广东省2023届高三年级上册开学联考数学试题

广东省2023届高三上学期开学联考数学试题

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人得分

一、单选题

1.已知复数Z满足z（l+i）=2,则5的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.—i

2.集合4={小2-犬_2<0},8={y|y=x2,xeA},则4口8=()

A.(1,4)B.[1,4)C.(0,2)D.[0,2)

__1____1__

3.在平行四边形"8中，点E、尸分别满足=BF=-FD,若丽=£,

而=人则乔=()

5-311-5113-3亍n19-5「

A.—ci—brB.—a—brC.—a—bD.—a—b

124124124124

4.如图所示的三棱锥P—A5C中，PAI'®ABC,ABA.BC,PA=AB=BC=3,则该

三棱锥的外接球的表面积为()

277

A.B.274C.54万D.108万

5.把函数y=sin2x（xwR）的图像上所有的点向左平行移动£个单位长度，再把所得图

6

像上所有点的横坐标缩短到原来的g倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是

()

A.y=sinf4X4--^-J,XGRB.y=sin(4x--^-LXGR

C.y=sin[4^+yLxeRD.y=sinfR

6.在0至5这6个数字中任选3个不同的数，组成一个三位数，若从这些三位数中任

取一个，则该数为三位偶数的概率是()

7.已知f(x)=2x2,数列｛4｝满足q=2,且对一切〃eN*,有/=/&),则()

A.｛为｝是等差数列B.｛%｝是等比数列

C.｛1%％｝是等比数列D.｛1唱q+1｝是等比数列

设"拆「4-ln4

8.力=lnj2，c=-7—,则()

e

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

评卷人得分

二、多选题

9.已知/(x)=xe*,xeR,贝lj()

A.广(x)=(x-l)e'B.曲线在(0,0)处的切线斜率为1

C./(x)在(0,+8)上单调递增D./(x)的最小值为」

e

10.已知椭圆C：卷=1，月、尸2是椭圆C的两个焦点，M.N是椭圆C上两点,

且M、N分别在x轴两侧，则()

A.若直线经过原点，则四边形””叫为矩形

B.四边形M4N名的周长为20

C.△MF建2的面积的最大值为12

D.若直线经过尸2，则K到直线MN的最大距离为8

11.直六棱柱48。。£：尸-486〃片片中，底面是边长为2的正六边形，侧棱A4,=2,

点。是底面AfiCDEf"的中心，则()

A.。片〃平面AC?B.。6与BC所成角的余弦值为它

4

C.30,平面明。0D.与平面CG耳尸所成角的正弦值为

百

~T

12.已知直线，：＞=以-1,曲线G：/(x)=e'"+l,曲线G关于直线y=x+l对称的曲线

试卷第2页，共4页

G所对应的函数为y=g(x)，则以下说法正确的是()

A.不论。为何值，直线/恒过定点

B.g(x)=lnx-l；

C.若直线/与曲线G相切，则〃=1;

D.若直线/上有两个关于直线y=x+l对称的点在曲线G上，则

第H卷(非选择题)

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评卷人得分

----------------三、填空题

13.[x--|的展开式中的常数项为

14.过点尸(2,2)作圆f+y2=4的两条切线，切点分别为A、B,则直线A8的方程为

15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算

经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，

五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5

除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列｛%｝,记数列｛%｝的前〃项和

为S“，则白上型的最小值为.

n

16.已知双曲线=耳、吊是双曲线C的左、右焦点，M是双曲线C右支上

一点，/是/月屿的平分线，过工作/的垂线，垂足为尸，则点P的轨迹方程为.

评卷人得分

17.已知数列｛叫的前〃项和为S“，6=1,且5,用=4/+1,Z,„=^(neN*).

⑴证明：数列｛々｝是等差数列；

⑵求数列｛%｝的前”项和.

18.已知锐角AABC中，角A、B、C所对边为“、b、c,且Sn8+tanC+6=G

tanBtanC

(1)求角A；

(2)若a=4,求b+c的取值范围.

19.如图所示，在直三棱柱ABC-A4G中，底面AABC是边长为2的等边三角形,

M=4,。是AB的中点，E是CG上一点.

(1)求证：平面CDE-L平面AAB|B；

(2)若8〃平面48E,求平面48E与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

20.甲、乙两人进行下象棋比赛(没有平局).采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，

甲获胜的概率为P,

⑴设甲以3：1获胜的概率为/(p),求/(P)的最大值；

(2)记(1)中，/(P)取得最大值时P的值为P。，以P。作为。的值，用X表示甲、乙两

人比赛的局数，求X的分布列和数学期望E(X).

21.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上一点E(-l,。，直线/过抛物线C的焦点F,

且与抛物线C交于不同的两点A、B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线E4、EF、EB的斜率分别为尤、的、%,求证：勺+&=2&.

k

22.己知函数/(x)=lnx+-,x>0.

x+l

(1)当％=4时，比较/(好与2的大小；

2222

(2)求证：—+—+—+----<ln(77+1),neN".

3572〃+l

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

化简z=l-i,再求出W=l+i即得解.

【详解】

由z(l+i)=2,得2=3=誓2=1,从而］=l+i，所以1的虚部为1.

1+1r-r

故选：A

2.D

【解析】

【分析】

先求出集合A、B,再求出AflB.

【详解】

因为A={x|-l<x<2},B={y|0<y<4},所以AcB={x[04x<2}.

故选：D

3.A

【解析】

【分析】

结合向量加法法则与减法法则运算求解即可.

【详解】

解：因为在平行四边形A3CD中，点E、尸分别满足力后=3而九BF=^FD,

所以而=衣一瓶=（荏+而而+函，BF=-BD=-[AD-AB^=-^b-ajf

5-3

所以乔一a——

124

故选：A

DE

B

答案第1页，共15页

4.B

【解析】

【分析】

将三棱锥补形成正方体，易知该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，PC为外接球的直径,

利用球的表面积公式求解即可.

【详解】

将三棱锥补形成正方体，易知该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，

27

所以尸C为外接球的直径2R,则可得（2R）2=PC2=P*+4B2+8C2=27,即收=下，

所以外接球的表面积为5=4兀代=27兀.

故选：B.

5.C

【解析】

【分析】

根据三角函数的图像变化规律即可求得解析式.

【详解】

把函数y=sin2x（xeR）的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，

0

所得图像所表示的函数是丫=5«2（尤+聿）=sin（2x+1}xeR）,

再把y=sin（2x+1）（xeR）图像上所有点的横坐标缩短到原来的3倍（纵坐标不变），得到

的图像所表示的函数是〉=$抽,+今卜€14）.

故选:C.

答案第2页，共15页

6.B

【解析】

【分析】

先求出从0至5这6个数字中任选3个不同的数可组成的基本事件个数，再求出三位偶数包

含的基本事件个数，由古典概型的概率公式代入即可得出答案.

【详解】

在0至5这6个数字中任选3个不同的数，共可组成〃=A；+A；x2=100个三位数，

其中共有〃?=A；+（A：+A；）X2=52个偶数，

由古典概型概率计算公式有〃=巴=芸=g.

n10025

故选：B.

7.D

【解析】

【分析】

根据函数解析式列出数列递推关系式，再结合等差数列和等比数列的定义逐项验证选项可得

出答案.

【详解】

由题意知见+1=2。3所以log2a“+i=1+21呜。”,所以log24+i+l=2（log2%+l）,neN*,

所以｛log?a„+1｝是等比数列，且log?%+1=2",

所以log?%=2"-1,选项A,B,C错误，选项D正确.

故选：D.

8.A

【解析】

【分析】

构造函数〃幻=也，求导得其单调性，再利用/"）单调性，即可判断出a,4C的大小关系.

X

【详解】

设/（外=比，XW（0,+8）,

X

答案第3页，共15页

因为r(》)=上华，令/'(x)>0,得0<x<e：

x~

令/'(x)<0,得x>e.

所以fix)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

而a==相,

11n2In4

6=ln22=^=八2)=于=/(4),

22

l2

因为0<6<2<e<—e<4,所以a<6<c.

2

故选：A.

9.BCD

【解析】

【分析】

选项A：/'(x)=(x+l)e，，故不正确；选项B：曲线Ax)在(0,0)处的切线斜率为/'(0)=1,

故正确;选项C：f(x)的单调增区间为(-1,物)，故正确;选项D：f(x)有最小值/(-1)=-！，

e

故正确.

【详解】

解：选项A：因为f(x)=xe”,所以广(x)=(x+l)e\故不正确；

选项B：曲线〃x)在(0,0)处的切线斜率为_f(0)=lxe0=l,故正确;

选项C：令/'(x)=(x+l)e、>0,解得x>-l,所以/(x)的单调增区间为(-1,+8),所以/*)在

(0,+«>)上单调递增，故正确；

选项D：因为Ax)在(YO,-D上单调递减，在(-1,内)上单调递增，所以/(x)有最小值

/(-1)=--,故正确.

e

故选：BCD.

10.BC

【解析】

【分析】

答案第4页，共15页

根据题意，结合椭圆的对称性，焦点三角形的性质依次讨论各选项即可得答案.

【详解】

解：选项A：若直线MN经过原点，易知四边形M片”为平行四边形，因为|MV|不一定与

闺周相等，所以用不一定是矩形，故不正确；

选项B：四边形用耳N居的周长为4a=20,故正确；

选项C：ZXM耳苞的面积的最大值为：x2cx〃=3x4=12,故正确；

选项D：若直线经过户?，则耳到直线MN的最大距离为忻图=2c=6,故不正确.

故选：BC.

11.ABD

【解析】

【分析】

对于选项A：利用线面平行的判定定理，A正确；对于选项B：由异面直线所成角的求法,

可得B正确；对于选项C：根据线面垂直定义，举反例，可得C不正确；对于选项D：根

据线面角的求解得出D正确.

【详解】

对于选项A：记A。nc/=q,连接cc\,易得。4〃CO1,从而。匕〃平面ACA,故选项

A正确；

对于选项B：因为。耳〃CO1,所以。耳与BC所成角即为NBCO、（或其补角），易得CQ=2夜,

答案第5页，共15页

BO}=2后，BC=2,由余弦定理，得cosNBCQ='+皆二二坐,故选项B正确；

乙XIjy^XCCxi4

对于选项C：因为/8。4=60。，所以80不与A。垂直，所以80不与平面AAQ。垂直，故

选项C不正确；

对于选项D：取G。中点H,连接与H、FH,易证8附1面CG-F,所以NB/H是与

平面CGK尸所成的角，在RtZsBkF中，B\H=6FH=M，&F=4,所以

sinN耳切=翳=手，故选项D正确.

故选：ABD.

12.ACD

【解析】

【分析】

对于A,令x=0,得y=-l,与。无关可判断A；对于B,设M(x,y)是曲线C1上任意一点，

M关于直线y=x+l的对称点为列式求出g(x)可判断B；设切点为(如％),由

导数的几何意义求出。=1可判断C；直线/上有两个关于直线y=x+l对称的点在曲线G上,

等价于直线/与曲线G有两个不同的交点，即。=叱口有两个解，函数a(x)=皿七，求

XX

出h(x)的单调性，结合题意即可求出a的取值范围可判断D.

【详解】

选项A：直线/：>=以-1中，令x=0,得y=T,与a无关，故正确；

选项B：设“(乂刃是曲线G上任意一点，M关于直线y=x+l的对称点为M'(x',y'),

则［=)',］，所以1=即x'=e>'，则y'=】nx',

［y=/+1

从而g(x)=lnx,故不正确；

选项C：由g(x)=lnx,得g，(x)=L

X

,、1In厮+1

设切点为(玉),%),则切线斜率a=—=—―,

X。X。

所以为=1,从而。=1,故正确;

答案第6页，共15页

选项D：直线/上有两个关于直线y=x+i对称的点在曲线G上,

等价于直线/与曲线C?有两个不同的交点.

方程《x-l=lnx,即。=巫也有两个解，

x

、Inx+1„,,,、-Inx

设函数/?(x)=------，x>0,h(x)=——,

Xx~

令〃'(x)=0,解得x=l,

所以函数〃(x)在(0,1)单调递增，在(1,叱)单调递减，

所以力(X)M=〃⑴=1，

又当x趋近于正无穷时，〃(x)趋近于0,当x趋近于o时，〃(x)趋近于负无穷，

所以ae(0,l),故正确.

故选：ACD.

13.1120

【解析】

【分析】

先求出卜-jj的展开式的通项，令8-2%=0,求出我,回代入通项即可求出答案.

【详解】

因为卜一胃的展开式的通项为：几1">产"[-1]=《・(-26产"，

令8-2&=0,得％=4,

所以(X-：)的展开式的常数项为"=C；《-2)4-1120.

故答案为：1120.

14.x+y-2=0

【解析】

【分析】

由题知A(0,2)、8(2,0),进而求解方程即可.

【详解】

答案第7页，共15页

解：方法1：由题知，圆X?+/=4的圆心为（0,0）,半径为厂=2,

所以过点P（2,2）作圆d+y2=4的两条切线，切点分别为4（0,2）、3（2,0）,

所以原S=T，

所以直线AB的方程为y=-x+2,即x+y-2；

X：+4=4

方法2：设4（而,y）,B（x,,y2）,则由（y乂一2,可得演+y=2,

---.--------——1

为%,-2

同理可得=2,

所以直线AB的方程为x+y-2=0.

故答案为：x+y-2

【解析】

【分析】

由题意可得数列｛6｝为等差数列，进而可得5,,及S“+：20,利用基本不等式可得最值.

【详解】

被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，

构成首项为8,公差为3x5=15的等差数列，

所以/=8+15x（〃-l）=15〃-7,s“=8〃+迎JX15=%+_L〃，

222

+120151201201121

n22V2n22

当且仅当孕=/，即〃=4时，等号成立，

2n

所以2士1型的最小值为

n2

121

故答案为：——•

2

16.x2+y2=4(x>0)

【解析】

【分析】

延长巴P，交耳M于。，可证得巴名△MP。，结合题意易证得P的轨迹是以。为圆心,

答案第8页，共15页

半径为2的圆的一部分，即可求出点尸的轨迹方程.

【详解】

延长gP，交耳M于Q，因为=ZMPF2=ZMPQ,

\MP\=\MP\,所以△MPKg/XMP。，所以|“月|=|囤,

所以|0£|=|町|一|囤=|岬Hs|,

因为"是双曲线C右支上一点，所以|Q制=2a=4,

又因为P是。鸟的中点，。是大巴的中点，所以伊。|=；|。制=2,

所以P的轨迹是以。为圆心，半径为2的圆的一部分，

所以点尸的轨迹方程为x2+y2=4(x>0).

故答案为：x2+y2=4(x>0).

17.(1)证明见解析

(2)S“=(〃-l)x2"+l,rteN,

【解析】

【分析】

(D根据S„+l-S„=an+l得到%=4"“一4%_1,再同除2向，即可得到b„+l+如=2bn(n>2

且〃eN*),从而得证；

(2)首先求出｛"｝的通项公式，即可求出““的通项公式，从而得到5“.

(1)

答案第9页，共15页

证明：因为5向=也+1,„eN\所以5“=4'*+1,〃N2且〃eN*,两式相减，得

““+i=4a“-4a,i，

所以凡M+4a,i=4%,所以符+得=2'祟，即%+如=2"(”*2且〃eN"),所以数

列｛a｝是等差数列.

(2)

解：因为q=i,4+%=邑=4q+1=5,所以%=4,由(1)知数列｛〃,｝是等差数列，公

差为“哼一

所以5=；+("_l)xg=3，

所以％=表2"=八2"-|,weN*,

所以当“22时，S“=4a,i+l=4x("-1)X2"-2+1=(,L1)X2"+1,

当”=1时,等式也成立，所以S,,=5-l)x2"+l,weN\

TT

18.⑴A=W

⑵(4石,8]

【解析】

【分析】

(1)利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；

(2)利用正弦定理将边化角，再转化为关于8的三角函数，根据8的取值范围及正弦函数

的性质计算可得.

(1)

解：因为匕11'+匕11C+巡=+,所以tan8+tanC+G=J5tan8tanC,

tanBtanC

所以tan5+lanC=G(tan8tanC-1),从而‘an'+⑦"°=一百，

1-tanfitanC

即tan(5+C)=-S

所以tan4=g,因为A£(O,TT),所以A=%

(2)

答案第10页，共15页

ba8G

解：因为。=4,A=p由正弦定理，有

sinBsinCsinA3

所以6=^^-sinB.

3

迪陞+。/=递

c=^sinC^sin38438+4百sin.

333222233

所以〃+c=4&sin8+4cosB=8sin|B+,

又因为为锐角三角形,

0<B<-c

2

所以,即所以弓<8+g〈一,

0<--B<-62363

32

所以等<sin(8+^11,从而。+c的取值范围为[石,8].

19.⑴证明见解析

⑵当

【解析】

【分析】

(1)根据题意证明CD，平面小出出即可证明结论;

(2)取A片中点F,连接GF、DF,记。FnAB=G,则G是OF中点，连接GE,进而

得E是CG中点，故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

(I)

解：在直三棱柱ABC-4耳£中，平面ABC,

因为C£>u平面ABC,所以AA_LC。,

因为AABC是等边三角形，。是A8的中点，所以"JLCD,

因为例nAB=A,A4»ABu平面

所以CD_L平面

又因为COu平面COE,

所以，平面CDEL平面

答案第11页，共15页

(2)

解：取A片中点F,连接GF、DF,

记。尸DA8=G，则G是。尸中点，连接GE,则平面COFGCI平面4BE=GE,

因为CD//平面ABE,COu平面CDFC],

所以CD//GE,

因为G是。尸中点，

所以E是CG中点.

所以，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图,

则A(0,0,0),5(5/3,1,0),£(0,2,2),4,(0,0,4),

所以羽=(0,0,4),即=(6,1,Y),禧=(0,2,—2)

设平面ABE的一个法向量为石=(x,y,z),

无率=0y/3x+y-4z=0即卜="

则所以，令Z=l,得3=(6,1,1),

n-4E=02y-2z=0y=z

因为A41平面ABC,

所以平面ABC的一个法向量为丽=(0,0,4),

所以平面ABE与平面ABC所成的锐二面角夕的余弦值为

答案第12页，共15页

=|cos仿面「|G'°+!X吧x41「4一-

cos，''|«|-|M-|7(^+l2+l2XVO2+O2+424755

所以，平面A/E与平面ABC所成的锐二面角的余弦值

20•⑴蓑

（2）分布列见解析，/483

12o

【解析】

【分析】

（1）根据题意列出/（。）的解析式，通过求导即可得到/（。）的最大值.

（2）由（1）得到力的值，再根据X的可能取值为3,4,5,分别求出其所对应概率即可得出

分布列，再由公式求得期望即可.

（1）

甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局败一局，第四局甲必须获胜,

2

所以〃p)=C"-(l-p)=3/-3//,0<P<l,尸(。)=9加一12/=32(3-"),

333

令r（p）=。，得〃==；令/（P）〉O,得o<〃<7；令广（P）<。，得

444

所以/（p）在（0,；）上单调递增，在上单调递减，所以当p=:时，/（P）取得最大值为

81

256,

（2）

3

由（1）知p=Po=],由题意，知X的所有可能取值为3、4、5,相应的概率为

81945

p(X=4)=C；-------1-------=------

256256128

P(X=5)=C；眇"小乳好枭十余晦

所以X的分布列为

X345

答案第13页，共15页

74527

P

16*T28

74s77JQQ

X的数学期望E（X）=3X，+4X£+5X2=/

16128128128

21.（1）/=4x

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

⑴利用待定系数法求出标准方程；⑵设/的方程为x=，孙+1,设3,yj,矶天,力)，

联立利用“设而不求法,,表示出A+网,再求出心，即可证明.

(1)

由题意，知与=1，所以P=2,所以抛物线C的方程为V=4x.

(2)

因为直线/过抛物线C的焦点厂(1,0),由题意知，直线/斜率不为0,所以设/的方程为》=加)，

+1,

I1-ITI\+1

设A(x”yJ,8(%2，%)，联立1》2_4X，消去x