人教版九年级数学下册《三角形》同步训练题-附答案

第第页人教版九年级数学下册《三角形》同步训练题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，点A、E、B、D在同一条直线上，AE=BD，AC=DF，AC∥DF.求证：BC∥EF.2．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．3．如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC.求证：△ABC≌△EDC.4．如图，在等边△ABC中，点D为边BC的中点，以AD为边作等边△ADE，连接BE．求证：BE=BD．5．已知：B、C、E、F在同一条直线上，AC∥DF，∠A=∠D，BF=EC．求证：AB=DE．6．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．7．已知：▱ABCD，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求证：BE=DF.8．如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4.求证：DE∥FC9．如图，一条直线分别交△ABC的边及延长线于D、E、F．∠A=20°，∠CED=100°，∠ADF=35°．求∠B的大小．

10．已知：∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、D．求证：PC=PD．11．如图AB=AC，BD=CD，DE⊥BA，点E为垂足，DF⊥AC，点F为垂足，求证：DE=DF．12．如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=70°，BD平分∠ABC，求∠DBC的度数.13．如图，点E，F分别是▱ABCD对角线AC上两点，AF=CE.求证：∠DEC=∠BFA.14．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，求证：AC＝DF．15．如图，BC=DC，请你补充一个条件，使得△ABC≌△ADC，并说明理由．16．如图，∠BOP=15°，OC=PC，PC//OA，PD⊥OA，若PC=8，求PD的长度．17．如图，点A，C，F，D在同一条直线上，AF=DC，AB∥DE，∠B=∠E，说明△ABC≌△DEF的理由．18．如图，E、F分别平行四边形ABCD对角线BD上的点，且BE＝DF．求证：∠DAF＝∠BCE．19．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠CAB=∠EAD．试说明：CE=BD．20．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．21．如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD，BF，若两个正方形的边长满足a＋b＝10，ab＝20，你能求出阴影部分的面积吗？22．如图，有两个长度相等（BC=EF）的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，求证：∠ABC+∠DFE=90°．23．正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，求证：EF＝AP24．已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)（其中p=a+b+c225．如图，在等腰三角形ABC中，两腰上的中线BE，CD相交于点O．求证：OB=OC．26．如图，在ΔABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以大于12②作直线MN分别交AB、BC于点D、E，连接CD．则直线MN和BC的关系是．若CD=CA，∠A=50°，求∠ACB的度数．27．△ABC和△ECD都是等边三角形

（1）如图1，若B、C、D三点在一条直线上，求证：BE=AD；

（2）保持△ABC不动，将△ECD绕点C顺时针旋转，使∠ACE=90°（如图2），BC与DE有怎样的位置关系？说明理由．28．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠1+∠2=90°，∠BCD=75°．（1）求证：△BDC是等腰三角形；（2）如图2，若∠ABD的平分线分别与ED、CD的延长线交于M、F，∠A=100°，求∠F的度数．29．如图1，已知等边△ABC，以B为直角顶点向右作等腰直角△BCD，连接AD．（1）若AC=83，求点D到AB（2）如图2，过点B作AD的垂线，分别交AD，CD于点E，F，探索EF，CF，BE之间的数量关系并证明；（3）如图3，点M，N分别为线段AD，BD上一点，AM＝BN，连接CM，CN，若AC=62，当CM＋CN取得最小值时，直接写出△ACM30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，动点P从点A出发，沿折线AB−BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、Q同时停止运动，连结PQ，设点P的运动时间为t秒（t>0（1）①AB的长为；②线段AQ的长为；（用含的代数式表示）（2）当点P与点B重合时，求t的值；（3）当点P在AB上运动时，求PQ与△ABC一边垂直时t的值；（4）当PQ将△ABC分成两部分图形的面积比为1：

答案1．证明：∵AB=AE+BE，DE=BD+BE，AE=BD∴AB=DE∵AC//DF∴∠A=∠D在ΔABC和ΔDEF中AB=DE∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)∴∠ABC=∠DEF∴BC//EF2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB．∵AE=CF，∴OE=OF．在△BEO和△DFO中，OD=OB∠BOE=∠DOFOE=OF，∴△BEO≌△DFO，3．解：∵在△ABC和△EDC中，∠A=∠EAC=EC∴△ABC≌△EDC（ASA）.4．证明：∵在等边△ABC中，点D为边BC的中点，∴∠CAD=∠DAB=12∠CAB=30°，∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵∠DAB=30°，∴∠DAB=∠EAB=30°，在△ADB与△AEB中，AD=AE∠DAB=∠EABAB=AB，∴5．证明：∵AC∥DF（已知），∴∠ACB=∠DFE（（两直线平行，内错角相等），∵BF=EC（已知），∴BF+FC=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE（全等三角形对应边相等）．6．解答：证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC∴∠DEB＝∠DFB＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形，∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF.8．证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠BCF+∠FCD=90°，BC=CD，∵△ECF是等腰直角三角形，∴∠ECD+∠FCD=90°，CF=CE，∴∠BCF=∠ECD，∴△BCF≌△DCE，在△BFC中，BC=5，CF=3，BF=4，∴CF2+BF2=BC2∴∠BFC=90°，∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，∴DE∥FC．9．解：∵∠BFD是△ADF的一个外角，

∴∠BFD=∠A+∠ADF，

又∵∠A=20°，∠ADF=35°，

∴∠BFD=20°+35°=55°，

∵∠CED=100°，

∴∠BEF=100°，

在△BEF中，∠BEF+∠BFD+∠B=180°，

∴∠B=180°-100°-55°=25°，10．证明：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴∠CFP=∠DEP=90°,∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF,∵∠1+∠FPD=90°又∵∠AOB=90°∴∠FPE=90°，∴∠2+∠FPD=90°∴∠1=∠2,∵在△CFP和△DEP中：∠CFP=∠DEPPF=PE∴△CFP≌△DEP(ASA)∴PC=PD.11．证明：在△ABD和△ACD中，AD=ADBD=CD∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥BA，DF⊥AC，∴DE=DF．12．解：∵∠A=36°，∠C=70°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-70°=74°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=1即：∠DBC的度数为37°．13．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠BAC=∠DCA，又CE=AF，∴ΔBAF≌ΔDCE，∴∠DEC=∠BFA.14．证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，又∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠F，∴AC=DF．15．解：方法一：补充条件是：AB=AD，理由是：在ΔABC和ΔADC中，BC=DCAC=AC所以ΔABC≅ΔADC(方法二：补充条件是：∠ACB=∠ACD，理由是：在ΔABC和ΔADC中，BC=DC∠ACB=∠ACD所以ΔABC≅ΔADC(16．解：作PE⊥OB于E，∵OC=PC，∠BOP=15°，∴∠COP=∠OPC=15°，∵OA//PC，∴∠OPC=∠AOP=15°，∴∠PCE=30°，∠COP=∠AOP∵PD⊥OA，PC=8∴PE=1∵∠COP=∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE=4，17．证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=DC，∴AF−CF=DC−CF即AC=DF，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E∠A=∠D∴△ABC≌△DEF(AAS)．18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DF＝BE，∴△ADF≌△CBE，∴∠DAF＝∠BCE19．解：∵∠CAB=∠EAD，∴∠CAE=∠BAD．在△CAE和△BAD中，AC=AB∠CAE=∠BAD∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE=BD．20．解：在△ABC中，∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°−40°−60°=80°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=1∴∠ADB=∠CAD+∠C=40°+60°=100°21．解：S＝a2＋b2－12a2－1＝a2＋b2－12a2－12ab－1＝12(a2－ab＋b2＝12[(a＋b)2当a＋b＝10，ab＝20时，S＝12[10222．证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵BC=EFAC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠ABC=∠DEF，∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°23．证明：分别延长FP、EP交AB于F'，AD于E'，可知四边形BEPF'和FPE′D是正方形，∴PE=PF'=AE'，PF=PE'．且∠AE'P=∠EPF．∴△APE'≌△EFP．∴AP=EF．24．解：由题意得：a=2,b=2,c=3，∴p=a+b+c∴S=p(p−a)(p−b)(p−c)25．解：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，∵CD、BE分别是腰AB、AC的中线，∴BD=12AB，CE=1∴BD=CE，在△BDC与△CEB中，BD＝CE∴△BDC≌△CEB（SAS），∴∠BCD=∠CBE，即∠BCO=∠CBO∴OB=OC26．解：根据尺规作图，可知：直线MN垂直平分BC，故答案是：直线MN垂直平分BC；∵CA=CD，∴∠CDA=∠A=50°，∴∠ACD=80°，∵直线MN垂直平分BC，∴DB=DC，∴∠B=∠DCB，又∵∠CDA=∠B+∠DCB=50°，∴∠DCB=25°，∴∠ACB=80°+25°=105°．27．解：（1）∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°.∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE.∴△ACD≌△BCE.∴AD=BE.（2）BC垂直平分DE，理由如下：如图，延长BC交DE于M，∵∠ACB=60°，∠ACE=90°，∴∠ECM=180°-∠ACB-∠ACE=30°.∵∠DCM=∠ECD-∠ECM=30°，∴∠ECM=∠DCM.∵△ECD是等边三角形，∴CM垂直平分DE，即BC垂直平分DE．28．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，又∵∠BCD=75°，∴∠ADC=180°−75°=105°，∵∠1+∠2=90°，∴∠EDC=180°−(∴∠ADE=∠ADC−∠EDC=105°−90°=15°，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠EDB=15°，∴∠ADB=30°，∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=105°−30°=75°=∠BCD，∴BD=BC，即△BDC是等腰三角形；（2）解：∵∠A=100°，∴∠ABD+∠ADB=180°−∠A=80°，∵BF，DE分别平分∠ABD，∠ADB，∴∠FBD+∠EDB=1∴∠FMD=∠FBD+∠EDB=40°，由（1）可知∠EDC=90°，∴∠MDF=180°−∠EDC=90°，∴∠F=180°−∠MDF−