2024版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题二　培优点5　极化恒等式、奔驰定理与等和线定理66

培优点5极化恒等式、奔驰定理与等和线定理平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．考点一向量极化恒等式极化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.变式：(1)a·b＝eq\f(a＋b2,4)－eq\f(a－b2,4)，a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.例1(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值为________．答案eq\f(7,8)解析设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，①eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1.②联立①②，解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8).因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq\f(7,8).即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8).(2)(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围是________．答案[39,55]解析由向量极化恒等式知eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|2－|eq\o(BE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|2－9.又△ABC是边长为8的等边三角形，所以当点P位于点A或点C时，|eq\o(PB,\s\up6(→))|取最大值8.当点P位于AC的中点时，|eq\o(PB,\s\up6(→))|取最小值，即|eq\o(PB,\s\up6(→))|min＝8sineq\f(π,3)＝4eq\r(3)，所以|eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范围为[4eq\r(3)，8]，所以eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围为[39,55]．规律方法利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．跟踪演练1(1)如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))等于()A．1B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)答案B解析取AO的中点M，连接PM，如图所示，易得AB＝eq\r(5)，由向量极化恒等式知eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))2－eq\o(OM,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))2－eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)＝eq\f(5,16)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,16).(2)如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的取值范围是________．答案[0,4]解析如图，∵PA⊥PB，∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O，连接PO，由向量极化恒等式知eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OC,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－1，当点P在A(或B)处时，|eq\o(PO,\s\up6(→))|max＝eq\r(5)，当点P在eq\o(AB,\s\up9(︵))的中点时，|eq\o(PO,\s\up6(→))|min＝1，∴|eq\o(PO,\s\up6(→))|∈[1，eq\r(5)]，∴eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))∈[0,4]．考点二平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.例2(1)已知O是△ABC内部一点，满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(4,7)，则实数m等于()A．2B．3C．4D．5答案C解析由奔驰定理得S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.∴eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(m,1＋2＋m)＝eq\f(4,7)，解得m＝4.(2)(2023·重庆模拟)△ABC内一点O满足关系式S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则O为△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心答案B解析记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝eq\f(1,2)a·h2，S△OAC＝eq\f(1,2)b·h3，S△OAB＝eq\f(1,2)c·h1，因为S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则eq\f(1,2)a·h2·eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)b·h3·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)c·h1·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即a·h2·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·h3·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·h1·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又因为a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以h1＝h2＝h3，所以点P是△ABC的内心．易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．跟踪演练2(1)如图，设O为△ABC内一点，且满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))，则eq\f(S△AOB,S△ABC)等于()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,3)答案D解析∵O为△ABC内一点，且满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋2(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))⇒3eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∵S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶1∶2，∴eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(S△AOB,S△AOB＋S△BOC＋S△AOC)＝eq\f(1,3).(2)(2023·安阳模拟)如图，已知O是△ABC的垂心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于()A．1∶2∶3 B．1∶2∶4C．2∶3∶4 D．2∶3∶6答案A解析O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，因此，eq\f(S△BOC,S△AOC)＝eq\f(\f(1,2)OC·BP,\f(1,2)OC·AP)＝eq\f(BP,AP)＝eq\f(OPtan∠BOP,OPtan∠AOP)＝eq\f(tan∠BAC,tan∠ABC)，同理eq\f(S△BOC,S△AOB)＝eq\f(tan∠BAC,tan∠ACB)，于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S△BOC∶S△AOC∶S△AOB，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，由“奔驰定理”有S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3，所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.考点三等和(高)线定理等和(高)线平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O点时，k＝0；(5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．例3在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为()A．3B．2eq\r(2)C.eq\r(5)D．2答案A解析如图所示，由平面向量基底等和线定理知，当等和线l与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(AB＋BE＋EF,AB)＝eq\f(3AB,AB)＝3.规律方法要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线．跟踪演练3如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的取值范围为()A．[2,3] B．[1,2]C．[1,3] D．[1,4]答案C解析如图，当点P位于线段BC上时，(λ＋μ)min＝1，当点P位于点D时，(λ＋μ)max＝3.故1≤λ＋μ≤3.专题强化练1．如图，AB为⊙O的直径，P是eq\o(AB,\s\up9(︵))上任一点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))等于()A．13B．7C．5D．3答案C解析依题意，O为MN的中点，由向量极化恒等式知，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OM,\s\up6(→))2＝9－4＝5.2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9) B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9) D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)答案A解析根据奔驰定理，得3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋4(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故λ＝eq\f(2,9)，μ＝eq\f(4,9).3.如图，在四边形MNPQ中，若eq\o(NO,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))，|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝10，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝－28，则eq\o(NP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))等于()A．64B．42C．36D．28答案C解析由eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))2－eq\o(ON,\s\up6(→))2＝36－eq\o(ON,\s\up6(→))2＝－28，解得eq\o(ON,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(OQ,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(NP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OQ,\s\up6(→))2＝100－64＝36.4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围是()A．[0,1] B．[0,2]C．[1,3] D．[0,4]答案B解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2eq\r(3).当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径．设内切球的球心为O，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(ON,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，eq\r(3)]，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))∈[0,2]．5．(2023·佛山模拟)已知A(－1,0)，B(2,0)，若动点M满足MB＝2MA，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的最大值是()A．－eq\f(9,4)B．4C．12D．18答案D解析设M(x，y)，因为MB＝2MA，所以eq\r(x－22＋y2)＝2eq\r(x＋12＋y2)，化简得(x＋2)2＋y2＝4，设线段AB的中点为C，则Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，因为eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))2－eq\o(CA,\s\up6(→))2＝|MC|2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|AB|))2＝|MC|2－eq\f(9,4)，又|MC|max＝eq\f(1,2)－(－2)＋2＝eq\f(9,2)，所以eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的最大值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2－eq\f(9,4)＝18.6.(多选)给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq\f(2π,3)，如图所示，点C在以O为圆心的eq\o(AB,\s\up9(︵))上运动，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y的取值可以是()A．1B.eq\f(5,4)C．2D.eq\f(5,2)答案ABC解析令x＋y＝k，如图，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，又∠AOB＝eq\f(2π,3)，则k＝eq\f(|\o(OD,\s\up6(→))|,|\o(OE,\s\up6(→))|)＝2.当点C在A(或B)处时，x＋y最小为1.故x＋y的取值范围是[1,2]．7．(多选)(2023·六安模拟)已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S△BOC，S△AOC，S△AOB，则S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有()A．若2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝4∶3∶2B．若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，∠AOB＝eq\f(2π,3)，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC＝eq\f(9\r(3),4)C．若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，则O为△ABC的垂心D．若O为△ABC的内心，且5eq\o(OA,\s\up6(→))＋12eq\o(OB,\s\up6(→))＋13eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则∠ACB＝eq\f(π,2)答案BCD解析对于A,2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，故A错误；对于B，S△AOB＝eq\f(1,2)×2×2×sineq\f(2π,3)＝eq\r(3)，又2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，所以S△ABC＝eq\f(9,4)S△AOB＝eq\f(9\r(3),4)，故B正确；对于C，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，即(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，故eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，同理可得eq\o(CB,\s\up6(→))⊥eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(OC,\s\up6(→))，所以O为△ABC的垂心，故C正确；对于D,5eq\o(OA,\s\up6(→))＋12eq\o(OB,\s\up6(→))＋13eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝5∶12∶13，设内切圆半径为r，S△BOC＝eq\f(1,2)r·BC，S△AOC＝eq\f(1,2)r·AC，S△AOB＝eq\f(1,2)r·AB，即BC∶AC∶AB＝5∶12∶13，即AB2＝AC2＋BC2，∠ACB＝eq\f(π,2)，故D正确．8.(2023·黄冈模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝45°.若M为菱形ABCD内部(含边界)任一点，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的取值范围是________．答案[－1,4＋2eq\r(2)]解析取线段AB的中点E，连接ME，如图，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(ME,\s\up6(→))2－eq\o(EA,\s\up6(→))2＝eq\o(ME,\s\up6(→))2－1，当且仅当|eq\o(ME,\s\up6(→))|＝0，即点M与点E重合时，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))最小为－1，当且仅当|eq\o(ME,\s\up6(→))|最长，即点M与点C重合时，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))最大，显然∠CBA＝135°，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BE,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos∠CBA＝1×2×cos135°＝－eq\r(2)，因此eq\o(CE,\s\up6(→))2＝(eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))2＝eq\o(BE,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,