新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第10讲 拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 高频精讲（解析版）

第10讲拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高频考点一遍过 2高频考点一：利用二阶导数求函数的极值 2高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性 9高频考点三：利用二阶导数求参数的范围 16高频考点四：利用二阶导数证明不等式 24温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、函数极值的第二判定定理：若在附近有连续的导函数，且，（1）若则在点处取极大值；（2）若则在点处取极小值2、二次求导使用背景（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.（3）一阶导函数中往往含有或3、解题步骤：设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.第二部分：高频考点一遍过高频考点一：利用二阶导数求函数的极值典型例题例题1．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数．(1)设．①求曲线在点处的切线方程．②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．(2)若在上恰有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)①；②有极大值.(2)【详解】（1）①当时，，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．②令得，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，由极值的定义知，当时，函数有极大值，无极小值.（2）因为函数在上恰有两个零点，所以方程在上有两个解，即在上有两个解，记，，则直线与函数，有两个交点，则，记，则，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，令得，又，所以当时，，，函数单调递增，当时，，，函数单调递减，又，，如图，由图知，要使直线与函数，有两个交点，则，所以函数在上恰有两个零点时，a的取值范围为.例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)若存在极值点，求实数的取值范围.【答案】(1)的单调递增区间为，无单调递减区间(2)【详解】（1）的定义域为，当时，，则，令，则，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）存在极值点等价于存在变号零点，等价于存在变号实根，令，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，所以单调递减，令，所以，令，解得，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以当时，取得极小值即最小值，所以，所以，当无限趋向于0时，趋向于正无穷大，当无限趋向于正无穷大时，趋向于0，所以，即.故实数的取值范用为.例题3．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数．(1)求在上的极值；(2)若，求的最小值．【答案】(1)为极小值，无极大值.(2)【详解】（1），令，得，在为负，单调递减，在为正，单调递增，故为极小值，无极大值.（2）由题知,令，令，则，设则，，为正，在单调递增，，为负，在单调递减，故为极大值，若，即，此时，则在单调递减，又，所以时，在单调递增，时，，在单调递减，故为极大值，所以，则当时，符合条件；，即此时，存在，在上；，则在单调递增，又，则在区间上所以在区间上，单调递减，则，不满足条件.综上所述的最小值为.练透核心考点1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数，（，为自然对数的底数）.(1)求函数的极值；(2)若对，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)极大值为，无极小值(2)【详解】（1）定义域为，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，无极小值.（2）由得：，在上恒成立；令，则；令，则，在上单调递增，又，，，使得，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；由得：，，，，则实数的取值范围为.2．（2023·高二课时练习）已知(1)求的极值点；(2)求证：.【答案】(1)的极大值点为，极小值点为；(2)证明见解析.【详解】（1）由题意可知，,所以的定义域为.因为，所以，令即，解得或.当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值由此表可知，的极大值点为，极小值点为.（2）由，得，要证，只需证，即可设，则，设，则，令即，解得.当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，函数取得极小值，也是最小值.所以函数在上单调递增，且，所以是方程的唯一实数根，当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，函数取得极小值，也是最小值,所以，即，即证.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)求函数的单调区间和极值；(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值.【答案】(1)递增区间为，递减区间为，极小值为，没有极大值(2)3(1)函数的定义域为，由，令可得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，∴

函数的递增区间为，递减区间为，函数在时取极小值，极小值为，函数没有极大值(2)当时，不等式可化为，设，由已知可得，又，令，则，∴

在上为增函数，又，，∴存在，使得，即当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，∴

，∴

，∴m的最大值为3.高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性典型例题例题1．（2023·山西太原·统考一模）已知函数.(1)若恰有三个不同的极值点，求实数的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明：①；②.【答案】(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析.【详解】（1）由题意得令，①当时，在上递增，当时，在上递减，当时，在上递增，只有一个极值点，此时不符合题意；②当时，令，即，则和是方程的两个实数解，且，所以时，，时，，在和上递增，在上递减，且，，在上存在唯一零点，，在上存在唯一零点，在和上递减，在和上递增，记，是的三个不同的极值点，且，综上，实数的取值范围为；（2）由（1）得当时，有三个不同的极值点，且，①要证，只需证，，.②要证，只需证，，只需证，令，则，令，则，，，即.例题2．（2023·山西·校联考模拟预测）设函数．(1)讨论的单调性；(2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】(1)在上单调递减，在和上单调递增(2)【详解】（1）依题意得．①当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增；②当时，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在和上单调递增；③当时在上恒成立，所以在上单调递增；④当时，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在和上单调递增．（2）当时，恒成立，则恒成立．（i）当时，不等式即，满足条件．（ii）当时，原不等式可化为，该式对任意恒成立．设，则．设，则．因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增．又因为，所以是在上的唯一零点，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，，所以．（iii）当时，原不等式可化为，此时对于（ii）中的函数，可知当时，，所以在上单调递减，且，所以当时，，即，所以在上单调递减，所以当时，，所以．综上所述，m的取值范围是．例题3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．(1)求证：函数在上单调递增；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：∵当时，∴成立，所以函数在上单调递增．（2）当时，不等式显然成立当时，，所以令，令，在上成立，∴在上为单调递增函数，∴即在上成立，在上单调递减，∴∴．练透核心考点1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数，函数，其中．(1)讨论函数在上的单调性；(2)当时，证明：曲线与曲线有且只有一个公共点．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1），当时，，则函数在上单调递增.当，即时，若时，；若时，.即函数在上单调递减，在上单调递增.当，即时，，函数在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增.当，函数在上单调递减，在上单调递增.当，函数在上单调递减.（2）设，题设等价于证明函数有且仅有一个零点，，设，，则函数在上单调递减，又，则当时，；当时，；当时，，则函数在上单调递减，又，故此时函数有且仅有一个零点；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，，则当时，恒成立；当且时，，，则，函数在上存在一个零点，此时函数有且仅有一个零点；综上即证.2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数．(1)若，求的极值；(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)极小值为，无极大值；(2)．【详解】（1）当时，，，所以，设，则，所以在单调递增，又，∴时，，单调递减；时，，单调递增；∴在处有极小值，极小值为，无极大值；（2）因为，所以，设，则，令，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，故，当时，且不恒等于零，在上单调递增，所以，即，在上单调递增，所以，即对任意的恒成立；当时，则，，所以存在，∴时，，单调递减，此时，，所以时，单调递减，，不满足题意；综上，实数的取值范围．3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．(1)求证：函数在上单调递增；(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1），当时，，，，，即，当时，恒成立，当时，恒成立，函数在上单调递增．（2）当或时，不等式显然成立．当时，，所以．令，，令，在上成立，在上为单调递增函数，且，当时，，即；当时，，即；在上单调递减，在上单调递增；，．高频考点三：利用二阶导数求参数的范围典型例题例题1．（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知函数，为正实数．(1)若在上为单调函数，求的取值范围；(2)若对任意的，且，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）时，，，因为函数在上为单调函数，当时，，所以恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，而，所以，所以，即的取值范围为．（2）因为，所以，所以在区间上是减函数．在区间上恒成立，①当时，．由在上恒成立．设，所以，所以在上为增函数，所以．②当时，．由在上恒成立．令，所以在上为增函数，所以，综上：的取值范围为．例题2．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若和有相同的最小值，求的值．【答案】(1)(2)答案见解析；(3)【详解】（1）解：因为，，所以，所以，，所以，曲线在点处的切线方程，即．（2）解：函数的定义域为，所以，，所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，当时，时，，单调递减；时，，单调递增，综上，当时，增区间为，无减区间；当时，减区间为，增区间为.（3）解：由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增.所以，因为，得，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，，因为和有相同的最小值，所以，即，令，，令，，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以，在上单调递增，因为，所以，等价于例题3．（2023·全国·高三专题练习）设函数，，是自然对数的底数．(1)若，求函数的极值；(2)当时，，求的取值范围．【答案】(1)，；(2)（1）解：当时，函数，则，令，解得，，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值；（2）（2）由题意，令，且，则，且，令，，且，①当，即时，，所以，则单调递增，所以，则在上单调递增，所以，符合题意；②当，即时，，，所以存在，使得，当时，，则单调递减，故，不符合题意．综上所述，实数的取值范围为．练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，(1)证明：当时，；(2)时，设，讨论零点的个数【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【详解】（1）当时，令，令则当时，，当时，，∴得在内单调递增，由，得当时，，在内单调递减，当时，，在内单调递增，∴，即（2），当时，由，得，∴，由（1）可得；当时，令，则由得，∴在内单调递增由，∴，使得，则当时，，在内单调递减，当时，，在内单调递增，由得，，∴，使得，综上，当时在内无零点；当时在内有一个零点；2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求函数的单调区间和极值；(2)若曲线不存在斜率为－2的切线，求a的取值范围；(3)当时，恒成立，求a的取值范围.（只需直接写出结论）【答案】(1)单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值，极小值(2)a的取值范围为；(3)a的取值范围为.（1）由，得.

当时，

令，得

此时，随的变化如下：00↗极大值↘极小值↗所以的单调递增区间为和

的单调递减区间为

函数在时，取得极大值，在时，取得极小值.（2）因为不存在斜率为的切线，

所以

即方程无解，所以解得，所以a的取值范围为；（3）不等式可化为，设，，设，则当时，，，又所以，函数在上单调递增，所以当时，，此时，所以函数在上单调递增，又，所以当时，，所以时，在上恒成立，当时，方程的判别式，因为，所以，所以，所以方程有两个不相等的实数根，设其根为，且，则，所以，所以当时，，此时，所以函数在上单调递减，又，所以当时，，所以时，在上不可能恒成立，综上可得a的取值范围为.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若在单调，求的取值范围.(2)若的图像恒在轴上方，求的取值范围.【答案】(1)；(2).(1)由题意得，.在上单调，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.令，则，当时，.当时，，∴在上单调递减，∴由题意得，或，解得或，∴的取值范围是.(2)的图象恒在轴上方，也即当时，恒成立.也即在上恒成立.令，，令，则，由得，当时，当时，，即时，有极大值，也是最大值，所以，所以（当时取等号），再由可得：，列表如下：100由上表知为极大值，所以.∴的取值范围是.4．（2023·全国·高三专题练习）已知．(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的单调区间；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；(2)【详解】（1）由题意可知，的定义域为，因为，所以，

因为曲线在点处的切线斜率为0，所以，即，解得.

∴，，令，即，解得；令即，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由题意：，即，恒成立.

令，,则，令，则，在上单调递增，又，∴当时，，在上单调递增，所以，

要使在恒成立，只需要即可.所以实数的取值范围为．高频考点四：利用二阶导数证明不等式典型例题例题1．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)证明：对任意的，恒成立.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，则，曲线在处的切点坐标为，切线斜率为.故所求切线方程为.（2）证明：设，则，设，则.当时，；当时，.在上单调递减，在上单调递增，故.因为，所以.因为，所以存在唯一，使得.当时，；当时，.即在与上单调递增，在上单调递减.因为，所以对任意的，恒成立，即恒成立.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，曲线在处的切线方程为．(1)求，的值；(2)证明：当时，．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题可知，即．又，所以，解得，即．（2），，要证，，只需证，令，则，令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，则，即当时，．例题3．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若存在使，证明：．【答案】(1)的单调增区间为，减