2023-2024学年渭南市澄城县高二数学上学期期末检卷附答案解析

-2024学年渭南市澄城县高二数学上学期期末检卷试卷满分150分，考试时间120分钟.第I卷选择题（共60分）一､选择题（每小题5分，共40分）1．过点且与直线平行的直线的方程是（

）A． B． C． D．2．设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（）A． B．C． D．4．在的展开式中常数项为（

）A．721 B．-61 C．181 D．-595．现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男女不同住一个房间，则女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是（

）A． B． C． D．6．已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（

）A． B． C． D．7．已知贵州某果园中刺梨单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数的期望为（

）A．20 B．60 C．40 D．808．已知椭圆，点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二､多选题（每题5分，共20分.在每小题所给的选项中，有多项符合题目要求，全对的得5分，部分对的得2分，有选错的得0分.）9．下列说法正确的是（

）A．到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.B．方程表示双曲线.C．到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线D．椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁10．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．11．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（

）A．乙连胜三场的概率是B．C．D．的最大值是12．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．若，则点到轴的距离为B．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条C．是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则D．第II卷非选择题（共90分）三､填空题（每小题5分，共20分）13．圆与圆的位置关系是．14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是．15．某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中次．16．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是四､解答题（共70分）17．如图，过圆外一点向圆引切线.

(1)求过点P的圆的切线方程；(2)若切点为，，求过切点，的直线方程.18．如图，正四棱柱中，为的中点，．

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．19．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和．(1)估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)用频率估计概率，从这批种子（总数远大于）中选取粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发相互独立）．20．新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了，提前三年超过了“十四五”预定的的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表：月份代码12345678910渗透率29323432333436363638(1)假设自2023年1月起的第个月的新能源渗透率为，试求关于的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率；(2)为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为万元，求的分布列和期望.附：一组数据，，的线性回归直线方程的系数公式为：，21．已知椭圆的短半轴为3，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过的直线交椭圆于两点，且为的中点，求弦的长度.22．第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的，男生有10人表示不喜欢看足球比赛.(1)完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？男女合计喜爱看足球比赛不喜爱看足球比赛合计60(2)在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为，求的分布列和期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8281．A【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解.【详解】设与直线平行的直线的方程为，将点代入得，解得，所以所求直线的方程为.故选：A.2．D【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可.【详解】表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.故选：D3．B【分析】直接根据图形的性质分解向量即可.【详解】由题意.故选：B.4．D【分析】先求出展开式的通项公式=,其中的展开式的通项公式为，令x的幂指数等于0，求得r，k的值，即可求得展开式中的常数项的值.【详解】=的展开式的通项公式为=，其中的展开式的通项公式为，当时，，，常数项为；当时，，，常数项为；当时，，，常数项为；故常数项为++.故选：D5．C【分析】先利用排列组合知识求解总的事件个数及所求事件个数，然后利用古典概型概率公式求解即可.【详解】3名女生需要住2个房间或3个房间.若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为；若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为.其中，女生甲和女生乙恰好住在同一间房的方法种数为，所以女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是.故选：C6．D【分析】由条件概率计算公式直接计算即可.【详解】，.故选：D.7．B【分析】由正态分布对称性及已知得，又质量在的单果的个数，应用二项分布的期望公式求期望.【详解】因为(单位)服从正态分布，且，所以，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数，所以.故选：B8．A【分析】取线段的中点，由已知条件得出，从而三点共线，且，则，再利用，即可求出离心率.【详解】不妨设点在轴上方，设点的纵坐标为，设点的纵坐标为，的内切圆半径为，取线段的中点，设点的纵坐标为，因为，所以，所以，即，所以三点共线，且，则，，，，所以，，则椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】方法点睛：椭圆离心率的三种求法：（1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定，求出的值，利用公式直接求解．（2）求椭圆的离心率时，若不能直接求得的值，通常由已知寻求的关系式，再与组成方程组，消去得只含的方程，再化成关于的方程求解．（3）求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的．9．BD【分析】根据双曲线的定义可判定A，根据双曲线方程可判定B，根据抛物线的定义可判定C，根据椭圆的离心率可判定D.【详解】到两定点的距离差的绝对值等于正常数,且该常数小于两定点的距离的点的轨迹是双曲线，故A错误；对于方程，若，则表示焦点在横轴的双曲线，若，原式可化为，则表示焦点在纵轴的双曲线，故B正确；根据抛物线的定义可知:该定点不能在定直线上，否则轨迹不能是抛物线，故C错误；椭圆的离心率是焦距与长轴的比值，离心率越大说明焦距与长轴长越接近，则短轴长越短，此时椭圆越扁平，故D正确.故选：BD10．AB【分析】由空间中基底的概念以及共面定理逐项分析即可.【详解】设，所以，无解，所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确；设，则，所以，无解，所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；因为，所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误；因为，所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误．故选：AB．11．BD【分析】根据题意列出决赛中的比赛局数为X的概率分布列，然后对照选项逐项分析即可判断.【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5，若比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为4时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为5时，乙连胜三场的概率是；故选项A错误；由题意可知，决赛中的比赛局数的可能取值为，则；；故选项B正确；;故选项C错误；令，则，因为，所以当时，，当时，；当函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数取最大值，所以的最大值是，故选项D正确；故选：BD.CD【分析】首先根据抛物线的几何意义，求出抛物线方程，根据焦半径公式判断A；对所求的直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据直线与抛物线有且仅有一个公共点，求出直线的方程，可判断B选项；根据三角形相似判断C，首先证明，再利用基本不等式判断D.【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，则抛物线，所以焦点，准线为，对于A选项，设、，则，解得，又为线段的中点，则，所以点到轴的距离为，故A错误；

对于B选项，若过点的斜率不存在时，则该直线为轴，由图可知，轴与抛物线相切，若过点的直线的斜率为零，此时，直线的方程为，联立，可得，此时，直线与抛物线只有一个交点，若过点的直线的斜率存在且不为零，设该直线的方程为，考虑直线与抛物线相切，联立，可得，则，解得，即直线与抛物线只有一个公共点，故满足条件的直线共有三条，B错；对于C选项，过点作准线的垂线段，垂足为，则，设准线与轴交于点，则，因为，所以，则，则，所以，即，所以，则，故C正确；对于D：依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，由，消去得，显然，所以，，则，，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，故D正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．13．相交【分析】首先将两圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解.【详解】由题意圆与圆的标准方程分别为，所以圆与圆的圆心坐标、半径分别为，所以，所以圆与圆的位置关系是相交.故答案为：相交.14．【分析】根据投影向量的概念计算即可得解.【详解】向量在向量上的投影向量为：.故答案为：15．4【分析】易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中m次，于是，解出不等式即可得到答案.【详解】投篮命中次数，设最有可能命中次，则，，．最有可能命中4次．故答案为：4.16．【分析】通过列举法求出满足题意的三位数十全十美数个数，再运用概率公式计算即可.【详解】所有三位数个数为900个.“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是的，共有个，分别为；②含有两个相同数字的，共有个，分别为；③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为,从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率.故答案为:17．(1)或(2)【分析】（1）设出直线方程，利用直线和圆相切的性质可求切线方程；（2）求出切点坐标可得方程或者利用两圆的公共弦求出答案.【详解】（1）设过点P的圆的切线方程为，的圆心为，半径为；则，解得或，故切线方程为或.（2）解法1：将切线方程与圆的方程联立成方程组，由可得，由可得，即和，故过切点，的直线方程为，整理得.解法2：因为O，，P，四点共圆，所以，在以OP为直径的圆上，圆心为，半径为，即方程为与已知圆相减，得过切点，的直线方程为.

18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可证明；（2）先求平面的法向量，再用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：正四棱柱中平面，又四边形是正方形，得，所以，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图：

，，因为，所以即，又平面，，所以平面.（2）,,设平面的一个法向量为.由得，即，令，则，即，又.由（1）知，是平面的一个法向量，又.所以，.由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值.19．(1)(2)分布列见解析；【分析】（1）求出每组的中点值然后即可求解.（2）根据题意从这批种子中选取粒在自然情况下种植萌发的种子数符合二项分布，从而可求出分布列，求出期望值.【详解】（1）估计种子密度的平均值为；（2）由频率分布直方图知优种占比为，任选一粒种子萌发的概率．因为这批种子总数远大于2，所以萌发的种子数符合二项分布，所以可取的值为，，，所以，，，所以的分布列为：012所以期望，故期望值为.20．(1)，(2)分布列见解析，万元【分析】（1）根据题意计算，，得出回归直线方程，代入，即可求解.（2）由（1）可知客户购买新能源车的概率为，燃油车概率为，由题意购置税服从