2021版数学一轮高中全程复习方略计数原理、概率、随机变量及其分布

2021版数学一轮高中全程复习方略计数原理、概率、随机变量及其分布目录CONTENTS计数原理概率初步随机变量及其分布概率论在解决实际问题中的应用高考真题解析与应试技巧01计数原理加法原理完成一件事情有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，……，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有m1+m2+……+mn种不同的方法。乘法原理完成一件事情需要n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有m1×m2×……×mn种不同的方法。加法原理与乘法原理的区别与联系加法原理是分类计数原理，适用于完成一件事情有多种方法的情况；乘法原理是分步计数原理，适用于完成一件事情需要多个步骤的情况。两者都是计数的基本原理，可以相互转化。加法原理与乘法原理排列从n个不同元素中取出m（m≤n，m与n均为自然数,下同）个不同元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m）表示，A(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=n!/(n-m)!。从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C(n,m)表示，C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!m!)。排列与组合都是研究从一些元素中取出部分元素进行某种操作的问题，但排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。两者可以通过乘法原理和除法原理相互转化。组合排列与组合的区别与联系排列与组合二项式定理的内容二项式定理的意义二项式系数的性质二项式定理(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n，其中i∈[0,n]，C(n,i)表示从n个元素中取出i个元素的组合数。二项式定理是数学中的一个基本定理，它给出了(a+b)^n的展开式，并揭示了展开式中各项的系数规律。这个定理在数学的各个领域都有着广泛的应用。二项式系数具有对称性、增减性与最大值、各二项式系数的和等性质。这些性质在解题过程中经常会被用到，需要熟练掌握。02概率初步概率是描述随机事件发生的可能性的数学量，通常表示为P(A)，其中A表示随机事件。概率的定义概率具有非负性、规范性（所有可能事件的概率之和为1）、可加性（互斥事件的概率之和等于它们各自概率的和）。概率的性质概率的定义与性质条件概率事件的独立性条件概率与独立性两个事件A和B如果满足P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。独立事件意味着一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。条件概率是指在某个条件下，某事件发生的概率。表示为P(A|B)，即在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。几何概型如果样本点的发生具有某种连续的几何特性，可以通过计算有利样本点区域面积（或体积）与总样本点区域面积（或体积）的比值来求解概率。古典概型如果每个样本点发生的可能性相等，则可以通过计算有利样本点数与总样本点数的比值来求解概率。频率估计概率在大量重复试验中，事件A发生的频率会逐渐稳定于某个常数，这个常数就是事件A的概率。因此，可以通过频率来估计概率。事件的概率计算03随机变量及其分布随机变量的定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量的性质随机变量具有可测性、单调性和有界性等基本性质。其中，可测性是指随机变量对应的函数值域是可测的；单调性是指随机变量的函数值随样本点的变化而单调变化；有界性是指随机变量的取值范围是有限的。随机变量的定义与性质离散型随机变量的定义01离散型随机变量是指其取值是有限个或可列个的随机变量。离散型随机变量的分布列02离散型随机变量的分布列描述了随机变量取各个值的概率，通常用表格或公式表示。常见的离散型随机变量分布有0-1分布、二项分布、泊松分布等。离散型随机变量的数学期望和方差03数学期望反映了随机变量取值的平均水平，方差则反映了随机变量取值的离散程度。对于离散型随机变量，其数学期望和方差可以通过分布列进行计算。离散型随机变量及其分布列要点三连续型随机变量的定义连续型随机变量是指其取值可以充满一个区间（或若干个区间）的随机变量。要点一要点二连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数描述了随机变量在某个区间内取值的概率，通常表示为F(x)，表示随机变量X小于等于x的概率。与离散型随机变量不同，连续型随机变量的概率密度函数f(x)是分布函数的导数，它反映了随机变量在某一点附近取值的概率变化情况。连续型随机变量的数学期望和方差对于连续型随机变量，其数学期望和方差可以通过对概率密度函数进行积分得到。常见的连续型随机变量分布有均匀分布、正态分布、指数分布等。要点三连续型随机变量及其分布函数04概率论在解决实际问题中的应用利用概率论可以预测某种遗传疾病在一个家族中出现的概率，帮助医生制定针对性的治疗方案。预测遗传疾病基因型频率计算遗传咨询通过概率论的方法，可以计算群体中某种基因型的频率，进而研究基因型与表现型之间的关系。概率论可以为遗传咨询提供量化依据，帮助家庭了解后代可能面临的遗传风险。030201概率论在遗传学中的应用在量子力学中，概率幅和概率密度是描述微观粒子状态的基本物理量，概率论对于理解和解释量子现象具有重要意义。量子力学概率论在统计物理中用于描述大量微观粒子组成的宏观系统的统计规律，如热力学定律的统计解释。统计物理概率论是研究随机过程的重要工具，如布朗运动、随机游走等，这些随机过程在物理学中有广泛应用。随机过程概率论在物理学中的应用在经济学中，概率论用于评估各种风险的可能性及其对经济决策的影响，如市场风险、信用风险等。风险评估概率论与效用理论相结合，形成了期望效用理论，用于分析理性人在不确定条件下的决策行为。期望效用理论保险精算是应用概率论和数理统计方法，对保险业务中的各种风险进行定量分析和预测的一门科学。保险精算概率论在经济学中的应用05高考真题解析与应试技巧

高考真题解析历年高考真题梳理对近年来高考数学试卷中计数原理、概率、随机变量及其分布的考题进行细致梳理，分析考点分布和命题趋势。典型例题解析挑选具有代表性的高考真题，进行深入剖析，展示解题思路和方法，帮助学生掌握解题技巧。难度分层解析针对不同难度的考题，分别进行解析，让学生逐步适应高考难度，提高解题能力。123教授学生如何准确理解题意，抓住题目关键信息，避免因为理解偏差而导致的失分。审题技巧根据题型和难度，制定合理的答题顺序和时间分配，确保能够在有限时间内取得最佳成绩。答题策略提供针对性的复习建议，包括重点知识点回顾、易错题型练习、模拟考试等，帮助学生全面提升应试能