专题11三角全章复习（12个考点）强化训练（原卷版）

专题11三角全章复习（12个考点）强化训练考点一．象限角、轴线角在直角坐标系内讨论角（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．【解题方法点拨】（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．（2）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．考点二．任意角的三角函数的定义任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝．2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．考点三．三角函数值的符号三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．考点四．运用诱导公式化简求值利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．考点五．同角三角函数间的基本关系1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．考点六．三角函数恒等式的证明三角函数恒等式：1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）═﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．考点七．两角和与差的三角函数（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．考点八．二倍角的三角函数二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．考点九．半角的三角函数半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．考点十．三角函数的恒等变换及化简求值三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．公式①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．考点十一．正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．考法十二．解三角形1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sinA＝sinB＝sinC＝一．任意角的三角函数的定义（共9小题）1．（2023春•浦东新区期中）已知角的终边过点，，则角的余弦值为．2．（2023春•长宁区期末）已知角的终边经过点，则角的正弦值是．3．（2023春•宝山区期末）在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则．4．（2023春•浦东新区校级期末）若角的终边经过点，则实数的值为．5．（2023春•虹口区校级期中）设为实数，点为角的终边上一点，且，则．6．（2023春•徐汇区校级期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经过点，，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是．（填上所有正确的序号）①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为．7．（2023春•奉贤区校级期中）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与以点为圆心的圆交于点，则．8．（2023春•静安区校级期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则．9．（2023秋•奉贤区期末）已知平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角始边与轴的正半轴重合，终边与一次函数的图像交于点．（1）当时，求的值；（2）若，求点的坐标．二．三角函数值的符号（共3小题）10．（2023春•浦东新区期中）已知点在第四象限，则角的终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2023春•宝山区校级月考）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是A． B． C． D．12．（2023秋•宝山区期末）已知，，则角的终边在第象限．三．运用诱导公式化简求值（共6小题）13．（2023秋•虹口区期末）若是任意实数，则A． B． C． D．14．（2023春•黄浦区校级期末）与一定相等的是A． B． C． D．15．（2023春•金山区校级月考）已知，则的值为．16．（2023春•黄浦区期末）若，则．17．（2023秋•宝山区期末）已知．（1）求；（2）若角为第二象限角，且，求的值．18．（2023春•宝山区校级月考）已知，求下列各式的值：（1）若不是第二象限角，求的值；（2）求的值．四．同角三角函数间的基本关系（共8小题）19．（2023秋•徐汇区校级期中）是成立的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件20．（2023春•青浦区校级月考）已知，且，其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是A． B． C． D．221．（2023秋•宝山区期末）已知，则．22．（2023春•浦东新区校级期中）在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是．23．（2023春•宝山区校级月考）已知，，则．24．（2023春•嘉定区校级期中）已知，则的值等于．25．（2023春•奉贤区校级期中）已知．（1）求的值；（2）求的值．26．（2023春•浦东新区校级月考）已知，计算下列各式的值．（1）；（2）．五．三角函数恒等式的证明（共2小题）27．（2023春•浦东新区校级月考）证明：．28．（2023春•青浦区校级月考）（1）化简：．（2）证明恒等式：．六．两角和与差的三角函数（共5小题）29．（2023春•闵行区校级期中）的值为．30．（2023春•松江区校级月考）已知，，且，则．31．（2023春•奉贤区校级期末）已知函数，对于任意，都有成立，则．32．（2023春•宝山区期末）已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是．33．（2023春•宝山区校级月考）已知，，是三个锐角，则，，中，大于的数至多有个A．0 B．1 C．2 D．3七．二倍角的三角函数（共4小题）34．（2023春•徐汇区校级期中）已知，则．35．（2023春•金山区校级月考）已知，则．36．（2023春•青浦区校级期中）已知，且有，则．37．（2023春•闵行区期末）在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称．若，则．八．半角的三角函数（共1小题）38．（2023春•静安区校级月考）已知且，则．九．三角函数的恒等变换及化简求值（共5小题）39．（2023春•徐汇区校级期中）若，则．40．（2023春•宝山区校级月考）若，则的值为A． B． C． D．41．（2023春•嘉定区校级期末）当时，化简的结果是A． B． C． D．42．（2023春•静安区校级月考）若，则的值为A．0 B．1 C．2 D．43．（2023春•金山区校级月考）已知，求：（1）化简；（2）求的值．一十．正弦定理（共5小题）44．（2023春•浦东新区校级期末）在三角形中，，，，则A． B． C．或 D．或45．（2023春•虹口区校级期中）在中，，则的取值范围是A． B． C． D．46．（2023春•青羊区校级月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的外接圆的面积为A． B． C． D．47．（2023春•徐汇区校级期中）在锐角中，内角，，所对应的边分别是，，，且，则的取值范围是．48．（2023春•嘉定区校级期中）（1）已知在中，，求；（2）在中，，求、．一十一．余弦定理（共3小题）49．（2023春•松江区校级月考）在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为A．2021 B．2022 C．2023 D．202450．（2023春•长宁区校级期中）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，为某区的一条健康步道，、为线段，是以为直径的半圆，，，．（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道，在两侧），其中，为线段．若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？（精确到51．（2023春•嘉定区校级期中）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，．（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？一十二．解三角形（共4小题）52．（2023春•松江区校级月考）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的