取值范围是.故答案为：3．（2023·全国·高三专题练习）已知.（1）不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】令，当时，在上单调递减，在上单调递增，，，（1）因在恒成立，于是得，所以实数a的取值范围是；（2）因不等式在有解，于是得，所以实数a的取值范围是.第四部分：高考新题型①开放性试题1．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则__________.（写出满足这些条件的一个函数即可）【答案】（答案不唯一）【详解】由条件（1）对于任意实数，当时，都有，可得函数在上单调递增，条件（2）符合指数幂的运算性质：，（且），故可选一个单调递增的指数函数：．故答案为：（答案不唯一）．2．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）请写出同时满足下列两个条件的函数___________.（1）在定义域内单调递增，（2）【答案】(答案不唯一例：)【详解】因为函数的定义域为R，函数在R上单调递增，又，，所以，所以函数满足题意.故答案为；.3．（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）写出一个同时具有下列性质（1）（2）的函数：________.（1）；（2）在上是增函数.【答案】（答案不唯一）【详解】根据（1）（2）可得，为偶函数，且在单调递增，故满足题意的不唯一，可以是；故答案为：.4．（2023·全国·高三专题练习）已知两个条件：①；②在上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.【答案】【详解】由题意：是指数函数里的减函数，故可以是：，故答案为：.第五部分：数学思想方法①函数与方程的思想1．（2023秋·江苏连云港·高一统考期末）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】由“，”是真命题可知，不等式恒成立，因此只需易知函数在上的最小值为1，所以.即实数m的取值范围是.故选：B2．（2023秋·陕西咸阳·