2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题五　第2讲　随机变量及其分布56

第2讲随机变量及其分布一、单项选择题1．(2023·渭南模拟)已知随机变量η的分布列为P(η＝i)＝eq\f(ai,4)(i＝1,2,3,4)，则P(η＝3)等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,10)D.eq\f(1,3)2．在一个袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球，3个白球，现从中任取3个小球，设取的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是()A．P(X＝1)＝eq\f(3,7)B．随机变量X服从二项分布C．随机变量X服从超几何分布D．E(X)＝eq\f(3,8)3．(2023·宁德质检)某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶．根据其种植经验，在正常环境下，甲、乙两个品种的茶青每500克的红茶产量(单位：克)分别为X，Y，且X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是()A．Y的数据较X更集中B．P(X≤c)<P(Y≤c)C．甲种茶青每500克的红茶产量超过μ2的概率大于eq\f(1,2)D．P(X>c)＋P(Y≤c)＝14．小华与另外4名同学进行“手心手背”游戏，规则是：5人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得1分，其余每人得0分．现5人共进行了3次游戏，记小华3次游戏得分之和为X，则E(X)为()A.eq\f(15,16)B.eq\f(33,16)C.eq\f(15,8)D.eq\f(3,2)5．(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则()A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大6．(2023·泰州模拟)在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a>0，都有P(ξ≥a)≤eq\f(Eξ,a).某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为P(A)．则P(A)的最大值为()A.eq\f(27,1000)B.eq\f(243,1000)C.eq\f(4,27)D.eq\f(4,9)二、多项选择题7．(2023·沈阳模拟)为调查中学男生的肺功能情况，对两学校各1000名男生的肺活量数据(单位：mL)进行分析，随机变量X表示甲校男生的肺活量，且X～N(3000,2002)，随机变量Y表示乙校男生的肺活量，且Y～N(3200,3002)，则下列说法中正确的有()A．甲校男生肺活量数据的均值低于乙校B．乙校男生肺活量数据的波动幅度大于甲校C．估计甲、乙两校男生肺活量在3000mL～3200mL的人数占比相同D．估计甲校男生肺活量低于2800mL的人数比乙校男生肺活量低于2800mL的人数多8．随机变量ξ的分布列如表所示，其中xy≠0，下列说法正确的是()ξ012Pxeq\f(y,3)eq\f(2y,3)A.x＋y＝1B．E(ξ)＝eq\f(5y,3)C．D(ξ)有最大值D．D(ξ)随y的增大而减小三、填空题9．(2023·南通模拟)随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,3)))，则D(4X＋1)＝________.10．(2023·青岛模拟)某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(175，σ2)，已知P(175≤X<180)＝0.2，若P(X≤a)∈[0.3,0.5]．写出一个符合条件的a的值为________．11．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为________．12.(2023·汕头模拟)某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，平均每个人需要化验________次．(结果保留四位有效数字)(0.955≈0.7738,0.956≈0.7351，0.957≈0.6983)．四、解答题13．(2023·衡阳名校协作体模拟)某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)才能进行第二步技能操作．第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止．A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分．以两步总分和决定优胜者．总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖．某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为eq\f(2,3)，且各题操作互不影响．(1)求李明被终止比赛的概率；(2)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后得分的分布列及均值；(3)求李明获二等奖的概率．14．(2023·龙岩质检)新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差(这里指质量与生产标准的差的绝对值)的样本数据统计如下表．质量差(单位：mg)5667707886件数(单位：件)102048193(1)求样本平均数eq\x\to(x)的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差(这里指质量与生产标准的差的绝对值)X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ2的近似值为36，用样本平均数eq\x\to(x)作为μ的近似值，求概率P(64≤X≤82)的值；(2)若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线生产效率的两倍．若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该