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文档简介
第06讲第一章集合与常用逻辑用语、不等式、复数章节总结(精讲)目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分:典型例题讲解 2题型一:集合的表示 2题型二:集合的基本关系 3题型三:集合的基本运算 5题型四:充分条件与必要条件 8题型五:“的”字结构与“是”字结构对比 9题型六:全称量词与存在量词 11题型七:一元二次不等式 12题型八:一元二次不等式中的恒成立与有解问题 16题型九:基本不等式及其应用 19题型十:复数的综合应用 23第二部分:新定义题 24第三部分:重点解题方法 27图法解决集合运算问题 27第四部分:数学思想方法 30分类讨论法 30数形结合法 33温馨提醒:浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分:典型例题讲解题型一:集合的表示1.(2023秋·陕西西安·高一统考期末)已知集合,则(
)A. B. C. D.【答案】B【详解】因为,,所以.故选:B.2.(2023秋·广东湛江·高一统考期末)对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或都为正奇数时,;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,,则在此定义下,集合中的元素个数是(
)A.10 B.9 C.8 D.7【答案】B【详解】(1)m,n都是正偶数时:m从2,4,6任取一个有3种取法,而对应的n有一种取法;∴有3种取法,即这种情况下集合M有3个元素;(2)m,n都为正奇数时:m从1,3,5,7任取一个有4种取法,而对应的n有一种取法;∴有4种取法,即这种情况下集合M有4个元素;(3)当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时:当m=8,n=1,和m=1,n=8,即这种情况下集合M有两个元素;∴集合M的元素个数是3+4+2=9.故选:B.3.(2023秋·福建南平·高一统考期末)若全集,集合,则图中阴影部分表示的集合是(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】集合,则则图中阴影部分表示的集合是.故选:D.4.(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)设集合,若,则集合C中的元素有(
)个A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【详解】由可得,集合C为集合A,B的公共元素,需满足,即,又,故或,解得或此时集合有2个元素.故选:C5.(2023·全国·高三专题练习)设集合,则集合的子集个数为________【答案】16【详解】解:,故A的子集个数为,故答案为:16题型二:集合的基本关系1.(2023·全国·高三专题练习)已知集合,,若,则实数的值构成的集合是(
)A. B. C. D.【答案】A【详解】由得:或,即;①当时,,满足,符合题意;②当时,,,或,解得:或;综上所述:实数的值构成的集合是.故选:.2.(2023·全国·高三专题练习)若集合,,则能使成立的所有a组成的集合为(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】当时,即,时成立;当时,满足,解得;综上所述:.故选:C.3.(2023·全国·高三专题练习)已知集合,,若,则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【详解】当B时,由得,解得,满足题意;当B时,由得,解得:;综上可得:时,实数的取值范围为.故选:D.4.(2023·高三课时练习)已知集合,,若,则实数m的取值范围是______.【答案】【详解】由题意,集合,又因为,集合当时,即,解得,此时符合题意;当时,要使得,则满足,解得,综上可得,实数的取值范围.故答案为:.5.(2023·全国·高三专题练习)记关于x的不等式的解集为A,集合,若,则实数a的取值范围为___________.【答案】【详解】解:原不等式可变形为,当,即时,,满足题意;当,即时,,所以,解得,所以;当,即时,,所以,解得.综上可得,即;故答案为:题型三:集合的基本运算1.(2023秋·湖北黄冈·高一统考期末)已知集合则(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】由得,函数有意义满足,即,解得:,所以,故选:D2.(2023秋·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习)已知集合.若,则m的取值范围为____________.【答案】或.【详解】由,得,解得:,则若,则,解得:,满足,若,则或,解得:或,综上,的取值范围为:或.故答案为:或.3.(2023秋·山东威海·高一统考期末)已知集合,集合.(1)当时,求;(2)当时,若,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】(1)当a=1时,或,,,;(2)当时,或,,,,解得.4.(2023秋·安徽安庆·高一统考期末)已知集合,集合.(1)当时,求;(2)若,求实数a的取值范围.【答案】(1)(2).【详解】(1)当时,,解得,所以,,所以.(2)由得,又,所以对恒成立,当时,.所以,于是实数a的取值范围为.5.(2023秋·福建宁德·高一统考期末)已知集合,集合.(1)若,求;(2)若,求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)或【详解】(1)因为或,所以.又因为,所以,则;(2)因为,所以.因为且所以或,即实数m的取值范围为或.6.(2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试)设全集,集合.(1)若,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】(1)由得且,解得,所以或,又当时,,所以.(2)由得,当时,,解得;当时,则,解得,综上实数的取值范围为.题型四:充分条件与必要条件1.(2023秋·山东威海·高一统考期末)“”是“”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由得或,因为可推出或,满足充分性,或不能推出,不满足必要性.故“”是“”的充分不必要条件.故选:A.2.(2023秋·广东深圳·高一统考期末)设,则是的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】,,可以推出,故充分性满足;不能推出,故必要性不满足;则是的充分不必要条件.故选:A.3.(2023秋·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末)已知集合,.若是的充分不必要条件,则实数的取值范围(
)A. B.C. D.【答案】D【详解】因为,或,因为是的充分不必要条件,则,则或,解得或.故选:D.4.(2023秋·辽宁本溪·高一校考期末)已知,,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】A【详解】由得,所以或,解得或,所以或,又,是的充分不必要条件,所以或所以,所以k的取值范围是.故选:A.题型五:“的”字结构与“是”字结构对比1.(2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试)“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是(
)A. B. C. D.【答案】B【详解】解:关于的不等式的解集为R,则,解得,所以“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充一个分条件“”.故选:B.2.(2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末)“”是“”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】解:由,解得,由,解得,显然,但是推不出,所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B.3.(2023秋·山东菏泽·高三统考期末)若,则p成立的一个必要不充分条件是(
)A. B.C. D.【答案】B【详解】p:,即且,解得或,所以p:或,对于A,是p的既不充分也不必要条件;对于B,即或,是p的必要不充分条件;对于C,即或,是p的充分不必要条件;对于D,是p的充分不必要条件;故选:B.4.(2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测)使,的否定为假命题的一个充分不必要条件是(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】由题使,的否定为假命题,知,为真命题,又,当且仅当时等号成立.所以是为真命题的充要条件,是为真命题的既不充分也不必要条件,是为真命题的既不充分也不必要条件,是为真命题的充分不必要条件.故选:D.5.(2023秋·山东滨州·高三统考期末)若“”是“不等式成立”的充分不必要条件,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】解:由得,是不等式成立的充分不必要条件,满足,且等号不能同时取得,即,解得,故选:C.6.(2023·全国·高三专题练习)不等式成立的一个必要不充分条件是(
)A.或 B.或 C.或 D.或【答案】C【详解】由或,显然选项B是充要条件;由或,不一定能推出选项A,D,能推出选项C,选项C不能推出或,故选:C题型六:全称量词与存在量词1.(2023春·陕西安康·高一统考开学考试)命题“”的否定为(
)A. B.C. D.【答案】D【详解】由特称命题的否定为全称命题,则原命题的否定为.故选:D2.(2023秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习)关于命题p:“”,下列判断正确的是(
)A. B.该命题是存在量词命题,且为真命题C. D.该命题是全称量词命题,且为假命题【答案】C【详解】,解得,所以命题“”为存在命题,且为假命题,故B,D错误;命题“”的否命题为:.故C正确.故选:C3.(2023秋·陕西渭南·高一统考期末)命题:“,”的否定是(
)A., B.,C., D.,【答案】D【详解】命题:“,”是全称量词命题,它的否定是特称量词命题:,.故选:D.4.(2023秋·青海西宁·高二统考期末)已知命题p:,,则为______.【答案】,【详解】为,.故答案为:,.5.(2023秋·江苏徐州·高一沛县湖西中学校考期末)命题“,”的否定是______.【答案】,【详解】由题意知命题“,”为存在量词命题,其否定为全称量词命题,即,,故答案为:,.题型七:一元二次不等式1.(多选)(2023秋·江苏南通·高一统考期末)关于的不等式的解集可能是(
)A. B. C. D.【答案】ACD【详解】解:当时,则,当时,则,①若时,则,②若时,则,③若时,则,当时,则,故或综上,当,不等式的解集为,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为,故选:ACD.2.(2023秋·江苏南京·高一统考期末)已知关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为_________.【答案】【详解】由的解集为,可得,且方程的解为,所以,则,所以,即关于的不等式的解集为.故答案为:.3.(2023秋·山东临沂·高一校考期末)不等式的解集为,则__________.【答案】【详解】由题意知不等式的解集为,则是的两实数解,且,故,故,故答案为:4.(2023春·湖南永州·高一永州市第四中学校考开学考试)已知关于的不等式的解集为,求关于的不等式的解集为__.【答案】【详解】由题意得,所以,故,即,,故解集为.故答案为:5.(2023春·宁夏银川·高一校考开学考试)不等式的解集是,则不等式的解集为___________.【答案】【详解】不等式的解为,一元二次方程的根为,,根据根与系数的关系可得:,所以;不等式即不等式,整理,得,即解之得,不等式的解集是,故答案为:.6.(2023春·河南信阳·高一统考开学考试)已知函数的最小值为,方程有两个实根和6.(1)求函数的解析式;(2)求关于的不等式的解集.【答案】(1)(2)答案见解析.【详解】(1)解:因为方程有两个实根和,所以,方程有两个实根和,所以,①,②因为函数的最小值为,所以③,所以,由①②得,代入③解得,所以,,,所以,;(2)解:因为,即为所以,,即,所以,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;综上,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为.7.(2023秋·四川眉山·高一校考期末)(1)若不等式的解集是,求a,b.(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】(1)因为不等式的解集是,所以,且和1是方程的两实数根,所以,,解得;(2)不等式可化为,令,解得,或,当即时,不等式的解集为或,当即时,不等式的解集为或,当即时,不等式的解集为.综上所述,时,不等式的解集为或;时,不等式的解集为或,时,不等式的解集为.题型八:一元二次不等式中的恒成立与有解问题1.(2023秋·湖南娄底·高一校联考期末)若函数的定义域为,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】D【详解】因为函数的定义域为,所以不等式的解集为,当时,恒成立,满足题意;当时,则有,解得:,综上所述:的取值范围是,故选:.2.(2023·全国·高三专题练习)若关于的不等式的解集不为空集,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.【答案】C【详解】解:根据题意,分两种情况讨论:①当时,即,若时,原不等式为,解可得:,则不等式的解集为,不是空集;若时,原不等式为,无解,不符合题意;②当时,即,若的解集是空集,则有,解得,则当不等式的解集不为空集时,有或且,综合可得:实数的取值范围为;故选:C.3.(2023·全国·高三专题练习)若不等式对任意恒成立,实数x的取值范围是_____.【答案】【详解】可转化为.设,则是关于m的一次型函数.要使恒成立,只需,解得.故答案为:4.(2023·全国·高三对口高考)关于x的不等式恒成立,则实数m的取值范围为_________.【答案】【详解】解:恒成立,当时,恒成立,所以满足题意.当时,必须满足且,则.综合得.故答案为:5.(2023春·广西南宁·高一校考开学考试)若,不等式恒成立,则实数的取值范围为________.【答案】【详解】由,不等式恒成立,得在上恒成立,令,,任取,且,则,因为,所以,,,所以,所以,即,所以在上单调递增,所以,所以,得,即实数的取值范围为.6.(2023·全国·高三专题练习)若,使成立,则实数的取值范围是______________.【答案】【详解】由可得,,因为,所以,根据题意,即可,设,易知在单调递减,在单调递增,所以,所以,故答案为:7.(2023·高一课时练习)若存在实数,使得关于的不等式成立,则实数的取值范围是______.【答案】【详解】时,若,则不等式为,不等式成立,满足题意,时,在在使得不等式成立,则,∴.综上,.故答案为:.题型九:基本不等式及其应用1.(多选)(2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末)下列说法正确的是(
)A.已知,则函数B.若,则函数的最大值为C.若x,,,则的最大值为4D.若x,,,则xy的最小值为1【答案】AB【详解】因为,所以,所以,当且仅当解得时取得等号,故A正确;因为,所以,则,所以,当且仅当解得时取得等号,所以,所以,所以函数的最大值为,B正确;因为,所以,当且仅当时取得等号,所以的最小值为4,C错误;因为,所以,解得,又因为x,,所以,所以,所以,当且仅当时取得等号所以xy的最大值为1,D错误,故选:AB.2.(多选)(2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习)若正数a,b满足,则(
)A. B. C. D.【答案】ABC【详解】A选项:根据基本不等式,,当且仅当时,等号成立,故A对;B选项:因为,所以,所以,,同理,,所以,所以,当且仅当时,等号成立,故B对;C选项:因为,所以,所以,又因为,,所以,,,,,所以,故C对;D选项:,所以,化简得,当且仅当时,等号成立,故D错误;故选:ABC.3.(多选)(2023秋·四川绵阳·高一统考期末)设正实数a,b满足,则(
)A.的最小值为 B.的最小值为C.的最大值为2 D.的最小值为8【答案】CD【详解】正实数a,b满足,对于A,,当且仅当,即时取等号,A错误;对于B,,当且仅当时取等号,B错误;对于C,,当且仅当时取等号,C正确;对于D,,当且仅当时取等号,D正确.故选:CD4.(2023秋·江苏徐州·高一统考期末)已知正数满足,则的最小值为__________.【答案】##【详解】因为,所以,,所以,当,即,即,时等号成立,所以的最小值是.故答案为:5.(2023秋·陕西渭南·高一统考期末)已知,,则最小值为___________.【答案】16【详解】由,可知,,令,,所以,,当且仅当“”时,两个等号同时成立.则x=y=3时最小值为16.故答案为:16.6.(2023·全国·高三专题练习)(1)已知,则取得最大值时的值为________.(2)已知,则的最大值为________.(3)函数的最小值为________.【答案】
1
##【详解】解:(1),当且仅当,即时,取等号.故答案为:.(2)因为,所以,则,当且仅当,即时,取等号.故的最大值为1.故答案为:1.(3).当且仅当,即时,等号成立.故答案为:.题型十:复数的综合应用1.(2023·全国·模拟预测)若,则(
)A. B. C. D.3【答案】B【详解】由得,所以,则,所以,故选:B.2.(2023秋·山东威海·高二统考期末)已知实数x,y满足,则(
)A.2 B.4 C. D.8【答案】C【详解】由得,,解得,.故选:C.3.(2023春·山东济南·高三统考开学考试)已知复数,其中i是虚数单位,则在复平面内所对应的点在(
)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【详解】因为,所以,所以,故在复平面内所对应的点的坐标为,在第三象限.故选:C.4.(2023·陕西铜川·校考一模)已知i是虚数单位,若,则(
)A.1 B. C. D.3【答案】C【详解】因为,所以.故选:C.5.(2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测)设i为虚数单位,复数z在复平面内对应的点为,则(
)A. B. C.2 D.3【答案】A【详解】由复数的几何意义得,所以.故选:A.6.(2023秋·天津南开·高三校考阶段练习)已知是虚数单位,复数z满足,则______.【答案】##【详解】∵,∴.故答案为:.7.(2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习)复数z满足(i是虚数单位),则复数z为__________.【答案】【详解】因为,所以,故,故答案为:8.(2023春·天津滨海新·高三校联考开学考试)已知,则___________.【答案】2【详解】由题意得,故,所以,故答案为:2第二部分:新定义题1.(2023秋·辽宁本溪·高一校考期末)设P和Q是两个集合,定义集合且.如果,,那么=(
)A. B.C. D.【答案】A【详解】由题,,则.,则.则由题中所给定义有:.故选:A2.(2023·高一课时练习)设A,B是两个非空集合,定义:且,已知,,则(
).A. B. C. D.【答案】C【详解】由得:,则,而,于是得,依题意,.故选:C3.(2023春·湖南·高三校联考阶段练习)欧拉恒等式(i为虚部单位,为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式,它是复分析中欧拉公式的特例:当自变量时,,得.根据欧拉公式,复数的虚部为(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】,则虚部为.故选:C.4.(多选)(2023秋·云南德宏·高三统考期末)在整数集中,被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为,,则下列结论正确的为(
)A. B.C. D.整数属于同一“类”的充要条件是“”【答案】BCD【详解】对于A,由得,故A错误;对于B,由得,故B正确;对于C,所有整数被4除所得的余数只有四种情况,即刚好分成共4类,故,故C正确.对于D,若整数属于同一“类”,则,故,所以;反之,不妨设,则,若,则,即,所以整数属于同一“类”;故整数属于同一“类”的充要条件是“”,即D正确.故选:BCD.5.(多选)(2023秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足,,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称为戴德金分割试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,可能成立的是(
)A.M没有最大元素,N有一个最小元素B.M没有最大元素,N也没有最小元素C.M有一个最大元素,N有一个最小元素D.M有一个最大元素,N没有最小元素【答案】ABD【详解】令,,显然集合M中没有最大元素,集合N中有一个最小元素,即选项A可能;令,,显然集合M中没有最大元素,集合N中也没有最小元素,即选项B可能;假设答案C可能,即集合M、N中存在两个相邻的有理数,显然这是不可能的;令,,显然集合M中有一个最大元素,集合N中没有最小元素,即选项D可能.故选:ABD.第三部分:重点解题方法图法解决集合运算问题1.(2023秋·广东·高一统考期末)集合,将集合分别用如下图中的两个圆表示,则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是(
)A. B.C. D.【答案】B【详解】,所以:A选项,阴影部分表示,不符合题意.B选项,阴影部分表示,符合题意.C选项,阴影部分表示,不符合题意.D选项,阴影部分表示,不符合题意.故选:B2.(2023·河南洛阳·高一校考阶段练习)移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况,随机调查了100位学生,其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位,使用过移动支付的学生共有80位,使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位,则该校使用共享单车的学生人数为(
)A.50 B.60 C.70 D.80【答案】C【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图,使用过共享单车或移动支付的学生共有90位,使用过移动支付的学生共有80位,则可得:只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90-80=10人,又使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位,即使用过共享单车的学生人数为10+60=70,故选:C.3.(2023·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习)向某50名学生调查对A,B两事件的态度,其中有30人赞成A,其余20人不赞成A;有33人赞成B,其余17人不赞成B;且对A,B都不赞成的学生人数比对A,B都赞成的学生人数的三分之一多1人,则对A,B都赞成的学生人数为__________.【答案】21【详解】记赞成A的学生组成集合A,赞成B的学生组成集合B,50名学生组成全集U,则集合A有30个元素,集合B有33个元素.设对A,B都赞成的学生人数为x,则集合的元素个数为,如图,由Venn图可知,,即,解得,所以对A,B都赞成的学生有21人.故答案为:21.4.(2023·河南郑州·高一校考阶段练习)中国健儿在东京奥运会上取得傲人佳绩,球类比赛获奖多多,其中乒乓球、羽毛球运动备受学生追捧.某校高一(1)班40名学生在乒乓球、羽毛球两个兴趣小组中,每人至少报名参加一个兴趣小组,报名乒乓球兴趣小组的人数比报名羽毛球兴趣小组的人数3倍少4人,且两兴趣小组都报名的学生有8人,则只报名羽毛球兴趣小组的学生有__人.【答案】5【详解】设报名乒乓球兴趣小组的学生构成集合A,其元素个数为x,报名羽毛球兴趣小组的学生构成集合B,元素个数为y,其关系如下:由题意可知:,解得,因此只报名羽毛球兴趣小组的学生有人.故答案为:55.(2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习)已知全集,集合.(1)求;(2)如图阴影部分所表示的集合可以是(把正确答案序号填到横线处),并求图中阴影部分表示的集合;.①
②
③
④【答案】(1)(2)③;【详解】(1)因为,所以(2)根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合为③:,或,所以.第四部分:数学思想方法分类讨论法1.(2023·江苏·高一专题练习)已知集合,,则(
)A. B.或 C. D.【答案】D【详解】∵,∴或.若,解得或.当时,,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当时,集合,满足题意,故成立.若,解得,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去.综上所述,.故选:D.2.(2023秋·湖北·高三校联考阶段练习)已知集合,,且,则实数的所有值构成的集合是(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】,因为,所以,当时,,满足要求,当时,只有一个根,若,则,解得:,若,则,解得:,若,则,解得:,实数的所有值构成的集合是.故选:D3.(2023上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习)已知集合,,则_________.【答案】【详解】因为,所以,易知,当时,,此时,,不合题意舍去;当时,,此时,,满足题意,所以.故答案为:4.(2023·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习)已知集合,.(1)若,求实数的取值范围;(2)若集合中仅有一个整数元素,求.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】(1)集合,,从而,∵,,,解得,实数的取值范围为;(2)由(1)知:,,集合中仅有一个整数元素,由于集合A中只有两个整数元素:和0,若集合中仅有一个整数元素,则,解得:,若集合
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