专题2.3直线的交点坐标与距离公式（八个重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）（解析版）

专题2.3直线的交点坐标与距离公式知识点1两条直线的交点坐标1．两条直线的交点坐标已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标．2．方程组解的组数与两条直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线与的位置关系相交重合平行重难点1直线的交点坐标1．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出交点坐标，再根据与直线的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解.【详解】联立方程，解得，所以交点坐标为；直线的斜率为，所以所求直线方程的斜率为，由点斜式直线方程得：所求直线方程为，即；故选：B.2．若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（

）A．20 B．-4 C．12 D．4【答案】A【分析】根据两直线垂直，列出方程求得的值，再由两种的交点为，列出方程组求得的值，即可求解.【详解】由两直线与垂直，可得，即，又由两直线的交点坐标是，可得，解得，所以.故选：A.3．若直线与直线的交点为，则实数a的值为（

）A．-1 B． C．1 D．2【答案】A【分析】由题意可列方程，解方程即可得出答案.【详解】直线与直线的交点为，所以.故选：A.4．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．(1)直线；(2)直线．【答案】(1)相交，交点是(2)答案见解析【分析】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系；（2）分类讨论，解方程组可得答案.【详解】（1）联立，解得，所以两直线相交，交点坐标为.（2）当时，，，联立，方程组有无数组解，故两直线重合，当时，，，联立，方程组无解，故两直线平行，当，联立，解得，所以两直线相交，交点坐标为.综上所述：当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交，交点坐标为.5．已知的顶点，AC边上的高BC所在的直线方程为，则顶点C的坐标为.【答案】【分析】根据BC与AC垂直可得，求出直线AC的方程与联立可得答案.【详解】由题意知BC与AC垂直，，，∴直线AC的方程为，即，解方程组，得点C的坐标为.故答案为：.6．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为【答案】4【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解.【详解】若方程组有无穷多组解，即两条直线重合,即,则故答案为：47．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，再依题意得到不等式组，解得即可.【详解】联立方程组，解得，因为直线与直线的交点在第一象限，所以，解得，所以，即实数的取值范围是.故选：A8．写出使得关于的方程组无解的一个的值为.（写出一个即可）【答案】，3，（写出一个即可）【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解.【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解；当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点，若两直线平行，则，解得.若两直线不平行时，过点，即，解得或，此时，不过点，方程组无解.综上，的取值为.故答案为：，3，（写出一个即可）重难点2直线的交点系方程9．设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为.【答案】或【分析】由题可求交点，结合条件即可求出；或设直线系方程，结合已知即求.【详解】方法一：由，得，所以两条直线的交点坐标为（14，10）,由题意可得直线的斜率为1或-1，所以直线的方程为或，即或.方法二：设直线的方程为，整理得，由题意，得，解得或，所以直线的方程为或.故答案为：或.10．已知两直线和的交点为P．求：(1)过点P与的直线方程；(2)过点P且与直线平行的直线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线.（2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线.【详解】（1）设过直线和交点的直线方程为，即．①把点代入方程①，化简得，解得，所以过点P与Q的直线方程为，即．（2）由两直线平行，得，得，所以所求直线的方程为，即．11．求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．【答案】2x+y+8＝0．【分析】设出所求的直线方程为x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，由它的斜率为2，求出λ的值，即得所求的直线方程．【详解】设过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点的直线方程为x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，即（1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率为2，解得λ，∴所求的直线方程为2x+y+8＝0．12．求证：不论m为何实数，直线l:(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点，并求出此定点的坐标.【答案】证明见解析，(9,－4)【分析】取不同的两值得两不同直线，求直线交点代入检验即可得证，该交点即为所求定点.【详解】令得，令得，两条直线和的交点为.将代入直线方程得恒成立，所以直线l恒过定点.13．已知两直线和.（1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点；（2）求过与的交点且斜率为的直线方程.【答案】（1）两直线相交，两直线交点为；（2）.【分析】（1）利用两直线的斜率即可判定，联立方程即求；（2）利用点斜式即求或设直线系方程即得.【详解】（1）∵，∴两直线相交，联立两直线方程得解得即两直线交点为.（2）解法一：由点斜式方程可得所求的直线方程为，即.解法二：显然不是所求方程可设所求直线方程为，整理得，∴，∴，整理得所求直线方程为.14．直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程．【答案】【分析】经过直线与直线的交点的直线可设为：，把代入求出，即可得到直线方程.【详解】经过直线与直线的交点的直线可设为：把代入，得：，解得：，所以，所求的直线方程为：.知识点2两点间的距离公式如图，由点，由此得到两点间的距离公式，特别地，原点与任一点间的距离知识点3点到直线的距离公式点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立．注意：点到几种特殊直线的距离①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|；②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离.知识点4两条平行直线间的距离1．两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．2．两条平行直线间的距离公式一般地，两条平行直线间的距离注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决：①两直线都与轴垂直时，则；②两直线都与轴垂直时则.重难点3平面内两点的距离公式15．已知两点，，则（

）A．3 B．5 C．9 D．25【答案】B【分析】根据两点间的距离公式计算可得.【详解】因为，，则.故选：B16．已知，，，则是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】根据两点间的距离公式计算出，，的长度即可判断【详解】，，，，，，，是直角三角形．故选：A．17．已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），则四边形ABCD是（

）A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形【答案】A【分析】利用斜率判断直线是否平行，利用两点间距离公式判断线段是否相等.【详解】由A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），有，，则，，，，所以四边形ABCD是梯形.故选：A.18．已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，因为，由两点间的距离公式求解即可.【详解】因为点C在x轴上，设点，则，所以，化简可得：，所以.故选：D.19．若，点是AB的垂直平分线上一点，则.【答案】【分析】因为点是AB的垂直平分线上一点，所以，再由两点间的距离公式求解即可.【详解】因为，点是AB的垂直平分线上一点，所以，所以解得：.故答案为：.20．已知三顶点坐标，试求边上的中线的长．【答案】【分析】设点的坐标为，由为的中点，可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求出的长．【详解】设点的坐标为，因为点为的中点，所以，即点的坐标为．由两点间的距离公式得，所以边上的中线的长为．重难点4由距离求点的坐标21．已知三点，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可【详解】由两点间的距离公式，及可得：，解得.故选：A22．已知点与点间的距离为，则．【答案】9或【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可.【详解】由，得，即，解得或．故答案为：9或.23．已知点，且，写出直线AB的一个方程【答案】(答案不唯一)【分析】根据两点间的距离公式，求出的值，然后写出点的坐标，从而可求直线AB的一个方程.【详解】根据两点间的距离公式，得，即。所以，所以或，当时，，直线的方程为；当时，，直线的方程为.故答案为：.(答案不唯一)24．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为．【答案】或【分析】由题意得，，根据直线垂直的斜率公式与两点距离公式列式求解.【详解】设，由题意知，，得，可化为，解得或，所以点的坐标为或．故答案为：或25．在平面直角坐标中，已知、、，平面内的点满足，则点的坐标为．【答案】【分析】设点的坐标为，根据条件建立有关、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得点的坐标.【详解】设点的坐标为，由可得，解得，因此，点的坐标为.故答案为：.【点睛】本题考查利用两点间的距离求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.26．已知，，线段的垂直平分线为直线．(1)求直线的一般式方程；(2)若点在直线上，且，求点坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题意，求出线段的中点坐标及直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程，化简即可得答案；（2）设点坐标为，由题意，列出关于的方程组求解即可得答案.(1)解：因为，，所以线段的中点为，，又线段的垂直平分线为直线，所以，所以直线的方程为，即，所以直线的一般式方程为；(2)解：设点坐标为，由题意有，解得或，所以点坐标为或.重难点5点到直线的距离27．点到直线的距离为．【答案】【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故答案为：.28．在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可确定直线：，则直线过原点，且斜率为，由此可确定点到直线l的距离大于1，再确定当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，即可求得答案.【详解】由题意直线：，则直线过原点，且斜率为，

当直线l无限靠近于y轴时，点到直线l的距离无限接近于1，故点到直线l的距离大于1，当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，最大值为，故点A到直线的距离的取值范围为，故选：B29．已知到直线的距离等于4，则a的值为．【答案】10或【分析】利用点到直线距离公式可直接构造方程求得a的值．【详解】由到直线的距离等于4，则，解得或．故答案为：10或．30．已知点，求过点A且与原点距离为2的直线l的方程．【答案】或【分析】讨论所求直线斜率存在性，结合点线距离求直线方程即可.【详解】当斜率不存在时，直线l的方程为，此时，原点到直线l的距离为2，符合题意；当斜率存在时，设直线l的方程为，即，由已知得，解得，此时直线l的方程为，综上知：直线l的方程为或．31．已知、、，则的面积为．【答案】8【分析】根据两点间距离公式，结合点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】由、可得直线方程为，由、可得，点到直线的距离为：，所以的面积为，故答案为：32．已知的顶点为，，．(1)求边所在的直线的方程；(2)求边的高线所在的直线的方程；(3)求的面积．【答案】(1)(2)(3)10【分析】（1）直接由点坐标得到两点式方程，化简即可；（2），则边上高线的斜率为，直接写出点斜式方程，化简即可；（3）首先求出到直线的距离，再求出的长，则可计算出三角形面积.【详解】（1）直线的两点式方程为，化简得，故边所在的直线方程为.（2）由（1）知，故边上高线的斜率为，故其所在直线方程为，化简得（3）边所在的直线方程为，故到直线的距离,故33．已知的三个顶点、、．(1)求边所在直线的方程；(2)边上中线的方程为，且，求点的坐标．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；（2）首先根据直线方程，可得，然后利用点到直线距离，得到点到直线的距离为：，再根据，得到，最后解方程组即可得到参数的值.【详解】（1）因为、，所以BC边所在直线的方程为：；（2）BC边上中线AD的方程为，所以有，点A到直线BC的距离为：，，因为，所以有，因此有或，解得：或，所以点A的坐标为：或．34．已知直线.(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求面积的最小值.【答案】(1)(2)面积的最小值为【分析】（1）判断出直线过定点，在根据直线不经过第四象限求得的取值范围.（2）求得两点的坐标，从而求得面积的表达式，利用利用基本不等式求得其最小值.【详解】（1）直线，即，所以直线过定点，是直线的斜率，所以.（2）因为直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以取；取；所以，所以，当且仅当时等号成立.重难点6平行直线的距离35．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（

）．A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】根据两直线平行求出参数的值，再将直线方程化为、对应系数一致，最后利用距离公式计算可得.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线，即，即，所以两平行线之间的距离.故选：B36．两条平行直线与间的距离为（

）A． B．2 C．14 D．【答案】D【分析】由距离公式求解即可.【详解】由距离公式可知，所求距离为.故选：D37．已知直线l到两条平行直线与的距离相等，则直线l的方程为．【答案】【分析】由平行直线系设直线的方程，由平行线间的距离公式列式求解即可．【详解】解：依题意设直线的方程为，，则，即，解得，所以直线的方程为．故答案为：38．两平行直线与直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把两条直线化为的系数相等的形式，再代入两平行直线的距离公式即可得到结论．【详解】由直线可得：，根据平行线间距离公式知,故选：A39．若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为．【答案】或【分析】根据两平行线间的距离与2的比较可得直线和两平行线的夹角为60°，再根据倾斜角的关系求解即可．【详解】设直线与两平行线的交点分别为，过点作的垂线，垂足为，如图，两平行线间的距离，则，又，所以直线与两平行线的夹角满足，则，因为两平行线斜率为，所以倾斜角为，所以直线的倾斜角为或．故答案为：或．40．若直线：与：平行，则与之间的距离为．【答案】【分析】先根据两直线平行求得，再根据平行直线间的距离公式即可得解.【详解】因为直线：与：平行，所以，解得，所以直线：与：平行，所以与之间的距离为.故答案为：.重难点7对称问题41．点关于直线的对称点的坐标为．【答案】【分析】根据对称性直接列式求解即可.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，即点关于直线的对称点的坐标为.故答案为：.42．已知的一条内角平分线CD的方程为，两个顶点为，，则顶点C的坐标．【答案】【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据点在直线上，利用两点式求得的方程，再把的方程和的方程联立方程组，求得第三个顶点的坐标【详解】由题意可知：关于直线的对称点在直线上，设对称点为，则由，解得，所以直线BC的斜率为,所以直线（即）的方程为，即：．解方程组，求得点的坐标为．故答案为：.43．如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为.【答案】【解析】因为折叠的过程中，点落在线段上，特别的如果折叠后重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点和对折后的对应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线的方程.【详解】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，，所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得：，故折痕所在的直线的方程.，从而折痕所在的直线与的交点坐标为，折痕所在的直线方程为，即，综上所述：折痕所在的直线的方程为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了点关于线段对称问题，考查了直线方程的求法，考查了两直线垂直关系的应用，属于中档题44．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为.【答案】【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程.【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率，又点与点的中点为，折痕所在直线方程为：，即.故答案为：.45．与直线关于点对称的直线方程是．【答案】【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于的对称点，再代入直线方程即可得到答案.【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点，则关于对称点为，又因为在上，所以，即，故答案为：.46．已知点的坐标为，直线的方程为，求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于点的对称直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可；（2）根据相关点法分析运算即可.【详解】（1）设，由题意可得，解得，所以点的坐标为.（2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为，则，解得，由于在直线上，则，即，故直线关于点的对称直线的方程为.47．已知直线​的方程为​，点​的坐标为​.(1)若直线与​关于点​对称，求​的方程;(2)若点​与​关于直线​对称，求​的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）由直线与直线互相平行，且点到两直线距离相等，列方程即可求解；（2）由直线垂直平分线段，列方程组即可求解.【详解】（1）易知直线与直线互相平行，设的方程为​，点到两直线距离相等，有​，即​，或​(舍去)，故​的方程为​.（2）设点​的坐标为​，直线，且的中点在直线上，而直线的斜率为，，故有​，解得，​故​的坐标为.重难点8距离的最值问题48．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.【详解】,可以看作点到点的距离之和，作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，最小值为间的距离.故选：D.49．（多选）下列结论错误的是（

）A．过点的直线的倾斜角为B．若直线与直线垂直，则C．直线与直线之间的距离是D．已知，点在轴上，则的最小值是5【答案】AC【分析】求出直线倾斜角判断A；利用垂直关系求出a判断B；求出两条平行线间距离判断C；利用对称求出最小值判断D作答.【详解】对于A，直线倾斜角，斜率，而，即，A不正确;对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确；对于C，直线与直线平行，它们间的距离，C不正确；对于D，令点关于x轴的对称点为，连接交x轴于，P为x轴上任意点，连接，如图，则，当且仅当点P为线段与x轴的交点时取等号，，因此的最小值是5，D正确.故选：AC50．已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标．【答案】【分析】首先求得点A关于x轴的对称点，然后数形结合根据直线方程求解点P的坐标即可.【详解】点关于x轴的对称点为,如图所示，若点不在直线上则,连接并延长交x轴于点P，即为最大值．直线的方程是，即.令，得．则点P的坐标是.51．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说