初中数学九年级下册5 三角形的内切圆（全国一等奖）

24.5三角形的内切圆三角形的内切圆1.确定圆的条件是什么？1）圆心与半径2.下图中△ABC与圆O的关系？△ABC是圆O的内接三角形；圆O是△ABC的外接圆圆心O点叫△ABC的外心知识回顾ACBO2）不在同一直线上的三点第一幼儿园门口有一块三角形空地,经常停了很多车，影响城市形象。为了响应创建文明城市行动，市政府现准备在这里搭建一圆形花坛，既美化城市又能杜绝乱停乱放。要想圆形花坛面积最大且不影响交通，怎么确定花坛的中心位置。下图是设计师的几种设计，请同学们帮他确定一下.思考ABC思考下列问题：1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心0在∠ABC的平分线上。OMABCN三角形内切圆的作法思考下列问题：

2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？

圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。AO图2ABC三角形内切圆的作法4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆？内切圆圆心能否在三角形外部?

作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径。

IFCABED

3.如何确定一个与三角形三边都相切的圆的圆心位置与半径的长？

圆心都在三角形内部,因为三角形的三条内角平分线在三角形内部,且相交只有一个交点。

试一试：分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内部．作法：ABC1.作∠B、∠C的平分线

BM和CN，交点为I。I2.过点I作ID⊥BC，垂足为D。

3.以I为圆心，ID为半径作⊙I.

⊙I就是所求的圆。MND试一试:你能画一个与三角形各边都相切的圆吗?步骤：画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。CBADFEOr1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；性质：CBADFEOr2.三角形的内心在三角形的角平分线上；名称图形确定方法性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．垂心重心外心内心交点性质位置三条高线的交点三条角平分线的交点三边垂直平分线的交点三条中线的交点在形内、形外或直角顶点在形内、形外或斜边中点在形内在形内到三角形各顶点距离相等到三角形三边距离相等把中线分成了2:1两部分例1：如图，在△ABC中，∠BAC=500

，点I是内心，求∠BIC的度数。分析：

∠BIC=?

∠1+∠3=?

I为△ABC的内心

BI是∠ABC的角平分线

CI是∠ACB的角平分线

ABCI2143ABCI2143变式2：在△ABC中，点I是内心，∠BIC=120°，求∠BAC的度数。变式3：在△ABC中，点I是内心，∠BAC=α，求∠BIC的度数。变式1：如图，在△ABC中，∠BAC=500

，点I是外心，求∠BIC的度数。例2、如图，△ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，已知BC=a，AC=b，AB=c，设⊙O的半径为r，请说明下列结论成立的理由。①∠BOC=900+∠BAC，②∠EDF=900-∠BAC，③ABCDEFO例3、如图：点I是△ABC的内心，AI交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E.求证：BE＝IE提示：欲证BE＝IE

需证∠BIE＝∠IBE把∠BIE转化为两圆周角之和12345ABCOabcDEr思考题：如图:已知直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为c则其内切圆的半径r为:r=a+b-c2F1.直角三角形的直角边长分别为5cm和12cm，则它的外接圆半径是

cm，内切圆半径是

cm6.522.设直角三角形的直角边长分别为a、b，它的外接圆和内切圆半径分别是R、r，则a+b=（）A、R+rB、2（R+r）C、2RD、4rB考点：直角三角形外接半径和内切圆半径的求法。Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，其内切圆⊙I分别切BC、AC、AB于D、E、F，求证：（1）的半径r=(a+b-c)/2；（2）BD和AE是方程2x2-2cx+ab=0的两个根。·ABICDFE课堂小结：

1.谈谈本节课你学到了什么？

认识了三角形的内切圆，内心，圆的外切三角形；掌握了作一个三角形的内切圆的方法；理解并掌握了内心的性质类比思想，整体思想，从特殊到一般的思想2.本节课运用了什么数学思想？作业：1.练习1、2、3题

2.课外拓展：求等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比。CABRrOD补充练习；

已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14cm，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。ABCEDFxxyyOzz解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组x+y=13y+z=14x+z=9:Z=5X+y+z=18x+y=13解得知识拓展一、直角三角形的外接圆与内切圆1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.abc斜边中点斜边的一半知识拓展3.Rt△ABC中