微考点6-4利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题（原卷版）

微考点64利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题【考点目录】考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为考点四：双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式【考点分类】考点一：椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）证明：设．双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）【精选例题】【例1】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【例2】设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为（）A． B．3 C． D．2【跟踪训练】1.设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为（）A． B． C． D．2.设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（）A．1 B．2 C．4 D．8考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．两式相减得，所以．中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得．双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为，【精选例题】【例1】已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，），则G的方程为A． B．C． D．【例2】过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．【例3】（多选题）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．点为上不在坐标轴上的任意一点，且，，，四条直线的斜率之积大于，则的离心率可以是A． B． C． D．【跟踪训练】1.已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线、的倾斜角分别为、，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2.已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则双曲线的离心率是（

）A． B．2 C． D．考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为【精选例题】【例1】若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【例2】已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为A．B．3C．D．【跟踪训练】1.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （）A．B．C．D．2．已知双曲线的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为A．B．C．D．【精选例题】【例1】已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例2】（多选题）双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（

）A．到轴的距离为B．点的轨迹是双曲线C．若，则D．若，则【例3】（多选题）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（

）A．圆和圆外切 B．圆心在直线上C． D．的取值范围是【跟踪训练】1.已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是______.2．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点，若、分别为与的内心，则（

）A．的渐近线方程为B．点与点均在同一条定直线上C．直线不可能与平行D．的取值范围为考点五：已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有.【精选例题】【例1】已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（

）A． B． C． D．【例2】（多选题）已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（

）A．B．C．D．【跟踪训练】1．已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．考点六：设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则．【精选例题】【例1】已知椭圆过焦点的直线与椭圆C交于A，B两点（点A位于轴上方），若，则直线的斜率的值为．【例2】已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（

）A． B． C． D．【例3】已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【跟踪训练】1.斜率为的直线过椭圆的焦点，交椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为．2.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．考点七：已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.情形1.如图1.若,则图1图2如图2.若，则【精选例题】【例1】过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________【例2】已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【跟踪训练】1.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2．是双曲线的左右焦点，过且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．1．已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为2，则（

）A．2 B．3 C．4 D．52．椭圆与直线交于M，N两点，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（

）A． B． C． D．3．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线距离为，则双曲线实轴长（

）A． B． C． D．4．（多选题）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点在椭圆上，则（

）A．的最大值为3B．的周长为4C．若，则的面积为D．若，则5．（多选题）设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（

）A．直线AB与OM垂直B．若点M坐标为，则直线方程为C．若直线方程为，则点M坐标为D．若直线方程为，则6．（多选题）设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段中点的是（

）A． B． C． D．7．（多选题）若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是（

）A．， B．C．若，则 D．若，则的最小值为