八年级下册期末压轴题专项练习30题

八年级下册期末压轴题专项练习30题

一.解答题(共30小题)

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+6交x轴于点A,交y轴于点8,过点B

的直线交x轴负半轴于点C,且A8=BC.

(1)求点C的坐标及直线BC的函数表达式；

(2)点力(小2)在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接。E.

(i)若NBDE=45。，求△8DE的面积：

(ii)在点E的运动过程中，以OE为边作正方形OEGF,当点F落在直线BC上时，求

2.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=4«,E为对角线AC上的动点(点E不

与A,C重合)，连接8E,将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线于点F.

(1)如图1,当AE=AF时，求/AE8的度数;

(2)如图2,分别过点8,F作EF,BE的平行线，且两直线相交于点G.

/)试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形8GFE的周长的最小值;

H)连接AG,设CE=x,AG=y,请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解

D

D

过程.图1图2

3.已知I,oABCQ中，NA8C=90°,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交

(1)如图1,连接4尸、CE.求证：四边形AFCE为菱形.

(2)如图1,求AF的长.

(3)如图2,动点尸、0分别从A、C两点同时出发，沿△AF8和△SE各边匀速运动

一周.即点P自AfkfBfA停止，点。自C-O-EfC停止，在运动过程中，点P的

速度为每秒1c”点Q的速度为每秒0.8cm,设运动时间为f秒，若当以A、P、C、。四

点为顶点的四边形是平行四边形时，求f的值.

4.如图1,一次函数)，=履+〃的图象与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点8(0,3),与

正比例函数y=x的图象交于点C.

(1)求一次函数的解析式及点C的坐标；

(2)在y轴上是否存在一点P,使aBCP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐

标，若不存在，请说明理由；

(3)如图2,过点C作C。，x轴于点。，点E是线段0。上一点，尸是y轴正半轴上一

点，且/EC尸=45°,连接EF,求△OEF的面积的最大值.

5.已知在RtZXABC中，NACB=90°,AC=BC,C£)_LAB于D

(1)如图1,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF,连接AF交CD于点G.求证:

AG=GF；

(2)如图2,点E是线段CB上一点(CE<LC8).连接ED,将线段ED绕点E顺时针

2

旋转90°得至1」£凡连接4尸交C力于点G.

①求证：AG=GF；

②若AC=3C=7,CE=2,求。G的长.

6.矩形4BCD中，AB=6cm,BC—Scm,设运动时间为/(单位：s).

(1)如图1,若动点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A/B-C匀速运动到点C,图2

是点P运动时，△APC的面积S(cm1)随时间f(秒)变化的函数图象.

①点P的运动速度是cm/s,m+n=；

②若PC=2PB,求t的值；

(2)如图3,若点P,Q,R分别从点A,B,C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方

向匀速运动，当点Q到达点C(即点。与点C重合)时，三个点随之停止运动；若点P

运动速度与(1)中相同，且点P,Q,R的运动速度的比为2：4：3,是否存在，，使4

尸8。与△QCR相似，若存在，求出所有的f的值；若不存在，请说明理由.

7.如图1,一次函数)，=区-4(ZWO)的图象与y轴交于点A,与反比例函数y=-」2(x

x

<0)的图象交于点8(-6,b).

(1)b=；k=；

(2)点C是线段AB上一点(不与A,8重合)，过点C且平行于y轴的直线/交该反比

例函数的图象于点。，连接OC,OD,BD,若四边形OCBO的面积S四.OCBD=24,求

点C的坐标；

(3)将第(2)小题中的△08沿射线A8方向平移一定的距离后，得到aO'CD',

若点O的对应点。‘恰好落在该反比例函数图象上(如图2),求此时点D的对应点。的

坐标.

图1图2

8.如图1,平面直角坐标系中，直线y=-当+切交x轴于点A(4,0),交y轴正半轴于

4

点B.

(I)求AAOB的面积；

(2)如图2,直线4c交y轴负半轴于点C,AB^BC,P为线段AB(不含A,B两点)

上一点，过点P作y轴的平行线交线段AC于点。，设点P的横坐标为f,线段P。的长

为d,求”与，之间的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，M为线段C4延长线上一点，且AM=C。，在直线4c上方的直

线A8上是否存在点N,使是以0M为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出

点N的坐标；若不存在，请说明理由.

9.已知点E,F分别是平行四边形ABC。的边BC,8上的点，NE4F=60°.

(1)如图1,若AB=2,AF=5,点E与点8,点尸与点。分别重合，求平行四边形A8CZ)

的面积；

(2)如图2,若AB=BC,ZB=ZEAF=60°,求证：AE=AF；

(3)如图3,若BE=CE,CF=3DF,AB=4,AF=6,求AE的长

度.图1图2图3

10.如图1,在等边△ABC中，AB=6cm,动点P从点A出发以lc,"/s的速度沿A8匀速运

动，动点。同时从点C出发以同样的速度沿8c的延长线方向匀速运动，当点P到达点

3时，点P、。同时停止运动，设运动时间为f(s).过点尸作PE_LAC于E,以C。、

CE为边作平行四边形CQFE.

(1)AE=.CE—；(用含/的代数式表示)

(2)当口CQFE为菱形时，请求出，的值；

(3)如图1,连接PQ,交AC边于点。，求线段。E的长；

(4)如图2,取线段8c的中点M,连接PM,将△BPM沿直线PM翻折，得PM,

连接A8'；请求出A8'的最小值.

11.已知四边形ABCO为矩形，对角线AC、8。相交于点。，ZCDO=30°.点、E、尸为矩

形边上的两个动点，且/EOF=60°.

(1)如图1,当点E、F分别位于48、边上时.

①求证：NDOF=NAOE；

②若NOEB=75。，求证：DF=AE.

(2)如图2,当点E、尸同时位于AB边上时，若NOFB=75°,试探究线段4尸与线段

BE的数量关系，并说明理由.

12.如图，已知在矩形ABC。中，点E在A8边上，F在CE边上，且NACD=ND4F.

(1)当/C4F=30°时，求矩形的长宽之比；

(2)若NCAF=NECB,请回答下列问题；

①设NACE=x,ZCAF=y,求y关于x的表达式;

备用国

13.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，已知直线y=-当+4与x轴交于点A,与y

3

轴交于点B.

(I)点A的坐标为，点B的坐标为；

(II)如图①，若点M(x,y)在线段48上运动(不与端点A、8重合)，连接0M,设

△AOM的面积为S,写出S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

图①图②

14.综合与实践:

如图1,已知△ABC,AB=AC,点。、E分别在边AB、AC上，AD=AE,连接。C,点

P、。、M分别为。E、BC、OC的中点.

(1)观察猜想

在图1中，线段与QM的数量关系是；

(2)探究证明

当NBAC=60°,把△AOE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，

并说明理由；

(3)拓展延伸

当NBAC=90°,AB=AC=5,AD=AE=2,再连接BE,再取BE的中点N,把△AQE

绕点4在平面内自由旋转，如图3,

①请你判断四边形PMQV的形状，并说明理由；

②请直接写出四边形PMQN面积的最大值.

A

AA.

D〜

c

BQ甘QCEtQC

图1图2图3

15.如图1,四边形ABC。是矩形，点。位于对角线8。上，将△A£»E,△CBF分别沿QE、

BF翻折，点A,点C都恰好落在点0处.

(1)求证：NEDO=NFBO；

(2)求证：四边形DEBF是菱形：

(3)如图2,若AC=2,点P是线段EC上的动点，求2AP+CP的最小值.

16.如图，正方形ABC£＞中，AB=4,点E是对角线AC上的一点，连接OE.过点E作EF

LED,交AB于点凡以QE、EF为邻边作矩形。EFG,连接AG.

(1)求证：矩形。EFG是正方形;

(2)求4G+AE的值;

(3)若尸恰为AB中点，连接。尸交4C于点M,请直接写出ME的长.

D

rE

G

B

17.如图，已知正方形ABC。的边长为6。〃，E为边AB上一点且AE长为Ic/M,动点尸从

点B出发以每秒\cm的速度沿射线BC方向运动.把△EBP沿EP折叠，点2落在点B'

处.设运动时间为f秒.

(1)当/=时，NSPC为直角；

(2)是否存在某一时刻t,使得点8到直线AD的距离为3cm?若存在，请求出所有符

合题意的f的值；若不存在，请说明理由.

AD

0BpC

18.四边形A8CD是正方形，AC是对角线，点E是AC上一点(不与AC中点重合)，过点

4作AE的垂线，在垂线上取一点F,使AF=AE,并且点E和点尸在直线AB的同侧，

连接尸。并延长至点G,使a>=GC,连接GE.

(1)如图1所示

①根据题意，补全图形：

②求NCEG的度数，判断线段GE和CE的数量关系并给出证明.

(2)若点E是正方形内任意一点，如图2所示，判断(1)中的结论还成立吗？如果成

立，给出证明；如果不成立，说明理由.

图1图2

19.分层探究

(1)问题提出：如图1,点E、F分别在正方形ABCZ)的边BC、CD上，NE4F=45°,

连接EF.求证:EF=BE+DF,解题思路:把△ABE绕点A逆时针旋转度至△AOG,

可使AB与AO重合.由/尸。6=/4。6+/4£＞。=180°,则知从D、G三点共线，从

而可证aAFG丝(),从而得EF=B£+Z)凡阅读以上内容并填空.

(2)类比引申：如图2,四边形4BCD中，AB=AD,N8AO=90°,点E、尸分别在边

BC、CDk,ZEAF=45Q.探究：若NB、NQ都不是直角，当NB、/£＞满足什么数

量关系时，仍有EF=BE+DF?

(3)联想拓展：如图3,在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。、E均在边BC上,

并且/£＞AE=45°.猜想B。、CE、OE的数量关系，并给出理由.

20.如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点,以。E为边作矩形OEGF,其中GF经过点

A,连接AE.

(1)如图1,若AE=A£),求证：AG=AF；

(2)连接BG.

①如图2,若BG=AG,CE=\,AF=2,求AO的长；

②如图3,若AB=AQ,BG=BE,直接写出逆的值为__________________.

图2图3

21.如图，平面直角坐标系xO)，中，直线y=+3交x轴于点A,交)，轴于点B,点P

4

是线段OA上一动点(不与点A重合)，过点P作尸CLAB于点C.

(I)当点尸是OA中点时，求AAPC的面积；

(2)连接BP,若BP平分NABO,求此时点P的坐标；

(3)设点。是x轴上方的坐标平面内一点，若以点0,B,C,。为顶点的四边形是菱

形，求点。的坐标及此时0P的长.

(备用图)

22.如图，正方形ABC£>中，E是CQ边的中点，F是BC边上一点，ZFAE=ZDAE.

(1)求证：AF=AD+CF；

(2)已知正方形ABCD的边长为4.

①求AF之长；

②若P是AE上一点，且△£>£：「是等腰三角形,则线段EP的长为

23.如图，在矩形ABC。中，AD=2AB=S,点E是边A。的中点.连接EC,P、Q分别是

射线A。、EC上的动点，且EQ=&AP.连接BP,PQ.过点B,。分别作P。，BP的

平行线交于点F.

(1)当点P在线段AE上(不包含端点)时，

①求证：四边形BF。尸是正方形.

②若BC将四边形BFQP的面积分为1：3两部分，求AP的长.

(2)如图2,连接PF,若点C在对角线PF上，求△8FC的面积(直接写出答案).

24.如图，在菱形A8CZ)中，NABC=60°,顶点C在直线/上，该菱形可以绕着C点按

顺时针方向自由转动.过该菱形的另外三个顶点8,A,D,分别向直线/作垂线段，垂

足分别为E,F,G,记NBCE=a.

(1)①依据题意补全图形；

②当a=30°时，猜想三条垂线段BE,AF,QG间的数量关系为.

(2)当0<aV60°时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明

理由.

(3)当60°VaV120°时，请你通过探究直接写出这三条垂线段BE,AF,QG间的数

量关系是.

a

备用图

25.小明对教材“课题学习”中的“用一张正方形折出一个正八边形”的问题进行了认真的

探索.已知AC是正方形ABCD的对角线，把NBAC对折，使点B落在AC上,记为点E.再

沿CE的中垂线折叠，得到折痕尸。，如图1.类似地，折出其余三条折痕GH,〃，K0,

得到八边形GHIJKOPQ,如图2.

（1）求证：△CPQ是等腰直角三角形.

（2）若AB=a,求的长.（用含a的代数式表示）

（3）我们把八条边长相等，八个内角都相等的八边形叫做正八边形.请说明八边形

GHIJKOPQ是正八边形的理由.

26.已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、。是某个函数图象上的点，当四边形

ABCD（A、B、C、。各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正

方形.例如：如图，正方形A8CC是一次函数y=x+l图象的其中一个伴侣正方形.

（1）若某函数是一次函数y=x+l,求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数y上（k>0），它的图象的伴侣正方形为ABC。，点。（2,

x

m）（m<2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式.

第（1）题图第（2）题图

27.已知反比例函数月=史("2>0,%>0)和”=-工~(xVO),过点尸(0,1)作x轴的

x2x

平行线/与函数)》”的图象相交于点3,C.

(1)如图1,若"?=6时，求点B,。的坐标；

(2)如图2,一次函数”=日-典交/于点D

2

①若k=5,B、C、。三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点，求〃?的值；

②过点B作y轴的平行线与函数"的图象相交于点E.当加值取不大于2的任意实数时,

3

点从C间的距离与点&E间的距离之和d始终是一个定值.求此时k的值及定值0

28.如图1,在菱形A8C。中，ZB=60°,把一个含60°角的直角三角板和这个菱形摆放

在一起，使三角板60°角的顶点和菱形的顶点4重合,60。角的两边分别与菱形的边BC,

C。交于点E,F.

(1)线段BE,OF与AB三者之间的数量关系为；

(2)请证明(1)中的结论：

(3)如图2,变换三角板的位置，使60°角的顶点尸在边AO上，60°角的其中一边经

过点C,另一边与边AB交于点E,那么(1)中得到的结论还成立吗？若成立，请加以

证明；若不成立，请说明理由.

图一图二

29.如图，矩形A8CQ中，BOAB,E是A。上一点，AABE沿BE折叠,点A恰好落在

线段CE上的点F处.

(1)求证：CF=DE.

(2)设域＞=»?.

AD

①若〃?=返，试求NABE的度数：

2

②设处=&,试求用与人满足的关系.

30.(1)如图I,将一矩形纸片A8CD沿着E尸折叠，CE交A尸于点G,过点G作G”〃所,

交线段8E于点从

图1图2

①判断EG与是否相等，并说明理由.

②判断G”是否平分NAGE,并说明理由.

(2)如图2,如果将(1)中的已知条件改为折叠三角形纸片ABC,其它条件不变.

①判断EG与EH是否相等，并说明理由.

②判断GH是否平分/AGE,如果平分，请说明理由；如果不平分，请用等式表示/EGH,

N4G”与NC的数量关系，并说明理由.

八年级下册期末压轴题专项练习30题

参考答案与试题解析

一.解答题(共30小题)

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+6交x轴于点4,交y轴于点8,过点8

的直线交x轴负半轴于点C,且AB=BC.

(1)求点C的坐标及直线BC的函数表达式；

(2)点。(a,2)在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接OE.

(i)若NBDE=45°,求的面积；

(ii)在点£的运动过程中，以。E为边作正方形。EGF,当点F落在直线BC上时，求

【解答】解：(1)•••直线y=-2x+6交x轴于点A,交y轴于点8,

:.A(3,0),B(0,6),

：.OA=3,08=6,

"：AB=BC,

OBVAC,

：.OC=OA=3,

：.C(-3,0),

设直线BC的解析式为y^kx+b,则有［b=6

I-3k+b=0

解得『二2,

Ib=6

直线BC的解析式为y=2x+6.

(2)如图，取点Q(-l,3),连接BQ,DQ,DQ交AB于E.

'：D(a,2)在直线y=-2x+6上，

.,.2=一2。+6,

•♦〃=2,

：.D(2,2),

•:B(0,6),

・，・

QB=4QP—^|2+g2=yflO,BD=^

221

：.BD=QB+QDfQB=QD,

：.ZBQD=90°,NBDQ=45°,

•.•直线DQ的解析式为y=-1+昆，

33

：.E(0,&),

3

；.OE=g，8£：=6-四=也，

333

ASABDE=—x此义2=坨.

233

(3)如图，过点。作。M_LOA于M,DN上OB于N.

.,.Z£Z)F=90°,ED=DF,

•：NEDF=NMDN=90°,

NEDN=NDFM,

•：DE=DF,DN=DM,

:ADNE注4DMF(SAS),

；.NDNE=NDMF=90°,EN=FM,

.•.点尸在x轴上，

.♦•当点尸与C重合时，FM=NE=5,此时E(0,7),

同法可证，点/在直线y=4上运动，当点P'落在8c上时，E(0,-1),

综上所述，满足条件的点E的坐标为(0,7)或(0,-1).

2.如图，在菱形ABCD中，ZABC=\20°,A8=4«,E为对角线AC上的动点(点E不

与A,C重合)，连接BE,将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AO于点尺

(1)如图1,当AE=AF时，求NAEB的度数；

(2)如图2,分别过点8,F作EF,BE的平行线，且两直线相交于点G.

/)试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形8GFE的周长的最小值；

//)连接AG,设CE=x,AG=y,请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解

【解答】解：(1)如图1中,

B

E

・・•四边形ABC。是菱形，

：.BC//ADfZBAC=ZDACf

：.ZABC+ZBAD=iSO°,

VZABC=\20Q,

：.ZBAD=60°,

：.ZEAF=30°,

•；AE=AF,

AZAEF=ZAFE=J5Q,

VZBEF=120°,

AZAEB=\20a-75°=45°.

(2)i)如图2中，连接DE.

VAB=AD,/BAE=NDAE,AE=AEf

：.ABAE^ADAE(SAS),

：・BE=DE,NA8E=NAOE,

VZBAF+ZBEF=60°+120°=180°,

AZABE+ZAFE=180°,

VZAFE+ZEFD=1SO°,

・"EFD=NABE,

:・/EFD=/ADE,

:・EF=ED,

：.EF=BE,

■:BE//FG,BG//EF,

・・・四边形BEFG是平行四边形，

•：EB=EF,

・・・四边形3EFG是菱形，

・•・当BEJ_AC时，菱形BEFG的周长最小，此时8E=2A8=2

2

・•・四边形BGFE的周长的最小值为8y.

"）如图2-1中，连接8Q,DE,过点E作E〃_LCQ于"

\*AB=AD,ZBAD=60°,

**./\ABD是等边三角形，

：.BD=BA,ZABD=60°,

,:BG〃EF,

.\ZEBG=180°-120°=60°,

・•・NABD=NGBE,

：./ABG=/DBE,

•；BG=BE,

：./\ABG^ADBE(SAS),

：.AG=DE=yf

在RtZ\CE”中，EH=LEC=L.。”=近

222

近r|,

2

在RtADE//中，：DE2=EH2+DH2,

，>2=12+(4^3-2,

42

."=/-12x+48,

Ay=Vx2-12x+48<0<%<12),

3.已知，。ABC。中，ZABC=90°,AB=4cm,BC=Scm,AC的垂直平分线EF分别交

(1)如图1,连接ARCE.求证：四边形AFCE为菱形.

(2)如图1,求AF的长.

(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△C0E各边匀速运动

一周.即点尸自A-F-BfA停止，点。自C-O-EfC停止，在运动过程中，点尸的

速度为每秒点Q的速度为每秒0.8cm,设运动时间为r秒，若当以A、P、C、Q四

点为顶点的四边形是平行四边形时，求f的值.

【解答】解：(D•••四边形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.ZCAD=ZACB,ZAEF=ZCFE.

•.•EF垂直平分AC,

：.OA=OC.

在△AOE和△COF中，

'NCAD=NACB

<NAEF=/CFE，

OA=OC

：./\AOE^/\COF(AAS),

：.OE=OF(4AS).

'：OA=OC,

...四边形AFCE是平行四边形，

VEFlAC,

...四边形AFCE为菱形.

(2)设菱形的边长AF=CF=xc〃?，则BF=(8-x)an,

在RtZ\4B尸中，AB=4cm,由勾股定理，得

16+(8-x)2=/,

解得：x—5,

：.AF=5.

（3）由作图可以知道，P点AF上时，。点CD上，此时A,C,P,Q四点不可能构成

平行四边形；

同理P点AB上时，。点。E或CE上，也不能构成平行四边形.

只有当尸点在B尸上，。点在瓦＞上时，才能构成平行四边形，

...以A,C,P,。四点为顶点的四边形是平行四边形时，

：.PC=QA,

•.•点P的速度为每秒1cm,点。的速度为每秒0.8c〃?，运动时间为f秒，

:.PC=t,04=12-0.83

；.f=12-0.8r,

解得：

3

...以A,C,P,。四点为顶点的四边形是平行四边形时，『=空秒.

3

图1

4.如图1,一次函数的图象与x轴交于点A（6,0）,与y轴交于点8（0,3）,与

正比例函数）=尤的图象交于点C.

（1）求一次函数的解析式及点C的坐标；

(2)在y轴上是否存在一点P,使△BCP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐

标，若不存在，请说明理由：

(3)如图2,过点C作CDLx轴于点。，点E是线段0。上一点，下是y轴正半轴上一

点，且NEC尸=45°,连接EF,求△0EF的面积的最大值.

【解答】解：(1)将点4、B的坐标代入一次函数表达式得］6k+b=0,解得|卜二7,

，b=3b=3

故一次函数表达式为：y--1+3,

2

'_1

则产下+3,解得卜=2,

_1y=2

y-x

故点C(2,2)；

(2)设点尸(0,m),而点8、C的坐标分别为(0,3)、(2,2),

222

则8(5=22+1=5,同理PC2=4+(MI-2),PB=(w-3),

当BC=PC时，则5=4+(wi-2)2,解得：机=1或3(舍去3)；

当BC=PB时，同理可得：加=3±娓；

当尸C=PB时，同理可得：/??=—；

2

故点P的坐标为(0,1)或(0,3+巫)或(0,3-泥)或(0,A)；

2

(3)过点C作CH_Ly轴于点H,

设：OE=m,0F=〃,:点C(2,2),故CH=CD,

将△CHF围绕点C旋转90°得到△C£>H',

则NQC，'=ZHCF,

:.ZECH'=NECD+NDCH'=NHCF+/ECD=90°-NECF=90°-45°=45°=

ZECF,

而CF=CH',CE=CE,

.•.△OEF的面积=4-2・ZiECF的面积，

.•.当△CEF的面积最小时，△EOF的面积最大，

,:S&ECF=S&CEH,=L・CD・EH'=EH'=EF,

2

；.EF最小时，△ECF的面积最小，

♦.•当时，EF的值最小(备注)，

.,.2m+y/2pi—4,

解得m=2(2-

故AOE尸的面积的最大值为4-2X(472-4)=12-8&.

备注：设两直角边分别为a,h,斜边为c,

a1+b1—^,

£+?22ab,

当且仅当a=6时取到最小值，

最小值=2/=°2,

即等腰直角的时候的斜边才是最小的.

5.已知在RtZkABC中，/AC8=90°,AC=BC,CD_LA8于。.

(1)如图1,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF,连接AF交CD于点G.求证:

4G=GF；

（2）如图2,点E是线段CB上一点（CE<2CB）.连接EC,将线段EQ绕点E顺时针

2

旋转90°得到EF,连接AF交CQ于点G.

①求证：AG=GF；

②若AC=8C=7,CE=2,求OG的长.

；・NFCD=90°,CF=CD,

VZACB=90°,AC=BC,CO_LA8于。，

:・AD=BD,CF//AD,

：・CD=AD=BD,

：.CF=AD,

又「NAGD=NCGF,

：./\ADG^/\FCG(A4S),

：.AG=GF；

(2)①证明：过点E作交CO于点M,连接M凡

由（1）知。为A3的中点，

・・・NQCB=45°,CD=AD,

•••△CEM为等腰直角三角形,

：.CE=ME,

又,.•NCEM=/£)EF=90°,DE=EF,

：.4CED=ZMEF,

：./\CED^/\MEF(SAS),

：.CD=MF,ZMEF=ZECD=45°,

：.AD=MF,ZCMF=90°,

又,.,NAQG=90°,

:.NADG=NFMG,

；NMGF=NAGD,

：.AADGQ丛FMG(AAS),

：.AG=GF；

②解：VZACB=90°,AC=BC=1,

,'MB=VAC2+BC2=7^

:.CD=1AB=1&,

22

'：CE=2,CE=ME,

CM=VCE2+ME2=V22+22=2^

：.DM=CD-CM=-^._2/7=2/2,

2*2

又•.•△AQG四△FMG,

；.£)G=MG=4M=

2

6.矩形ABC。中，AB=6cm,BC=Scmf设运动时间为单位：s).

(1)如图1,若动点P从矩形ABC。的顶点A出发，沿AfBfC匀速运动到点C,图2

是点P运动时，△APC的面积S(cm2)随时间r(秒)变化的函数图象.

①点P的运动速度是2cmls,m+n=27；

②若PC=2PB,求f的值；

(2)如图3,若点P,Q,R分别从点4,B,C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方

向匀速运动，当点Q到达点C(即点。与点C重合)时，三个点随之停止运动：若点P

运动速度与(1)中相同，且点P,。，R的运动速度的比为2：4：3,是否存在f,使4

P8Q与△QCR相似，若存在，求出所有的f的值；若不存在，请说明理由.

图1图2

【解答】解：(1)①观察图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s,故点P的运动速

度为S=2(cm/s).

4

此时〃=2X6X8=24,

22

•=3+24=27.

故答案为：2,27.

②当点尸在直线AB上，VZB=90°,PC=2PB,

：.ZPCB=30°,

.•.PB=BC・tan30°(cm),

_3

：.PA=(6-色巨)(an),

3

,,r=PA=3_W3.

23

当点P在线段BC时，-工(6+星)=」3,

233

综上所述，，的值为3-W返或区.

33

(2)I•点P的运动速度为2cm/s,且点尸，Q,R的运动速度的比为2：4：3,

/.点Q的运动速度为4c，〃/s,点R的运动速度为3cMs.

如图3中，由题意，PB=6-2t,BQ=4t,CQ=8-4f,CR=3t,

①当里="■时，△PBQ与△℃/?相似，

QCCR'

»6-2t—4t

8-4t3t

解得—工，

5

经检验，r=工是分式方程的解，且符合题意.

5

②当时，上殳=跑时，△P8Q与△QCR相似，

CRCQ'

>6-2t=4t

3t8-4t

解得尸-5+技或-5-丁市(舍弃)，

经检验，f=-5+J而是分式方程的解，且符合题意.

综上所述，满足条件的t的值为工或-5+标

5

7.如图1,一次函数y=fcv-4(ZWO)的图象与y轴交于点4,与反比例函数y=-工三(x

x

<0)的图象交于点8(-6,b).

(1)b=2；k=-1；

(2)点C是线段48上一点(不与A,B重合)，过点C且平行于y轴的直线/交该反比

例函数的图象于点。，连接。C,OD,BD,若四边形OCB。的面积S四边形OCBO=24,求

点C的坐标；

(3)将第(2)小题中的△08沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O'CD',

若点。的对应点。‘恰好落在该反比例函数图象上(如图2),求此时点D的对应点。，的

坐标.

图1图2

【解答】解：（1）将点8的坐标代入y=得，/>=-12=2,

x-6

故点8的坐标为（-6,2）；

将点B的坐标代入一次函数表达式得，2=-6攵-4,解得女=-1,

故一次函数表达式为y=-x-4,

故答案为2,-I；

(2)•点C在直线A8上，故设点C(〃7,-OT-4),则点£>(〃?，-22),

m

贝S四边形OCB£>=SACOB+SACDO=1C£>X(XO-XB)=2(-X6=24,

22m

解得机=-2或6(舍去6),

故点C(-2,-2)；

（3）由AB的函数表达式知，直线A8与x轴负半轴的夹角为45°,

设△OCC沿射线AB方向向左平移机个单位，则向上平移，"个单位，则点O'（-机，

m）,

将点0’的坐标代入），=-得，机=-」2,解得m=±2A/3（舍去负值），

x-m

故点。’的坐标为（-2-2小§,6+2，"§）.

8.如图1,平面直角坐标系中，直线y=-m+〃?交x轴于点4（4,0）,交y轴正半轴于

4

点艮

（1）求△AOB的面积；

（2）如图2,直线4c交y轴负半轴于点C,AB-BC,P为线段AB（不含A,B两点）

上一点，过点P作y轴的平行线交线段AC于点°,设点P的横坐标为r,线段P。的长

为d,求”与，之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，M为线段CA延长线上一点，且AM=C。，在直线AC上方的直

线上是否存在点M使△QMN是以QM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出

点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

【解答】解：(1)：y=-m+加交x轴于点A(4,0),

4

，0=-3x4+",

4

解得"2=3,

工直线AB解析式为尸-m+3,

4

令x=0,y=3,B(0,3)；

・.,A(4,0),B(0,3),

AOA=4,OB=3,

VZACB=90°,

A

SAAOB-|XOAXOB=1X4x3=6：

(2)•；OA=4,OB=3,

A8—卜。A?+0B2=5='C,

：.OC=2,

...点C(0,-2),

设直线AC解析式为〉=依+",

.f4k+n=0

,ln=-2'

••<N,

n=-2

直线AC解析式为>=1-2,

-2

在直线y=-m+3上，

4

可设点P(r,-号+3),

4

：PQ〃y轴，且点Q在y=L-2上,

2

：.d=(-3+3)-(A/-2)=-空/+5(0<r<4)；

424

(3)过点M作MGJ_P。于G,

.♦.NQGM=90°=NCOA,

；PQ〃y轴，

：.ZOCA^ZGQM,

"：CQ=AM,

：.AC=QM,

在△Q4C与△GM。中，

，ZA0C=ZMGQ

<ZAC0=ZMQG)

AC=MQ

...△OACHGM。(A4S),

；.QG=0C=2,GM=OA=4,

过点N作NH1.PQ于H,过点M作MRLNH于点R,

：.NMGH=NRHG=ZMRH=90°,

四边形GaRM是矩形，

；.HR=GM=4,可设G”=RM=«,

•「△MNQ是等腰直角三角形，

1/QNM=90°,NQ=NM,

：.ZHNQ+ZHQN=90°,

N”NQ+/RMW=90°,

:・/RNM=/HQN,

:AHNQ乌/\RMN(A4S),

:・HN=RM=k,NR=QH=2+k,

■:HR=HN+NR,

：.k+2+k=4f

：.k=l,

：.GH=NH=RM=T,

：.HQ=3,

•・・Q(/,Ar-2),

2

：.N(r+l,Ar-2+3)即N(/+1,Ar+I),

22

•・・N在直线43：y=-Wr+3上，

4

.,.L+1=—-(r+l)+3,

24

/.t=IT

：.P(1,9)，N(2,3).

42

9.已知点E,F分别是平行四边形A8C£＞的边3C,CD上的点，ZEAF=60°.

(1)如图1,若AB=2,AF=5,点E与点8,点F与点D分别重合，求平行四边形A2CD

的面积；

(2)如图2,若AB=BC,NB=NEAF=60°,求证：AE=AF；

【解答】（1）解：过点2作8HLAO于H,如图1所示:

在Rt/LAB“中，ZBA