重组卷04 冲刺2023年高考数学真题重组卷（天津专用）（解析版）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷04

天津专用（解析版）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.（2016高考天津卷）已知集合口={/,2,3/},口={口|口=3匚一2,匚e口},则匚n□=（）

A.{/}B.{4}C.{1,3}D.{//}

【答案】D

【详解】把□=/,2,3,4分别代入U=3U-2得：=/,4,7,10,即□={/,4,7,/0},

•••□=（1,2,3,4}.nnn=[1,4}.故选D.

2.（2022高考天津卷）“X为整数”是“2%+1为整数”的条件（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】4

【详解】当x为整数时，2久+1也是整数，充分性成立；

当2x+l为整数时，x不一定是整数，如x时，所以必要性不成立，即是充分不必要条件.

故本题选A.

3.（2021高考天津卷））函数/（x）=明的图象大致为（）

【答案】B

【详解】根据题意，f(x)=骋，其定义域为｛x|xW0｝，有f(-x)=^=f(x)，是偶函数，排除4C，

在区间(0,1)上，InWI=伍％<°，必有〃>)<0，排除。，故选：B.

4.(2022高考天津卷)为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据

(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编

号为第一组，第二组，…，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共

有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()

A.8B.12C.16D.18

【答案】B

【详解】志愿者的总人数为踵磊砂3=50,

二第3组的人数为50x0.36X1=18,.•.有疗效的人数为18-6=12.故选艮

5.(2021高考天津卷)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为券，两个

圆锥的高之比为1：3,则这两个圆锥的体积之和为()

A.37rB.47rC.9兀D.12兀

【答案】B

【详解】如图，设球。的半径为R,

B

由题意，g?rR3=竽，可得R=2,则球。的直径为4,

•••两个圆锥的高之比为1：3,••.401=1,8。1=3,

由直角三角形中的射影定理可得：N=ix3,BPr=V3.

这两个圆锥的体积之和为U=g7rx(g)2x(l+3)=47T.故选：B.

07

6.(2022高考天津卷)已知a=2°-7,b=(^),c=log2|,则()

A.,a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】C

【详解】「丫二？》是定义在R匕拘单调递增函数，.•.Z箝AZOMI,即a=207>l,

y=©尸是定义在R上的单调递减函数，［C)°，7<(i)0=1,g|JO<b=(J)07<1,

y=10g2X是定义在(0,+8)上的单调递增函数，log?：<log2l=0,即C=log2g<0,

所以a>b>c.故本题选C.

7.(2019高考天津卷)已知抛物线口2=4口的焦点为口，准线为L.若口与双曲线二一一；：

;(U>0,□>0)

口2口2

的两条渐近线分别交于点「和点口，且||=4|口口。为原点)，则双曲线的离心率为()

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】D

【详解】•••抛物线尸=4的焦点为，准线为，

(1,0),准线n的方程为=-1,

与双曲线二一二=/(>(),>0)的两条渐近线分别交于点口和点「，且|口口|=4|

1(为原点),

•••,!!□!=1,：.—=4,=21.

...=加+12=6,双曲线的离心率为」=—故选D

8.(2019高考天津卷)已知函数□(□)=□□□□(□□+□)(□>0,口>0,|口|(口)是奇函数，将□=□(□)

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为口(口).若□(⑴的最小正周

期为2口，且口(彳)=0，则□金)=()

A.—2B.—y/2C.yf2D.2

【答案】C

【详解】•••□(□)是奇函数，□=0，

则口(□)=□□□□(□匚)，

将=(口)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为()，

即口(口)=□□□□(〈□□),

•・•；(L)的最小正周期为2,

"7-=2n,得口=2,

产

则口(口)=□□□□□,□(□)=□□□□?□,

若□(])=◎，则口(])=二□--=^n=V2，即口=2,

则口()=21口口2口，则」(2)=2口口口(2*》)=2一彳=2x"=Q,

故选C

9.(2021高考天津卷)设aeR,函数於)=松，黑二笠)若函数/⑺在区间

(X/(QIJL)XIClI5XNQ

(0,+8)内恰有6个零点，则a的取值范围是()

入(2，汕(券]B.(词U(或]

C(弱U%3)D.C

【答案】A

【详解】•••/G)在区间(0,+8)内恰有6个零点

又二次方程最多有两个零点，・・・/(x)=COS(2TTX-2兀。)至少有四个根，

fW=COS(2TTX-2nd)=COS2TT(X-a),

令/'(x)=0,B|J2TT(X-a)=2+k7r,kEZ,

%-4-74-a»KGZ,

24

k1

O<-+-

又一Xe(0,4-00),24fcGZ,

即-ZQ-^vkv-/kezf

①当％VQ时，—64—2Q—24―5,/(%)有4个零点，即qVQW空，

—7<—2a—^<—6,/(%)有5个零点，即？1VQ45

—84—2Q—24―7,/(x)有6个零点，即苧VQ4予，

②当x>。时；/(%)=%2-2(a+1)%+a?+5,

AA—4(a+l)2—4(a2+5)=8Q—16=0,

解得Q=2,

当Q<2时，4V0,/(%)无零点，

当a=2时，21=0,/G)有1个零点，

当Q>2时,/(a)=a2-2a(a+1)+a2+5=-2a+5,

•・•/(%)的对称轴％=Q+1,即/(Q)在对称轴的左边，

当一2a+5》0时，即2<aJf(x)有两个零点，

当一2a+5<0时，即a>|,/'(x)有1个零点，

综合①②可得,aWU［2,；］.

故选A.

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

10.(2016高考天津卷)已知「，e□,□是虚数单位，若(/+)(7-)=□,则一的值为.

【答案】2

【详解】•；(/+□)(/-□□)=/+□+(/-□)□=□,□,□€□,.••0十:

1/——U

解得：［=2"=2,故答案为2.

11.(2021年南开中学统练)二项式(：-2五)6的展开式中的常数项为,各个二项式系数的和为

【答案】24064

【详解】二项式(工一2五)6的展开式的通项公式为4+1=c式工)6-r(_2豉)r=(-2)rC^x2r-6-

XX

令|r—6=0,得r=4,

所以常数项为(一2尸以=240.

二项式G-2a)6的展开式中各个二项式系数的和为26=64.

故答案为：240：64.

12.(2022高考天津卷)若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,

则m=.

【答案】2

【详解】由题知，圆心为(1,1),半径为6，

二圆心到直线x—y+m-0(m>0)的距离d=各

又•••直线与圆相交所得的弦长为m,g)2+d2=(V3)2.

解得m=2或-2(舍).故答案为2.

13.(2020高考天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为7码.假定两球是否落入盒子互不影响，则

甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

【答案】:

o5

【详解】因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为"和

则甲、乙两球都落入盒子的概率:X；=3

ZoO

甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1-(1一|)(1-i)=l-j=j,

故答案为:，，弓.

OD

14.(2020高考天津卷)已知a>0,b>0,且ab=l,则;的最小值为

【答案】4

【详解】Q>0,/?>0,且ab=l,

mil1.1.8_a+b.8_a+b8«

—7F7T=------FT=F1-----77-?4,

2a2ba+b2abQ+匕2a+b

当且仅当孚=-之时取等号，解得a+b=4,结合ab=l,

2a+b

afb为方程/一4x+l=0的两根，

・•・a=2+V3,b=2—V5或a=2—V3,b=2+V3取等号，

•,•；+=+—二的最小值为4.

2a2ba+b

故答案为4.

15.（2021高考天津卷）在边长为1的等边三角形ABC中，。为线段BC上的动点，OE_L48且交48于点E,

0尸〃48且交4c于点F,则|2月E+而|的值为;（方F+而）・万彳的最小值为.

【答案】1；

•••△4BC是边长为1等边三角形，DE1AB,

•••Z-BDE=30°>BD=2x,DE-y/3x<DC=1—2x,

•・•。?//48,.•.△。广。是边长为1一2%等边三角形，DE1DF,

•••(2BE+DF)2=4雇2+4配-DF+DF2=4x2+4x(1-2x)xcos00+(1-2x)2=1.

则|2丽+函=1.

,,■>■■11■■>,■>■■…,...»--->2>»

(DE+DF)•DA=(DE+DF)•(DE+EA)=DEDF-EA

=(V3x)24-(1-2x)x(1—x)=5x2—3x+1

=50_书2+奈xe(0,1),

A(DE+~DFya的最小值为系

故答案为：1,系

三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(2021高考天津卷)在△ABC中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,HsinA：sinB：sinC=2：

1：V2»b=V2.

(1)求a的值；

(2)求cosC的值；

(3)求sin(2C—强的值.

【答案】⑴2V2;(2)楙：(3)吗

416

【详解】(1),・・在中，

sinA：sinB：sinC=2：1：企,

Aa：b：c=2：1：V2,

vb=V2,

・•・a=2b=2&，c=y/2b=2.

(2)在△48C中，b=&，a=272,c=2,

。庐

由余弦定理可得cosC=2+-2_8+2—4_3

-2ah__2x2V2xV2-4

(3)由(2)可知cosC=也

又C6(0,7r),则sinC=71-cos?。=

・•・sin2C=2sinCcosC—挈，cos2C=2cos2C—1=

8o

贝Uqi(2C—7)=sin2Ccos^-cos2Csin^=3v^~1.

noo6lo

17.(2022高考天津卷)直三棱柱中，AAr=AB=AC=2,1AB,ACLAB,。为

A/i中点，E为中点，F为C。中点.

(1)求证：EF〃平面ABC：

(2)求直线BE与平面CGD的正弦值；

(3)求平面4CD与平面CGD夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见详解；⑵白⑶缥

n1U

【详解】(1)证明：取BBj的中点G,连接FG,EG,

又。为4当中点，E为44i中点，F为CD中点,

•••FG//BC,EG//AB,

又FG平面ABC,CBu平面ABC,

•••FG〃平面ABC,

同理可得，EG〃平面4BC,

又FGCEG=G.

二平面EFG〃平面4BC,

•••EF〃平面ABC,

(2)在直三棱柱ABC-ABiCi中，ACLAB,则可建立如图所示的空间直角坐标系，

又AZ1=4B=4。=2,。为&Bi中点，E为A①中点，F为CD中点.

故8(2,2,0),E(l,0,0),C(2,0,2),30,0,2),D(0,1,0),

则露=(一1,-2,0)，国=(-2,0,0)，CD=(-2,1,-2).

设元=(x,y,z)是平面eq。的法向量，则有：n-CC\=0>n-CD=0-即上*_n,令z=l，则

I4人Iy~~乙乙一—u

%=0,y=2,

所以元=(02D，

设直线BE与平面CG。的夹角为仇则sin。=|cos<BE,n>|=|瞪=J

(3)•；4式0,0,0),则不=(2,0,2)，A^D=(0,1,0).

设平面&CD的法向量为沅=(x,y,z),则有沅.A1=0,m-ArD=0-

即°,令x=l，则y=。，z=-1>故沆=(1,0,—1)，

设平面4CD与平面cqc的夹角为0,

所以cos/?=|cos<n,m>|=II=噂,

18.(2021高考天津卷)已知数列｛时｝是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列｛%｝是公比大于0的等

比数列，瓦=4,b3-b2=48.

(1)求数列｛Qn｝和｛%｝的通项公式；

(2)记cn=Z?2n+4，nG/V*.

Dn

(i)证明：｛d2—©2“｝是等比数歹U;

3）证明：Xk"颦懿<2V2（ne/v*）.

n

【答案】（1）an=2n-l；Z）n=4（ne/V）；（2）证明见详解

【详解】证明：（1）由数列｛6｝是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64,

可得8%+：x8x7d=64,

解得的=1>

所以斯=1+2(n-1)=2n-l(neN*)；

由数列｛bn｝是公比q大于0的等比数列，bi=4,b3-b2=48,

可得4q2-4q=48,

解得q=4(-3舍去)，

所以以=4HneN*)

(2)(i)证明：因为0n=2n—l,%=4",

2n

所以cn=b2n+^=4+木,

则叫_C2n=⑷"+染)2_(40+表)=42n+2,4n+_l__44n__l_=2.4n(

A+1-C2n+2_2・4"+1

所以4,

^n-Qn-24"

又或-C2=(42+42_(44+a)=8,

q.

所以数列｛*-C2』是以8为首项，4为公比的等比数列；

⑺证明：设…宸=烂嚼国=解<牌=内舁

考虑qn=嬴则pn<V2qn,

所以Qk=：+/+…+嬴

则基%勺位=*+,+…+^r，

两式相减可得'^Zk=iQk=|+p+--+£_=2；二三）_=1一尚•

所以Xbi仇=2-<2,

则£片肾屁<虚沈=M<2亿

7C『C2k

故也快彩<2&.

7ck~c2k

19.(2019高考天津卷)设椭圆二+二=/(□>>0)的左焦点为口，上顶点为口.己知椭圆的短轴长为4,

离心率为

(I)求椭圆的方程；

(H)设点口在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点□为直线口口与口轴的交点，点□在1轴的负半轴上.若

|口口|=|口口|(□为原点)，且匚口，□口，求直线□□的斜率.

【答案】(1)一+-=/；(2)+半

54'-5

【详解】(I)由题意可得21=4,即=2,

则L=一=1,口2_口2=口2,

解得口=V5,=1,

故椭圆方程为一+-=/;

54

(H)口(仇2),设匚匚的方程为口=匚匚+2,

代入椭圆方程4球+52=20,

可得(4+5I2)L2+20'JU=0,

解得L=--^或1=0,

即有匕匕)，

'4+5Q24+5D27

□=□□+2,令口=0,可得□(-3,0),

又口(。,一/),

可得与3—解得口=±苧，

可得I的斜率为+卒.

一5

20.(2014高考天津卷)设/(%)=x-Qe"(a€R),%6/?,已知函数y=/(%)有两个零点刀口x29且与V

%2.

(I)求a的取值范围；

(H)证明：孑随着a的减小而增大；

(HI)证明X]+小随着a的减小而增大.

【答案】(1)(0,e-i).(2)证明见详解；(3)证明见详解

【详解】(I)v/(%)=%—aex,A/'(%)=1—aex；

下面分两种情况讨论：

①Q40时，((%)>0在R上恒成立，・・・/(x)在R上是增函数，不合题意；

②Q>0时，由r(x)=0,得％=-mQ,当X变化时，((久)、f(%)的变化情况如下表:

X(—oo,—Ina)—Ina(—Ina,4-oo)

r(x)+0—

f(x)递增极大值一仇a-1递减

・•・/(%)的单调增区间是(一8,-)Q),减区间是(一)a,+8)；

・•・函数y=f(%)有两个零点等价于如下条件同时成立:

①/(一"Q)>0；

②存在SiE(-8,一伍a),满足f(si)V0；

③存在s?E{-Ina,4-oo),满足f(%)<0；

由/(—Ina)>0,即一Zna—1>0,解得0<a<e-1；

取Si=0,满足Si£(-8,-伍a),且f(Si)=_aV0,

22