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文档简介
2021-2022北京高二上学期期末
模拟试题(一)
本试卷共9页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试
卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项)
1.(2021•北京师范大学昌平附属学校高二期末)已知空间向量£=(-3,2,5),弓=(l,x,-l),
且£与各垂直,则x等于()
A.4B.1
C.3D.2
2.(2021•北京•牛栏山一中高二期中)已知直线/经过点(2J,且与直线2x-y+l=0垂
直,则直线/的一般式方程为()
A.x+2y-4=0B.x+2y=0C.2x-y-3=OD.2x-y=O
3.(2021•北京八十中高二期中)已知/力〃wO,贝!|方程/nF+"y?=i与3+=。在同
一坐标系内的图形可能是()
试卷第2页,共37页
22
4.(2021•北京市昌平区第二中学高二期中)“2<帆<8”是“方程」一+工=1表示椭
8-771m-2
圆”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分条件又不必要条件
5.(2020•北京•清华附中高二期末)已知抛物线C:y?=2x的焦点为尸,是C上
一点,|4尸|=;%,则/=()
A.1B.2C.4D.8
6.(2021•北京市第三十五中学高二期中)下列命题中,正确的是()
A.3+4i的虚部是4iB.3+4i的共轨复数是—3+4i
C.(3+4i)i=T+3iD.|3+4i|=>/5
22
7.(2021•北京八十中高二期中)椭圆二+与=1(«>6>0)上存在一点尸满足,尸产,
bz
工分别为椭圆的左右焦点,则椭圆的离心率的范围是()
A.畤B.(0,与C.曰)D.停,1)
8.(2020•北京市第一零九中学高二期中)在直三棱柱A8C-A8C中,若BCJ.AC,
7T
=AC=4,AA=4,M为AA的中点,尸为5M的中点,。在线段CA上,
A。=3QC.则异面直线PQ与AC所成角的余弦值为()
A.叵B.亚C.亚D.姮
13131313
9.(2018•北京海淀•高二期中(理〉)已知圆6:食-刀+(y-3)2=1,圆
G:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆G,G上的动点,尸为x轴上的动点,则以
|尸M|+|PN|的最小值为()
A.50-4B.VF7-1C.6-20D.历
试卷第4页,共37页
10.(2021•北京•中关村中学高二期中)如图所示,正方体A8CO-A8CQ,中,点E是
棱CC,上的一个动点,平面8ER交棱AA于点尸,则下列命题中假命题是()
A.存在点E,使得A&//平面SERF
B.存在点E,使得平面BEQF
C.对于任意的点E,平面平面8ERF
D.对于任意的点E,四棱锥片-BER尸的体积均不变
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
11.(2021•北京•牛栏山一中高二期中)如图,正方体ABC。-A百GR中,棱长为2.
(1)斫猬二
(2)若点E在对角线08上,贝!1通•宿=.
22
12.(2021•北京•牛栏山一中高二期中)椭圆C:力r+左v=1(。>人>0)左、右焦点分别
为Z(-c,0),6(c,0),点尸是椭圆C上点,轴,且NP//=45。,则椭圆C的
离心率为.
13.(2021•北京市昌平区第二中学高二期中)直线〃氏-丁+2机-1=0经过一定点C,则
点C的坐标为,以点C为圆心且与)’轴相切的圆的方程为.
14.(2021•北京•北大附中高二期中)已知二面角a-—乃为锐角,平面a的法向量为
rtj=(>/3,0,-1),平面夕的法向量为%=,则COS〈〃1,«2〉=,二面
\乙)
角a-/一6的大小为.
15.(2021•北京市昌平区第二中学高二期中)在平面直角坐标系中,定义
以5,7)=|七-%|+|必-必1为两点50,凹),7(々,8)之间的“折线距离'',有下列命题,
其中为真命题的是.(填序号)
①若40,0)1(1,1),则或48)=2;
②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1;
试卷第6页,共37页
③原点0与直线X-),+3=0上任意一点M之间的折线距离d(O,M)的最小值为3;
④原点。与圆(x-2)、(y_4)2=l上任意一点M之间的折线距离d(O,M)的最大值为
6+72.
三、解答题(共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16.(2021•北京•人大附中高二期中)已知复数z=(M+m-6)+(病+机-2)i(〃?eR)在
复平面内所对应的点为A
(1)若复数z+4,〃为纯虚数,求实数,”的值;
(2)若点A在第二象限,求实数,”的取值范围
试卷第8页,共37页
17.(2021•北京八中高二期末)已知IBC中,4(1,一1),8(—1,3),/4=90。,。在不轴上,
点P是BC边上一动点,点A关于P的对称点为。.
(1)求8c边所在直线的方程;
(2)当尸与3,C不重合时,求四边形A8OC的面积;
(3)直接写出而.6的取值范围.
18.(2020•北京市陈经纶中学高二期中)如图,在四棱锥C-A3E尸中,平面43后尸_1_平
面ABC,△ABC是边长为2的等边三角形,AB//EF,N48E=90°,BE=EF=1,点M
为3c的中点.
(1)求证:EM〃平面4Cf;
(2)求证:AM1.CE;
(3)求二面角E-8C乎的余弦值.
试卷第10页,共37页
19.(2020•北京西城•高二期末)已知抛物线C:V=2px(p>0),抛物线C上横坐标为
1的点到焦点F的距离为3.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)过(-1,0)的直线/交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=T于点E,直线
3尸交直线x=-1于点是否存在这样的直线/,使得。E//AE?若不存在,请说明理
由;若存在,求出直线/的方程.
20.(2021•北京四中高二期中)已知在四棱锥P-438中,底面A68是边长为4的
正方形,△%£>是正三角形,8,平面PAD,鼠尸,6。分别是「(?,/3£),30。的中
点.
(1)求证:PO_L平面A8C。;
(2)线段/X上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为2?若存在,求线
6
段PM的长度;若不存在,说明理由.
试卷第12页,共37页
21.(2021•北京•清华附中高二期末)已知椭圆/+£=l(a>6>0)短轴的两个端点与
椭圆的右焦点构成面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的离心率及其标准方程;
(2)过点S(O,-g)的直线交椭圆于尸,Q两点,线段PQ的中点为",问在y轴上是
否存定点,使得黑=g?若存在,求出。的坐标;若不存在,请说明理由.
2021-2022北京高二上学期期末一解析
第一部分(选择题共40分)
一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项)
1.(2021•北京师范大学昌平附属学校高二期末)已知空间向量£=(-3,2,5),丐=(l,x,-l),
且“与B垂直,贝!M等于()
A.4B.1
C.3D.2
【答案】A
【分析】
根据空间向量垂直的坐标表示可求得实数x的值.
【详解】
由题意可得7B=_3+2X_5=2X-8=0,解得X=4.
故选:A.
2.(2021•北京•牛栏山一中高二期中)已知直线/经过点(2,1),且与直线2x-y+l=0垂
直,则直线/的一般式方程为()
A.x+2y-4=0B.x+2y=0C.2x-j-3=OD.2x-y=O
【答案】A
【分析】
根据条件求出直线/的斜率,然后可得答案.
【详解】
因为直线2x-y+l=。的斜率为2
试卷第14页,共37页
所以直线/的斜率为所以直线/的方程为y-l=-g(x-2),即x+2y-4=0
故选:A
3.(2021•北京八十中高二期中)已知,〃〃片0,贝!|方程,加+=1与〃ix+"y2=o在同
一坐标系内的图形可能是()
【答案】A
【分析】
利用特殊值法验证即可得到答案.
【详解】
解:由题意,当机=1,〃=2时,方程皿?+〃y2=l表示焦点在x轴上的椭圆/+2产=1,
方程如+"=()表示开口向左的抛物线丁:一白,故排除选项c、D;
当机=T,〃=1时、方程加/+〃丫2=]表示焦点在y轴上的双曲线y2-f=],方程
mr+〃y2=0表示开口向右的抛物线y2=x,故排除选项B,而选项A符合题意,
故选:A.
fv2
4.(2021•北京市昌平区第二中学高二期中)"2<〃z<8”是“方程「一+二一=1表示椭
8—m-2
圆”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分条件又不必要条件
【答案】B
【分析】
利用充分条件和必要条件结合椭圆方程判断即可
【详解】
当机=5时,方程工+二=1表示圆,
33
8-/W>0
fv2
当方程^+二一=1表示椭圆,则阳-2>0,解得2<机<8且机W5,
加Q=C
8—m-28一mw一2
-)2
所以"2<m<8”是“方程工+工=1表示椭圆”的必要不充分条件,
8-mm—2
故选:B
5.(2020•北京•清华附中高二期末)已知抛物线C:V=2x的焦点为£A(x0,%)是C上
一点,|AF|=|x。,贝!|%=()
A.1B.2C.4D.8
【答案】B
【分析】
利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出.
【详解】
由抛物线C:V=2x可得p=l^=g,
准线方程x=-;,
试卷第16页,共37页
・・・4(%,%)是C上一点,AF=^x()fx0>0.
5p1
•---Vo=^+—=A^+-,
解得々=2.
故选:B.
6.(2021•北京市第三十五中学高二期中)下列命题中,正确的是()
A.3+4i的虚部是4iB.3+4i的共轨复数是—3+4i
C.(3+4i)i=—4+3iD.13+4i|=>[5
【答案】C
【分析】
根据复数的概念,共辗复数的概念,复数的模及复数的运算法则,逐项判定,即可求解.
【详解】
对于A中,复数3+4i的虚部是4,所以A不正确;
对于B中,复数3+4i的共辗复数是3-4i,所以B不正确;
对于C中,根据复数的运算法则,可得(3+4i)i=-4+3i,所以C正确;
对于D中,根据复数模的计算公式,可得|3+4i|=斤两=5,所以D不正确.
故选:C.
22
7.(2021•北京八十中高二期中)椭圆[+与=\{a>b>0)上存在一点P满足片尸,F2P,
ah-
耳,鸟分别为椭圆的左右焦点,则椭圆的离心率的范围是()
A.(0,1]B.(0,卓C.小)口•浮」)
【答案】D
【分析】
22
当点户位于短轴的端点时,N耳P片最大,要使椭圆=+斗=1(〃>/>>0)上存在一点2
a-b~
IT
满足写只要N£P6最大时大于等于]即可,从而可得出答案.
【详解】
解:当点尸位于短轴的端点时,NRPF2最大,
要使椭圆5+4=1(。>6>0)上存在一点P满足耳尸,鸟P,
矿b
只要尸鸟最大时大于等于]即可,
即当点P位于短轴的端点时,ZOPFt>^,
所以sinAOPF.=—>sin—=—,
1a42
又椭圆的离心率0<e<l,
所以椭圆的离心率的范围是[#,l]
故选:D.
试卷第18页,共37页
8.(2020•北京市第一零九中学高二期中)在直三棱柱ABC-A8C中,若8CLAC,
rr
乙4=彳,AC=4,M=4,M为AA的中点,尸为的中点,。在线段CR上,
\Q=3QC.则异面直线PQ与AC所成角的余弦值为()
A叵Bc2国口叵
'B,13'13'7T
【答案】D
【分
建立空间直角坐标系,利用空间向量计算异面直线所成的角即可.
【详解】
解:以点C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系C-孙z,
则C(O,O,O),A(4,0,0),B(0,4G,0),
A7(4,0,2),P(2,2V3,1),A,(4,0,4),0(1,0,1),
从而闻=(T,-2®,0),AC=(-4,0,0),
设异面直线P。与AC所成角为。,由题意可得:
而国4.岳
网x|狗一J1+12X4—1T
故选:D.
9.(2018•北京海淀•高二期中(理))已知圆G:(x-2)2+()-3『=1,圆
22
C2:(x-3)+(y-4)=9,M,N分别是圆G,C2上的动点,尸为x轴上的动点,则以
|PM+|PN|的最小值为()
A.5夜-4B.V17-1C.6-2夜D.拒
【答案】A
【分析】
求出圆C1关于X轴的对称圆的圆心坐标A,以及半径,然后求解圆A与圆C?的圆心距
减去两个圆的半径和,即可求出IPM1+19|的最小值.
【详解】
圆C关于x轴的对称圆的圆心坐标4(2,-3),半径为I,圆C2的圆心坐标为(3,4),半径
为3,
易知,当P,M,N三点共线时,1PMi+|/W|取得最小值,
IPM|+|PN|的最小值为圆A与圆G的圆心距减去两个圆的半径和,
即:|AC,|-3-1=^(3-2)2+(-3-4)2-4=5^-4.
故选:A.
10.(2021•北京•中关村中学高二期中)如图所示,正方体ABCO-AgG。中,点E是
棱CG上的一个动点,平面BE。交棱A4于点尸,则下列命题中假命题是()
试卷第20页,共37页
A.存在点E,使得AG〃平面BE。尸
B.存在点E,使得用。//平面BE。尸
C.对于任意的点E,平面AG。,平面SERF
D.对于任意的点E,四棱锥4尸的体积均不变
【答案】B
【分析】
当E为cc,的中点时,则尸也为4A的中点,可证4G〃平面8。尸,判断A是真命题;
由片。与8。相交,判断B是假命题;根据对于任意的点E,都有BD,_L平面46。,判
断C是真命题;根据丫4-8£纳=%-明“+匕-明场,而两个三棱锥的体积为定值,判断D
是真命题.
【详解】
当E为CG的中点时,则F也为AA的中点,・•・万尸〃AG,平面8EQF;故A
为真命题;
因为BAu平面BERF,由正方体性质知与相交于一点,所以片3〃平面
BCG耳不正确,故B为假命题
•.•8。,平面&;。,平面BERF,.•.平面AG»_L平面SERF,故C是真命题;
・••%「财产”-阳2+%即2,••・3//A4J/平面出柩,所以尸,E到面阴2的距离为
定值,,四棱锥g-BER尸的体积为定值,故D是真命题
故选:B
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
11.(2021•北京•牛栏山一中高二期中)如图,正方体ABCD-AAG。中,棱长为2.
(1)AD.AC[=;
(2)若点E在对角线08上,贝!|荏•祠'=.
【答案】84
【分析】
以。为原点建立空间直角坐标系,然后利用向量计算即可.
【详解】
试卷第22页,共37页
以O为原点如图建立空间直角坐标系,则4(2,0,0),A(0,0,2),C(0,2,2)
所以题=(—2,0,2),狗=(—2,2,2),所以西•猬=4+4=8
因为点E在对角线OB上,所以设E(a,a,0),所以ZE=(〃-2,a,0)
所以荏・宿=-2«+4+2a=4
故答案为:8;4
22
12.(2021•北京•牛栏山一中高二期中)椭圆C:会+方=l(a>b>0)左、右焦点分别
为耳(-c,0),5(c,0),点尸是椭圆C上点,轴,且NPE4=45。,则椭圆C的
离心率为.
【答案】夜-1或-1+0
【分析】
设仍用=加,根据直角三角形为等腰直角三角形,得出归身、忸用,根据椭圆的定义
以及离心率公式求解即可.
【详解】
在放A/鸟6中,设归用=加,
因为NP历耳=45°,所以|尸段=向,闺闻=加.
故《=空=1盟尸」^=&-1.
2“|P£|+|P6|m+42m
故答案为:V2-I
13.(2021•北京市昌平区第二中学高二期中)直线/nr-y+2.-l=0经过一定点C,则
点C的坐标为,以点C为圆心且与>'轴相切的圆的方程为.
【答案】(-2,-1)(x+2)2+(y+l)2=4
【分析】
①化简直线方程确定直线所过定点即可;
②根据点C的坐标得圆心的坐标,根据圆与y轴相切得半径的长,从而确定圆的方程.
【详解】
直线方程变形为:机(x+2)—(y+l)=0
所以直线过的定点为C(-2,-l).
即圆心坐标为C(-2,-1),所以圆心到),轴的距离为2
圆与y轴相切时,圆的半径为2
所以圆的方程为(犬+2『+("1)2=4.
故答案为:①(-2,—1);②(x+2)2+(y+l『=4.
14.(2021•北京•北大附中高二期中)已知二面角为锐角,平面。的法向量为
"1=(6,(),一1),平面夕的法向量为〃2=--,贝!|8$<4,%)=,二面
V227
角a一/一夕的大小为.
试卷第24页,共37页
【答案】-立9。
24
【分析】
利用空间向量夹角公式求解两个法向量的余弦值,结合二面角-尸为锐角,得到二
面角a-"/?的大小.
【详解】
—_2_1厂
cos〈晨I〉==------------\1=2厂2=一_2.
MMI国$+1+:2&2
设二面角大小为a(0<a<7t).因为二面角a-l-£为锐角,故cosa=-cos(吗,“〉=~~
解得:a=M
4
故二面角a-/-£的大小为g
故答案为:--
24
15.(2021•北京市昌平区第二中学高二期中)在平面直角坐标系中,定义
d(S,T)=|々一西1+1%-为两点5®,%),732,%)之间的“折线距离”,有下列命题,
其中为真命题的是.(填序号)
①若A(0,0),8(1,1),则若AB)=2;
②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1;
③原点。与直线x-),+3=0上任意一点M之间的折线距离”(OM)的最小值为3;
④原点。与圆(X-2)2+(N-4)、]上任意一点M之间的折线距离”(。,河)的最大值为
6+夜.
【答案】①③④
【分析】
根据定义直接计算①,设点P(x,y)到原点的“折线距离”不大于1,即可得到W+|y|41,
画出图象,求出面积即可判断②,设朋(x,x+3)即可表示再根据分段函数的性
质计算可得③,依题意设M(x,y),则4(0,")=x+y,再利用点到直线的距离求出x+y
的范围,即可判断④;
【详解】
解:对于①若A(O,O),8(I,I)则d(A3)=|i-q+|i-q=2,故①正确;
对于②,设点P(x,y)到原点的“折线距离”不大于1,则|x-0|+|y-0归1,即凶+例41,
则P点在下图所示的平面区域内,则所围成的区域的面积为2xgx2xl=2,故②错误;
2x+3,x之0
对于③,设M(x,x+3),则d(0,M)=W+k+3|=,3,-3<x<0,函数图象如下所示:
—2x—3,x«-3
则d(O,M)mM=3,故③正确;
试卷第26页,共37页
对于④,因为圆(x-2),+(>-4)2=1表示以(2,4)为圆心,1为半径的圆,
设则d(QyW)=|x|+|y|=x+y,令x+y=z,则x+y—z=()
所以包tWwi,解得6-亚4Z46+6,即d(。,=6+0,故④正确;
72
故答案为:①③④
三、解答题(共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16.(2021•北京•人大附中高二期中)已知复数z=(%2+,〃-6)+(加+相-2)i(meR)在
复平面内所对应的点为A
(D若复数2+4〃?为纯虚数,求实数机的值;
(2)若点A在第二象限,求实数,”的取值范围
【答案】
(1)-6
(2)(-3,-2)51,2)
【分析】
(1)先求得z+4m,根据其为纯虚数,可得]'〃2+5〃二61°,即可求得〃1值.
2片0
2/■r\
(2)先求得点A在复平面内坐标,根据其在第二象限,可得'”「"一〈J,即可求得
[/n2+/W-2>0
m的范围.
(1)
由题意得z+4m=(疗+5/n-6)+(62+=-2)i,
因为Z+4"?为纯虚数,
加一+5"?—6=0
所以解得m=-6.
加2+a—2w0
(2)
复数Z在平面内所对应的点为A(,〃2+机-6,加+机-2),
因为点A在第二象限,
,[nr+m-6<0,一
所以《2八,解t得一3<加<一2或1<m<2,
[m+2>0
所以实数机的取值范围为(-3,-2)U(1,2)
17.(2021•北京八中高二期末)已知中,A。,-l),B(-l,3),/A=90°,。在工轴上,
试卷第28页,共37页
点P是BC边上一动点,点A关于户的对称点为£).
(1)求8c边所在直线的方程;
(2)当P与3,C不重合时,求四边形AMC的面积;
(3)直接写出瓦•前的取值范围.
【答案】(1)3x+4y—9=0;(2)10;(3)[-5,45].
【分析】
(1)设出C点坐标,根据福•配=0求解出C点坐标,根据直线的点斜式方程可求BC
边所在直线的方程;
(2)根据对称关系分析得到具ABC=S.BDC,由此可求四边形ABDC的面积;
(3)设出尸点坐标,表示出。点坐标,根据坐标形式下向量的数量积运算求解出CBCD
的取值范围.
【详解】
(1)设C(m,o),因为乙4=90」,所以A反配=0,
又丽=(-2,4),恁=(切-1,1),所以通.蔗=2-2切+4=0,
所以加=3,所以C(3,0),所以%=三\=一(,
所以BC边所在直线的方程为:y=J(x-3),即3x+4y-9=0;
(2)因为点A关于P的对称点为。,且P在上,
所以A到BC所在直线的距离等于。到BC所在直线的距离,
又因为有公共底边8C,所以四边形=2S”,
又因为A到BC所在直线的距离为=2,BC=^(3-(-l))2+(O-3)2=5,
所以S四边物的,c=2S«ABC=2x-y-=10;
(3)丽.而的取值范围是[-5,45].
(理由供参考:设尸卜,号
因为A关于尸的对称点为。,所以£>(2〃?-1,〃产
所以而=(-4,3),而=(2,"-4,^^号,
所以丽•丽=16-8〃?+@二%=奂一到,
222
又因为-1W/MW3,所以(母-^^)€[-5,45],
所以而Ee[-5,45]
18.(2020•北京市陈经纶中学高二期中)如图,在四棱锥C-ABEF1中,平面ABE尸_1_平
®ABC,△A3C是边长为2的等边三角形,ABHEF,NABE=90。,BE=EF=1,点M
为8c的中点.
(1)求证:EM〃平面ACf;
(2)求证:AMLCE,
(3)求二面角E-BC-F的余弦值.
【答案】
(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)毡
7
试卷第30页,共37页
【分析】
(1)先证明。ME尸为平行四边形,证明EM〃尸£>,再证明出结论;
(2)以OC,OB,0E所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,得到点坐标,再
证明丽■•屈=0即可;
(3)求出说是平面BCE的法向量,再求出平面BCF的法向量,利用夹角公式求出
即可.
(1)
取AC中点£>,连结DW,DF,在三角形ABC中,OW〃AB且,
2
又因为AB=2EF=1,所以
2
又因为E尸〃A8,所以。ME尸为平行四边形,所以EM〃尸。,
又因为EMC平面ACF,。尸u平面ACF,所以〃平面ACF;
(2)
取AB中点O,连结OC,OF,因为三角形ABC是等边三角形,所以48=2,COA.AB,
因为四边形ABEF1满足A8〃EF,ZABE=90°,EF=BF=l,
所以尸8=£4=夜,FOA.AB,又因为平面ABEFJ_平面ABC,所以0尸,平面48(7,
以OC,OB,OF所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,-l,0),M亭,;,°,C(>/3,0,0),E(0,l,l),AM=f^,1,0,CE=(-x/3,l,D
所以丽八在=一±+士=0,所以AMJ_CE;
22
(3)
由(2)知,AMLCE,由已知可得AM_LBC,所以4M_L平面BCE,
所以祝是平面8CE的法向量,又肥=(6,-1,0),而=(0,-1,1),
设平面BCF的法向量为妨=(x,y,z),则卜真=:,即[瓜一):°,
令x=l,得比=(1,G,6),
由e-、T-1+r^2不,
cos〈AM,m)=2=亍
又因为二面角E-BC-F为锐二面角,所以二面角E-BC-尸的余弦值为毡.
7
19.(2020•北京西城•高二期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为
1的点到焦点F的距离为3.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)过(-1,0)的直线/交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=-4于点E,直线
8尸交直线x=-1于点O,是否存在这样的直线/,使得。E//A/?若不存在,请说明理
由;若存在,求出直线/的方程.
【答案】(1)抛物线C的方程为y?=8x,准线方程为x=-2;(2)存在直线丫=半。+1)
或y=_^^(x+l).
【分析】
(1)根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.
试卷第32页,共37页
(2)设出直线/的方程y=Z(x+l)(左xO),联立直线的方程和抛物线的方程,消去),后
根据判别式大于零求得人的取值范围,写出韦达定理.结合OE//4尸得到直线“E与直线
4尸的斜率相等,由此列方程,解方程求得k的值,也即求得直线/的方程.
【详解】
(1)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以1+^=3,解得夕=4,所以y?=8x,
即准线方程为x=-2.
(2)显然直线/的斜率存在,设直线/的方程为尸内x+1)(心0),4%,»),8(々,力).
联立式―),消去,得—瓯+心。.
由4=(2«2-8)2-4%4>0,解得-0<后<起.所以-夜<人<&且ZwO.
由韦达定理得X1+*2=83,中2=1.
直线BF的方程为y=一1(X-2),
X1一乙
又修=-1,所以%=言,所以"T,言),
X?一乙勺一Z
因为。E〃AF,所以直线与直线A尸的斜率相等
一31+3%—
又上《一3公,所以“2=_2J_
-3~x,-2
工即4=-+1)+-々+1)
整理得左二
Xj-2々一2,%)—2%2—2
x+11—2X|X-(X]+Xj)-4
化简得"”+2-1="2,即x+x=7.
x2-2'为々-2(X]+x>)+4]2
所以三£=7,整理得%2=:,
k-9
解得A=±述.经检验,4=±逑符合题意.
33
所以存在这样的直线/,直线/的方程为y=^(x+l)或>=-¥*+1).
20.(2021•北京四中高二期中)已知在四棱锥P-438中,底面A68是边长为4的
正方形,△%£>是正三角形,8,平面PAD,鼠尸,6。分别是「(?,/3£),30。的中
点.
(1)求证:PO_L平面A8C。;
(2)线段/X上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为2?若存在,求线
6
段PM的长度;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)不存在;理由见解析.
【分析】
(1)利用线面垂直性质和等腰三角形三线合一可得CDLPO,POLAD,由线面垂直
的判定定理可证得结论;
(2)以。为坐标原点可建立空间直角坐标系,设PM=tPA(0</<1),利用f表示出GM,
利用线面角的向量求法可构造方程,由方程无解可知不存在.
(1)
QVE4D为正三角形,。为中点,..POLAO;
•••CDJ-平面P49,尸Ou平面PAD,.•.8_LPO;
•.•CQAOu平面ABC。,C£>nAT>=O,.•.POL平面ABC£>;
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