高考试题-数学理(湖南卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页.第II卷3至4

页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第।卷

注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准

考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.复数等于

1+1

A.4zB.一4,C.2iD.-2/

2.不等式x二—^2<0的解集是

x+1

A.(-05-1)0(-1,2]B.[-1,2J

C.(-oo,-l)U[2,+oo)D.(-1,2]

3.设M、N是两个集合，则“MUN#。”是“MriNw。”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

4.设〃是非零向量，若函数负方）=Cxa+b）,（.a—xb）的图象是一条直线，则必有

A.a±bB.a//bC.|fl|=||D.\a\^\b\

5.设随机变量J服从标准正态分布N（0,1）,已知。（-1.96）=0.025,则P（修机1.96）=

A.0.025B.0.050C.0.950D.0.975

4x—4xW]

6.函数/.（x）=《，’''的图象和函数g（x）=log2》的图象的交点个数是

%--4x+3,x>1,

A.4B.3C.2D.1

7.下列四个命题中，不正确的是

A.若函数/(幻在x=Xo处连续，则limf(x)=lim/(x)

x—>甘x—>石

B.函数/(%)=与Y+£的2不连续点是尤=2和x=-2

x-4

C.若函数f(x)>g(x)满足lim[/(x)-g(x)]=0,则limf(x)=limg(x)

XT8XT8X—>00

..y/~X—11

D.lim-----=—

I1％-12

8.棱长为1的正方体ABC。一4SGA的8个顶点都在球。的表面上，E、尸分别是棱A4]、

。。的中点，则直线EF被球。截得的线段长为

V2V2rz

A.B.1C.1H----D.V2

22

22

9.设为、尸2分别是椭圆二+二=13>8>0)的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，

ab~

使PFi的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是

10.设集合M={1,2,3,4,5,6},$、&、…、&都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意

的5,={ai,bi],Si={ai,bj},(iwJ,i、Je{l,2,3,…,&}都有min{—,—}R}(minlr,y)

b,aibjaj

表示两个数x、y中的较小者)，则上的最大值是

A.10B.11C.12D.13

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.

11.圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是.

12.在△ABC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=l,b=近,c=M,则8=

13.函数/(x)=12x—/在区间[—3,3]上的最小值是.

14.设集合A={(x,y)|yNT|x—2|},8={(x,y)|y<—|x|+〃,AnBw。.

(1)b的取值范围是；

(2)若(x,y)uAPI伉且x+2y的最大值为9,则b的值是.

15.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图1所示的0一1三角数表，从上往下

数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n

次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是.

第用II

22tyI。I

第1III

第4410001

nstj110。1।.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分12分)

JT1

已知函数f(x)=cos2(x+—),^(x)=1+—sin2x.

(I)设x=x0是函数y=/(x)图象的一条对称轴，求g(Xo)的值；

(II)求函数Zz(x)=/(x)+g(x)的单调递增区间.

17.(本小题满分12分)

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力.每

名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训

的有60%,参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，

且各人的选择相互之间没有影响.

(I)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率：

(H)任选3名下岗人员，记J为3人中参加过培训的人数，求J的分布列和期望.

18.(本小题满分12分)

如图2,E、F分别是矩形A8C。的边A8、CQ的中点，G是EF上的一点.将4

GAB、AGCB分别沿AB、CO翻折成△Gh4B、AGoCD,并连结G1G2,使得平面Gp48

_L平面ABC。，GGHAD,且G|G2<AD连结BG2,如图3.

(I)证明平面平面G,ADG2;

(H)当AB=12,BC=25,EG=8时，求直线BG2和平面GpAOG2所成的角.

19.(本小题满分13分)

如图4,某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区。的公路，

点P所在的山坡面与山脚所在水平面a所成的二面角为

2

6(0°<90°),且sin。=g,点P到平面a的距离PH=0.4(km).沿山脚原有一段

笔直的公路AB可供利用，从点。到山脚修路的造价为〃万元/km,原有公路改建费用

为^■万元/km.当山坡上公路长度为/km(1</<2)Bt，其造价为(广+1)。万元.已

知。A_L48,PBLAB,AB=1.5(km),OA=

■yfs(km).

(I)在AB上求一点。，使沿折线PDA。修建公路的总造价最小；

(II)对于(I)中得到的点。，在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价

最小；

(III)在A8上是否存在两个不同的点£>'、E',使沿折线尸》E'O修建公路的总造

价小于(II)中得到的最小总造价，证明你的结论.

20.(本小题满分13分)

已知双曲线——J?=2的左、右焦点分别为吊、尸2,过点B的动直线与双曲线相交

于A、8两点.

(I)若动点M满足碗=不+9+市(其中。为坐标原点)，求点M的轨迹

方程；

(II)在x轴上是否存在定点C,使瓦•无为常数？若存在，求出点C的坐标；若不

存在，请说明理由.

21.(本小题满分13分)

已知4(。“也)(〃wN*)是曲线y=e*上的点，6=。百,是数冽]｛2｝的前〃项和，且

满足：S：=3川％+S3，-O,〃=2,3,4,....

(I)证明数列■言,(〃22)是常数数列；

(H)确定。的取值集合M,使“eV时，数列｛《,｝是单调递增数列；

(III)证明当aeV时，弦4A用("eN*)的斜率随〃单调递增.

2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每上题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.C2.D3.B4.A5.C6.B7.C8.D9.D10.B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在横线上。

11.(x-l)2+(y—l)2=212.—13.-16

6

9

14.(1)[l,+a>)(2)-15.2n-l32

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)

171

解：⑴由题设知/(x)=—[l+cos(2尤+一)]

26

TT

因为x=%是函数y=/(X)图象的一条对称轴，所以2%+—=既，

jr

BP2x0=k7i---(keZ).

6

所以g(%o=l+gsin2xo=l+gsin(A"一

11Q

当k为偶数时，g(x()=1+—sin(-工)=1——=-.

2644

当k为奇数时，^(x0=l+-sin—=1+-=-.

2644

八1711

(II)解/z(元)=/(x)+g(x)=—[1+cos(2x+—)]+1+—sin2x

262

——[cos(2xH—)+sin2x]H———(—cos2x4—sin2x)H—

2622222

1.冗、3

——sin(2x4—)H—.

232

当2女乃一生<2x+—<2&»+工，即&》一至<x<^+—(Z:GZ)时

2321212

IA

函数/z(x)=5§山(21+耳7)r+：是增函数.

7T7T

故函数/?(%)的单调递增区间是伙万一立，女》+立]/eZ).

17.(本小题满分12分)

解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A,“该人参加过计算机培

训为事件8,由题设知，事件4与8相互独立，且尸(A)=0.6,P(B)=0.75.

(I)解法一任选1名下岗人员，该人员没有参加过培训的概率是

P,=P(AB)+P(A)-P(B)=0.4x0.25=0.1

所有该人参加过培训的概率是鸟=1_片=1_().1=0.9.

解法二任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

P,=P(AB)=P(AB)=0.6x0.25+0.4x0.75=0.45

该人参加过两项培训的概率是乙=0(A-8)=0.6x0.75=0.45

所以该人参加过培训的概率是4=6+A=0.45+0.45=0.9.

(II)解：因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数4服从二项

分布8(3,0.9),/3©=%)=或*0.9**0.12,左=0,1,2,3,即€的分布列是

0123

4

P0.0010.0270.2340.729

J的期望是EJ=1X0.027+2X0.243+3X0.729=2.7.

(或J的期望是玷=3X0.9=2.7)

18.(本小题满分12分)

解解法一(I)因为平面GiABJL平面ABCC,平面Gp48C平面4BCZ)=A8,

AD±AB,AQu平面ABC。，所以AZ)_L平面G|A8又AOu平面GiACG2,所以平面

G|ABJ_平面GIADG2.

(ID过点B作于点，，连结G2〃，fa；犬鼠

由(I)的结论可知，平面G}ADG2,'

所以NBG阳是BG2和平面Gp4OG2所成的角..

因为平面G|AB_L平面A8C£>,6

平面GiABC平面ABCD=AB,G\E=AB

G|Eu平面G\AB,所以G|E_L平面ABCD,故G.E1EF.

因为G|G2<A£>,AD=EF,所以可在EF上取一点O,使EO=G|G2，又因

为G\G2HAD//EO,所以四边形G\EOG2是矩形.

由题设AB=12,BC=25,£G=8,则GF=17.

所以G2(7=G|E=8,G、F=17,；「

Giyi

OF=V172-82=15,0,0,=£0=10,/

因为AO_L平面G]43,G\G川ND、0卷.....5Ml^三三…

所以G|G,_L平面G]A8,从而G]G°_LG]A/B

X

22

故BG2=BW+EG:+GIG；=6+8+1()2=200,BG2=10\/2.

I----------Q1242

又AG|=j62+82=10,由8"46]=6]足加得8"=---x-----=—.

解法二(I)因为平面G|A8_L平面A8CQ,平面G|ABC平面ABCQ=A8,

GxELAB,G|Eu平面G1A8,所以G|EJ_平面4BCQ,从而GiE_L4D

又A8_LA。，所以AO_L平面G1A8.因为AOu平面GMOG2,

所以平面G|AB_L平面G\ADG2.

(II)由(I)可知，GEL平面A8CQ,故可以E为原点，分别以直线EB、EF、EG”

为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).由题设AB=12,BC=25,EG=8,

贝|JEB=6,EF=25,EG1=8,相关各点的坐标分别是A(—6,0,0),

D(-6,25,0),G.(0,0,8),B(6,0,0)

所以而=(0.25,0),苑=(6,0,8).

设〃=(x,y,z)是平面G]A£)G的一个法向量，

n-AD=0_f25y=0..-

由〈______.，得Az，，故可取n=(4,0,-3).

“.AG-16x+8z=0

过点G2作GzO-L平面A8C£>于点O,因为G2G=G2。，所以0C=0。,

于是点。在)，轴上.

因为GIG2〃4D,所以G1G2//EF,G2O=G,£=8.

设G2(0,m,8)(0<m<25),由172=82+(25—机)？解得帆=10,

所以(0,10,8)-(6,0,0)=(-6,10,8).

设8G2和平面G\ADG2所成的有是。，则

.八\~BO,-n\|-24-24|1272

sine=j——=/—7=----.

22222

\BG2\-\n\V6+10+8-<4+325

故直线8G2与平面GNQG2所成的角是arcsin■包1

25

19.(本小题满分13分)

解：(I)如图，PHLa,HBua,PB1AB,由三垂线定理逆定理知，ABLHB.所以

PH

NP8”是山坡面与a所成二面角的平面角，则NPBH=e,PB=----=1.

sin。

设3D=x(km),0«1.5,则

PD=&+PB?=&+[G]2)

记总造价为力(工)万元，

2

据题设有<(X)=(P£>2-i+-AD+AO)a=(x--x+—+V3)^

12/3A

—(x)Q+(---FA/3)6Z.

416

当x=；,即BD-；(km)时总造价f1(x)最小.

(II)设AE=.y(km),0W)w|■，总造价为力(y)万元，根据题设有

=[PD2+1+Jy[+3+g(]_；_y)]a=Q)，+3-,)a+去a

则f->(y)=(—7)。,由力(y)—0,得y=L

6」2'+32

当ye(0,1)时,4(>)<0/。)在(0,1)内是减函数；

5，5

当”(iq)时,72(y)>0/(y)在(1[)内是增函数.

故当)，=1,即AE=l(km)时总造价力(y)最小，且最小总造价为包万元.

（in）解法一不存在这样的点o'、E'.

事实上，在A8上任取不同的两点O'、E'.为使总造价最小，E'显然不能位于。'与B

之间.故可设E'位于。'与A之间，且BD'=X|（km）,A£'=M（km）,

OWx]+乃W],总造价为S万兀，则S=（x；—+Jy；+3—1~+类似于（I）、

（II）的讨论知，%|2-------:,—,当且仅当VI=一,必=1同时成

216224

立时，上述两个不等式等号同时成立，此时BD'=』（km）,AE'=l（km）,S取得最小

4

值

工，点D'、E'分别与点D、E重合.所以不存在这样的点。'、E',使沿折线PD'E'O

16

修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价.

解法二同解法一得

S=（X：「AM-4岁。

=（2-二）%++3一必）+Qy：+3+y,）］＜?+—G

N了x2,3（物+3_M）（4+3+y^xa+a

当且仅当M=；且3（Jy：+3_必）=Jy；+3+必,即/=：,%=i同时成立时，s

取得最小值巨。，以下同解法一.

16

20.解由条件知好（-2,0）,鸟（2,0）,设/式和%）,8区,必）•

解法一（I）设加（苍历,则百必=（*+2,历,“=（玉+2,%）,

质=（项+2,%）,前=（2,0）由碗=品+电+京得

”+2=玉+七+6即,xt+x2=x-4

J=%+%、y+8=y.

Y—4

于是AB的中点坐标为（土于

2

当月8不与X轴垂直时，入二21=-2----------2L,即％一%='(七一工2)・

%1_%2x42元―8x—8

因为A、B两点在双曲线上，所以片—疗=2,君一货=2,两式相减得

(项一x2)(%i+&)=(%一%)(Y+%)，即区一无2)(%-4)=(%一%)，

将%-%=三(西一T)代入上式，化简得(x-6产一y2=4.

x-8

当A3与x轴垂直时，现=工2=2,求得M(8Q),也满足上述方程.

故点M的轨迹方程是(x—6)2—/=4.

(II)假设在x轴上存在定点C(w,O),使而•无为常数.

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=&(x-2)(Z丰±1).

代入x2-/=2有(1-E)x2+4k2x-(4k2+2)=0.

AL-AL242

则由、必是上述方程的两个实根，所以芭+/=二一，再％二2・

k—1k1

2

于是CA-CB=(%,—m)(x2—m)+k{xx—2)(x2—2)

222

=(k+l)XjX2—(2k+m)(xx+工2)+4攵2+m

=伏2+1)(4/+2)_4/(2/+〃2)+4左2+m2

k2-1k2-1

2(l-2m)F+22竹°、，4-4叫2

=--------z------------\-m=2(1-2/«)4——；------1-m.

k2k2-1

因为耳•无是与火无关的常数，所以4—4加=0,即相=1.此时而•赤=一1.

当与x轴垂直时，点A、8的坐标可别设为(2,、历)、(2,-V2),

此时无•而=(1,行)•(L-行)=-1.

故在x轴上存在定点C(1,0),使苏•而为常数.

解法二(D同解法一的(I)有《।2

71+%=y

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k(x-2)(k*±1).

代入一一y2=2有(1—k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0.

则内、处是上述方程的两个实根，所以玉+%=/4k、2

，/八，/4k~八4k

y+%=依尤i+/-4)=K—r-,-4)=p—•

K~~1K,1

AL

由①、②、③得x—4=:^,y=Y^.

A?—1-k2~\

X—4

当ZwOH寸,ywO,由④、⑤得，——=k,将其代入⑤有

y

y=-一-=424),.整理秋尤-6)2-j2=4.

U-4)-(x-4)--/

-y--1

当左=0时，点M的坐标为(4,0),满足上述方程.

当A3与x轴垂直时，xi=x2=2,求得M(8,0),也满足上述方程.

故点M的轨迹方程是(％-6)2-丁=4.

(II)假设在x轴上存在定点C(小0),使日•无为常数.

4左24k2+2

当AB不与X轴垂直时，由(I)有X]+%2=——~^X\X2=~2一1

以下同解法一的(II).

22.解：(I)当〃N时由已知得摩一S3=3n2a„.

因为q=S“—S“TH0,所以S.+S,I=3〃2.......①

于是S“+1+S“=3(〃+l)2........②

由②一①得an+i+an=6〃+3........③

于是an+2+an+i=677+9........④

由④一③得an+2-an=6........⑤

h夕MMh

所以4±1=-=/，，"+x=e'为常数，即数歹W吐是常数歹I」.

hn/2J

(II)由①有S2+Sj=12.所以4=12—2a由③有q+。2=15,/+。3=21,所

以

%=3+2。,%=18—2a

而⑤表明：数列｛4J和El｝分别是以“2、的为首项，6为公差的等差列，

所以。24=%+6(%一1),。2攵+1=%+6(左一1)，42攵+2=々4+6(左一1)(左6N).

数列｛4｝是单调递增数列=4v%且%v生1v/"2对任意弥6N*成立