初中数学九年级上册1 圆的有关性质

24.1圆的有关性质一、圆的有关概念二、垂径定理●OABCDM└③AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形”

若①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.

1.定理

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.垂径定理及推论直径(过圆心的线)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣弧；(5)平分优弧.知二得三注意:“平分弦的直径垂直于弦.”这句话对吗?()●OABCDM└●OAB┓DA′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒

⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′三、圆心角、弧、弦、弦心距的关系

在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.四、圆周角定理及推论

90°的圆周角所对的弦是

.●OABC●OBACDE●OABC

定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.

推论:直径所对的圆周角是

.直角直径判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等.(3)等弧所对的圆周角相等.(×)(×)(√)四、圆内接四边形圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补

巩固：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠

AOC=140

°，求∠

B的度数．考点1圆周角与圆心角之间关系（考查频率：★★★★★）

命题方向：同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系．1．（2013山东泰安）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于（

）A．60° B．70°C．120° D．140°2．（2013山东滨州）如图，在⊙O中圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的大小为（

）A．156°B．78°C．39°D．12°3．（2013吉林长春）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝71°，∠CAB＝53°点D在⊙O上，则∠ADB的大小为（）A．45° B．53° C．56° D．71°4．（2013海南）如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是（

）5.已知如图,OA=OB=OC,∠AOB=2∠BOC,∠BAC=25°则,∠ACB=考点2圆内接三角形和圆内接四边形（考查频率：★★★☆☆）命题方向：（1）圆内接三角形的边角关系；

（2）圆内接四边形的计算问题．6、如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=▲°.7、如图，已知A，B，C，D

是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E．若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形.证明∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE．∴∠A＝∠E．∴AD＝DE．∴△ADE是等腰三角形.考点3直径所对的圆周角（考查频率：★★★☆☆）命题方向：（1）利用“直径所对的圆周角等于90°”进行角度的计算；（2）利用“直径所对的圆周角等于90°”证明一个三角形是直角三角形．8、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD，CD的长考点4垂径定理（考查频率：★★★★☆）命题方向：（1）已知半径、弦长、弦心距中的两个量，求第三个量的值；（2）利用垂径定理进行有关证明．9、如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝8，则CED所在圆的半径为_____________．10、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm

B．4cm

C．5cm

D．6cm例1：圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB，CD的距离是______．第一种情况：两弦在圆心的同侧时，已知CD=10cm，∴由垂径定理得DE=5．∵OD=13，∴利用勾股定理可得：OE=12．同理可求OF=5，∴EF=7．第二种情况：只是EF=OE+OF=17．其它和第一种一样．例2：⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC=100°则∠A=___.分为两种情况：当O在△ABC内部时，根据圆周角定理得：∠A=∠BOC=×100°=50°；当O在△ABC外部时，如图在A′时，∵A、B、A′、C四点共圆，∴∠A+∠A′=180°，∴∠A′=180°﹣50°=130°，故答案为：50°或130°．例3：（2013四川泸州）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（

）例1、如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．

（1）判断

ABC的形状：______________；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）当点P位于⊙O

的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积