大学文科数学课件：随机事件及其概率

随机事件及其概率10.1随机事件10.2随机事件的概率10.3条件概率

10.1随机事件

10.1.1随机试验

(1)可以在相同的条件下重复地进行；

(2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．

E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况;

E2：将一枚硬币抛五次，观察出现正面的次数;

E3：抛一枚骰子，观察出现的点数;

E4：记录车站售票处一天内售出的车票数;

E5：一口袋中装有许多红色、白色、蓝色的乒乓球，在其中任取两只，观察它们的颜色;

E6：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度．10.1.2样本空间

S1={H，T}；

S2={0，1，2，3，4，5}；

S3={1，2，3，4，5，6}；

S4={1，2,…,n}，这里的n是售票处一天内准备出售的车票数；

S5={红白，红蓝，蓝白，红红，蓝蓝，白白}；

S6={(x,y)|T0≤x≤y≤T1}，这里x表示最低温度，y表示最高温度,并设这一地区的温度不会小于T0，也不会大于T1．10.1.3随机事件

在E3中，如果用A表示事件“掷出奇点数”，那么A是一个随机事件．由于在一次投掷中，当且仅当掷出的点数是1、3、5中的任何一个时才称事件A发生了，所以我们把事件A表示为A={1,3,5}．同样地，若用B表示事件“掷出偶点数”，那么B也是一个随机事件，B={2,4,6}．10.1.4事件间的关系与运算

（1）事件的包含与相等.若事件A发生必然导致事件B

发生，则称事件A包含事件B，记为A

B．若A

B且

B

A，即A=B，则称事件A与事件B相等．

（2）事件的和.事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的和事件，记为A∪B.事件A∪B发生意味着：或事件A发生，或事件B发生，或事件A与事件B都发生．（3）事件的积.事件A与事件B都发生的事件称为事件

A与事件B的积事件，记为A∩B，也简记为AB．事件A∩B（或AB）发生意味着:事件A发生且事件B也发生，即A与B都发生．（4）事件的差.事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差事件，记为A－B．

例如，从1,2,3，…，10这10个数中任取一个，A={取奇数}={1,3,5,7,9}，B={取3的倍数}={3,6,9}，则A－B=

{1,5,7}，B－A={6}．

（5）互不相容事件(互斥).若事件A与事件B不能同时发生，即AB=，则称事件A与事件B是互斥的，或称它们是互不相容的．若事件A1,A2,…,An中的任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的．

(6)对立事件.“A不发生”的事件称为事件A的对立事件，记为A.A和A满足：

A∪A=S，AA=，A=A．（7）事件运算满足的定律.设A、B、C为事件，则有

10.2随机事件的概率

10.2.1概率的统计定义

例10.2.1

将一枚硬币掷n次，观察在n次试验中“正面向上”这个事件A出现的可能性的大小，两位学者的试验结果如表10.2.1所示．定义10.2.1

设有随机试验E，若当试验的次数n充分大时，事件A的发生频率fn(A)稳定在某数p附近摆动，而且随着试验次数的增大，摆动的幅度越来越小，则称数p为事件的概率，记为P(A)=p.

概率的这种定义，称为概率的统计定义．

定义10.2.2

设随机试验E的样本空间为S，若对于E的每一个事件A都有一个实数P(A)与之对应，且P(A)满足下列三个条件：

（1）非负性：对E中的每一个事件A，有0≤P(A)≤1；

（2）规范性：P(S)=1；

（3）可列可加性：对于两两互不相容的事件A1,A2,…,An,…，有

则称P(A)为事件A的概率．10.2.2概率的基本性质

由概率的定义及事件的运算关系，可以证明以下性质：特别地，若A

B，则P(B－A)=P(B)－P(A)，P(B)≥P(A)；（6）对任意两个事件A、B，有

P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)

这条性质可以推广到多个事件．设A1,A2,…,An是任意n个事件，则有10.2.3等可能概型（古典概型）

例10.2.3

从30名学生中随机挑选一人参加社会实践，显然，每个人都可能被选到，即有30个样本点，而且由于选到30名学生中的任何一名机会均等，故选到每名学生的可能性都是1／30．设随机试验E的样本空间为S={e1,e2,…,en}，P(ei)=1／n．若事件A包含k个基本事件，则

例10.2.5

在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率．

解从100个产品中任意抽取5个产品，共有C5100种抽取方法，事件A={有1个次品，4个正品}的取法共有C13C497种取法，故得事件A的概率为

例10.2.6

将N个球随机地放入n个盒子中(n>N)，求：

（１）每个盒子最多有一个球的概率；

（２）某指定的盒子中恰有m（m<N）个球的概率．解这显然也是等可能问题．

先求N个球随机地放入n个盒子的方法总数．因为每个球都可以落入n个盒子中的任何一个，有n种不同的放法，所以N个球放入n个盒子共有种不同的放法．（1）事件A={每个盒子最多有一个球}的放法．第一个

球可以放进n个盒子之一，有n种放法；第二个球只能放进余下的n－1个盒子之一，有n－1种放法；…;第N个球只能放

进余下的n－N+1个盒子之一，有n－N+1种放法.所以共有

n(n－1)…(n－N+1)种不同的放法．故得事件A的概率为（2）事件B={某指定的盒子中恰有m个球}的放法．先从N个球中任选m个分配到指定的某个盒子中，共有CmN种选法；再将剩下的N－m个球任意分配到剩下的n－1个盒子中，共有(n－1)N－m种放法．所以，事件B的概率为注意有许多问题和本例具有相同的数学模型．例如，假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的（都为1/365），那么随机选取N个人（N≤365），他们的生日各不相同的概率可由本例（1）的结果给出（这里n=365），即

因而，N个人中至少有两人生日相同的概率为例10.2.7在１~９的整数中可重复地随机取６个数组成６位数，求下列事件的概率：

（１）６个数完全不同；

（２）６个数不含奇数；

（３）６个数中５恰好出现4次．解从9个数中允许重复地取6个数进行排列，共有96种排列方法．

（1）事件A={６个数完全不同}的取法有9×8×7×6×

5×4种，故（2）事件B={６个数不含奇数}的取法．因为6个数只能在2、4、6、8四个数中选，每次有4种取法，所以共有46种取法．故（3）事件C={６个数中５恰好出现4次}的取法．因为6个数中５恰好出现4次可以是6次中的任意4次，出现的方式有C46种，剩下的两种只能在1、2、3、4、6、7、8、9中任取，共有82种取法．故*10.2.4几何概型

（1）样本空间S是一个大小可以计量的几何区域（如线段、平面、立体）;

（2）向区域内任意投一点，落在区域S内任意点处都是“等可能的”．那么，随机点落在区域A的概率为称上式定义的概率为几何概率．

例10.2.8

在区间［０，４］上任投一点，求此点落入区间（1，2）内的概率．

解因必然事件S就是区间［0，4］，故按几何概率的定义可得所求概率

例10.2.9

甲、乙两人相约８至12点在预定地点会面，

先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲、乙两人能会面的概率．

解以X、Y分别表示甲、乙两人到达的时刻，那么8≤X≤12，8≤Y≤12．若以（X，Y）表示平面上的点的坐标，则所有基本事

件可以用这平面上的边长为4的一个正方形：8≤X≤12、8≤Y≤12内的所有点表示出来．两人能会面的充分必要条件是|X－Y|≤1/2（图10.2.1中阴影部分），所以所求的概率为图10.2.110.3条件概率

10.3.1条件概率

例10.3.1

某师范大学教育系一年级共有学生100人，其中女生80人，来自甲省的40人中有女生35人.设事件A为从全年级学生中任抽取一人为女生，事件B为从全年级学生中任抽取一人来自甲省，求从来自甲省的学生中任抽取一人为女生的概率.解显然P(A)=0.8，P(B)=0.4,而P(A|B)=35/40≠P(A)，即附加条件B之后，A的概率发生了变化，而定义10.3.1

设A、B是两个事件，且P(B)>0，称10.3.2乘法公式

定理10.3.1（乘法公式）设P(A)>0，P(B)>0，则有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

利用这个公式可以计算积事件的概率．乘法公式可以推广到n个事件的情形：若n≥2，P(A1A2…An－1)>0，则

例10.3.3

两个学生依次从10道试题中各抽取一题口试，设抽到每道题是等可能的.如果第一个学生把抽到的题放回去，第二个学生再抽，求两个学生都抽到试题1的概率.

解设第i个学生抽到试题1的事件为Ai(i=1,2)，则两个学生都抽到试题1的事件为A1A2．由乘法公式得

P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)由于抽取方式是有放回的，因此第二个学生抽到试题1的概率不受第一个学生是否抽到试题1的影响，即故

定义10.3.2(事件的独立性）设A、B是两事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A、B相互独立．

定理10.3.2

设事件A、B相互独立，且P(AB)>0，则

P(A|B)=P(A)．

例10.3.4

两门高射炮彼此独立地射击一门敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.9，乙炮击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率．解设A={甲炮击中敌机}，B={乙炮击中敌机}，那么，{敌机被击中}=A∪B.因为A与B相互独立，所以有10.3.3全概率公式和贝叶斯公式

1.全概率公式

定理10.3.4（全概率公式）若A1,A2,…,An为样本空间

S的一个事件组，且满足：

（1）A1,A2,…,An两两互不相容，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n);

（2）A1∪A2∪…∪An=S,则对S中的任意一个事件B都有

例10.3.5

某厂有四个分厂生产同一种产品，这