数学-专题2 相交线与平行线中蕴含的数学思想（原版）

专题2相交线与平行线中蕴含的数学思想（原卷版）第一部分典例精析+变式训练类型一数形结合思想典例1（2021春•丰台区校级期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠DAE＝∠BCF，DA平分∠BDF．（1）AE与FC会平行吗？说明理由．（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？变式训练1．（2022春•平舆县期末）如图，点E、D、C、F在一条直线上，AF与BE交于点O，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）AD与BC平行吗？请说明理由；（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．类型二方程思想典例2（2022春•黄陂区期末）如图，AB∥CD，∠DBC＝2∠ABC，∠BCD的平分线CE交BD于E，连接AE，若∠BDC＝6∠BAE，则∠AEC的度数为．变式训练

1．（2021春•越秀区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．（1）求∠AOE的度数；（2）射线OF从OE出发，绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°），如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数．2．（2022春•朔州期末）如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．类型三整体思想典例3（2022春•阆中市期末）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分线交于点F，则∠F的度数为（）A．120° B．135° C．150° D．不能确定

变式训练1．（2020春•鲤城区校级月考）（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠BAE＝25°，∠DCE＝20°，求∠AEC的度数；（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC＝α°，∠ABC＝β°，求∠AEC的度数；（3）如图3，PQ⊥MN于点O，点A是平面内一点，AB、AC交MN于B、C两点，AD平分∠BAC交PQ于点D，请问∠ADP|∠ACB−∠ABC|类型四分类讨论思想典例4（2021春•伊春期末）如果∠1的两边与∠2的两边互相平行，且∠1＝（3x+20）°，∠2＝（8x﹣5）°，则∠1的度数为．变式训练1．（2022春•诸暨市期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．则∠AOD的度数是．2．（222春•双城市期末）如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD＝7：11．（1）求∠COE的度数．（2）若射线OF⊥OE，请在图中画出OF，并求∠COF的度数．

第二部分专题提优训练1．（2021春•南沙区月考）若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（x+10）°，∠β＝（2x﹣25）°，则∠α的度数为．2．（2021•荔湾区期中）如果∠α的两边与∠β的两边分别平行，且2∠β﹣∠α＝30°，则∠α的度数为．3．（2020秋•石家庄期中）已知∠AOB＝90°．（1）如图1所示，若OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠EOD＝70°，则∠BOC的度数是；（2）如图2所示，若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝60°，求∠EOD的度数；（3）若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝α（0°＜α＜180°），则∠EOD的度数是．4．如图，CD与BH相交于点G，∠B＝∠BGD，∠CGF+∠BFE＝180°．求证：∠B＝∠EFH．（请先完成下面的填空，再继续完成此题的证明．）证明：∵∠CGF+∠BFE＝180°（已知），∴CD∥EF（）．5．（2021秋•叙州区期末）如图，已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．

（1）若∠ADC＝70°，∠ABC＝50°，求∠BED的度数；（2）若∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，试求∠BED的度数（用含m、n的代数式表示）．6．（2022春•乾安县期末）如图，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°，（1）求∠2和∠4的度数；（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角；（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的两倍，求这两个角的大小．7．（2021春•武安市期末）如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝．（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由．（3）利用（2）的结论解答：①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由．②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B（用含β的代数式表示）．

8．（2022春•荔湾区期末）已知AB∥CD．（1）如图1，求证：∠EAB＝∠C+∠E；（2）如图2，点F在∠AEC内且在AB、CD之间，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，请猜想∠F与∠EAB的数量关系并证明；（3）如图3，点M在AB上，点N在CD上，点E是AB上方一点，点G在AB、CD之间，连接EM、EN，GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，若2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．9．（2021春•张家港市月考）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝．（