中考初中数学复习考点精讲第36讲图形的旋转

第36讲图形的旋转

【考题导向】

这部分内容重点考查图形的旋转变换的性质，与图形变换相关的计算和逻辑推

理证明等.常与三角形和四边形结合，在网格背景设置试题，题型丰富，多为

选择题、填空题、解答题.

涉及的主要内容有：1.理解旋转的概念，并掌握其性质.2.能按旋转变换的

要求作出简单的图形.3.运用图形的旋转变换进行图案设计.

【考点精练】

考点1：中心对称图形的判断

【典例】（2018广西南宁）（3.00分）下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（）

【同步练】（2018哈尔滨）（3.00分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3B

考点2：图形旋转的性质应用

【典例】（2018海南）（3.00分）如图，在Z\ABC中,AB=8,AC=6,ZBAC=30°,将AABC

绕点A逆时针旋转60°得到△ABC,连接BG,则BC的长为（）

【同步练】（2018•宁波）如图，在aABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点（点D

与A,B不重合），连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE

交BC于点F,连接BE.

（1）求证：AACD^ABCE；

（2）当AD=BF时，求/BEF的度数.

DB

考点3：有关旋转变换的作图

【典例】（2018吉林）（7.00分）如图是由边长为1的小正方形组成的8X4网格，每个小正

方形的顶点叫做格点，点A,B,C,D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：

第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D,；

第二步：点。绕点B顺时针旋转90°得到点灯；

第三步：点D,绕点C顺时针旋转90°回到点D.

（1）请用圆规画出点D-Di-Dz-D经过的路径；

（2）所画图形是对称图形；

（3）求所画图形的周长（结果保留"）.

【同步练】（2018黑龙江龙东）（6.00分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是

一个单位长度，在平面直角坐标系内，^ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4),B(1,1),

C(3,1).

(1)画出△ABC关于x轴对称的△ABC；

(2)画出△ABC绕点0逆时针旋转90°后的△A2B2C2；

(3)在(2)的条件下，求线段BC扫过的面积(结果保留“).

考点4：旋转变换在几何题中的应用

【典例】(2017江苏徐州)如图，已知AC_LBC,垂足为C,AC=4,BC=3J5,将线段AC绕点

A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.

(1)线段DC=；

(2)求线段DB的长度.

【同步练】(2017湖南株洲)

如图示，若aABC内一点P满足NPAC=NPBA=NPCB,则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的

布洛卡点(Brocardpoint)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle1780-1855)

于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学

爱好者法国军官布洛卡(Brocard1845-1922)重新发现，并用他的名字命名.问题：己

知在等腰直角三角形DEF中，ZEDF=90°,若点Q为ADEF的布洛卡点，DQ=1,则EQ+FQ=

A.5B.4C.3+&D.2+V2

考点5：旋转变换在函数题中的应用

【典例】(2018云南昆明)(3.00分)如图，点A的坐标为(4,2).将点A绕坐标原点0

旋转90。后，再向左平移1个单位长度得到点A',则过点A，的正比例函数的解析式

为.

kl

【同步练】在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=《的图象经过点A(l,5

（1）试确定此反比例函数的解析式；

（2）点0是坐标原点，将线段0A绕0点顺时针旋转30°得到线段0B,判断点B是否在此反

比例函数的图象上，并说明理由.

【真题演练】

1.（2018黑龙江龙东）（3.00分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

兴9Q0

2.（2017山东泰安）如图，在正方形网格中，线段A'B'是线段AB绕某点逆时针旋转角

a得到的，点A'与A对应，则角a的大小为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

3.（2017甘肃天水）下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（）

①函数y=x；②函数y=x，③函数y=L.

x

A.①②B.②③C.①③D.都不是

4.（2017山东聊城）如图，将AABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点二处，此

时，点A的对应点A'恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）

B'

BcA

A.ZBCB*=/ACA'B.ZACB=2ZB

C.NB'CA=/B'ACD.B'C平分/BB'A'

5.（2017广西）如图，在RtaABC中，ZACB=90°,将aABC绕顶点C逆时针旋转得到4

A'B'C,M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM.若BC=2,/BAC=30°,则线段PM的最

大值是（）

6.(2018•南充)如图，矩形ABCD中,AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D',

使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E,在B'C'上取点F,使B'F=AB.

(1)求证:AE=C'E.

(2)求NFBB'的度数.

(3)已知AB=2,求BF的长.

7.(2018•温州)如图，P,Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四

边形.

(1)在图1中画出一个面积最小的口PAQB.

(2)在图2中画出一个四边形PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对

角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.注：图1,图2在答题纸上.

8.(2018广西南宁)(8.00分)如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点坐标分

别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).

(1)将aABC向下平移5个单位后得到△ABC,请画出△ARG；

(2)将AABC绕原点0逆时针旋转90°后得到△ABC?,请画出△A2B2C2；

(3)判断以0,M,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)

9.(2018•临沂)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0°Va<360°),得到矩形AEFG.

(1)如图，当点E在BD上时.求证：FD=CD；

(2)当a为何值时，GC=GB?画出图形，并说明理由.

10.（2018•岳阳）已知在RtZXABC中，ZBAC=90°,CD为NACB的平分线，将/ACB沿CD

所在的直线对折，使点B落在点B'处，连结AB',BB',延长CD交BB'于点E,设NABC=2a

（0°<a<45°）.

（1）如图1,若AB=AC,求证:CD=2BE；

（2）如图2,若ABWAC,试求CD与BE的数量关系（用含a的式子表示）；

（3）如图3,将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（a+45°）,得到线段FC,连结

S.

EF交BC于点0,设aCOE的面积为S”ZXCOF的面积为Sz,求廿（用含a的式子表示）.

S2

【拓展研究】

（2018•自贡）如图，已知NA0B=60°,在NA0B的平分线0M上有一点C,将一个120°角

的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线0A、OB相交于点D、E.

（1）当/DCE绕点C旋转到CD与0A垂直时（如图1）,请猜想0E+0D与0C的数量关系，

并说明理由；

（2）当NDCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？

并说明理由；

（3）当NDCE绕点C旋转到CD与0A的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3

中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段0D、0E与0C之间又有怎样的数量关系？

第36讲图形的旋转

【考题导向】

这部分内容重点考查图形的旋转变换的性质，与图形变换相关的计算和逻辑推

理证明等.常与三角形和四边形结合，在网格背景设置试题，题型丰富，多为

选择题、填空题、解答题.

涉及的主要内容有：1.理解旋转的概念，并掌握其性质.2.能按旋转变换的

要求作出简单的图形.3.运用图形的旋转变换进行图案设计.

【考点精练】

考点1：中心对称图形的判断

【典例】（2018广西南宁）（3.00分）下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（）

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，

那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案.

【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

I）、不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：A.

【同步练】（2018哈尔滨）（3.00分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结

论.

【解答】解：A、此图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，此选项不符合题意；

B,此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不符合题意；

C、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意：

I）、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；

故选：C.

【点评】L判断一个图形是否是中心对称图形，关键是要寻找对称中心，观察它旋转180

度后能否与原图形重合.2.注意中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心一

点；图形绕对称中心旋转180。，旋转后与另一个图形重合.轴对称有一条对称轴一一直线：

图形沿直线翻折180。，翻折后与另一个图形重合.

考点2：图形旋转的性质应用

【典例】（2018海南）（3.00分）如图，在4ABC中，AB=8,AC=6,ZBAC=30°,将AABC

绕点A逆时针旋转60°得到△ABC,连接BC,则BG的长为（）

【分析】根据旋转的性质得出AC=AG,ZBAC,=90°,进而利用勾股定理解答即可.

【解答】解：；将AABC绕点A逆时针旋转60°得到△ABC,

.,.AC=AC,,ZCACi=90",

VAB=8,AC=6,ZBAC=30°,

ZBAC,=90°,AB=8,ACi=6,

二在RtzXBAG中，BG的长=62+62=10,

故选：C.

【同步练】（2018•宁波）如图，在aABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点（点D

与A,B不重合），连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE

交BC于点F,连接BE.

（1）求证：ZXACD^4BCE；

（2）当AD=BF时，求/BEF的度数.

【分析】(1)由题意可知：CD=CE,ZDCE=90°,由于NACB=90°,所以/ACD=/ACB-/

DCB,ZBCE=ZDCE-ZDCB,所以/ACD=/BCE,从而可证明AACD丝4BCE(SAS)

(2)由△ACDgZXBCE(SAS)可知I：ZA=ZCBE=45°,BE=BF,从而可求出NBEF的度数.

【解答】解：(1)由题意可知：CD=CE,NDCE=90°,

VZACB=90°,

ZACD=ZACB-ZDCB,

ZBCE=ZDCE-ZDCB,

•,.ZACD=ZBCE,

在4ACD与aBCE中，

rAC=BC

,ZACD=ZBCE

CD=CE

.•,△ACD^ABCE(SAS)

(2)VZACB=90°,AC=BC,

.*.ZA=45",

由⑴可知:ZA=ZCBE=45°,

VAD=BF,

，BE=BF,

ZBEF=67.5°

【点评】图形在旋转过程中，图中的每一个点与旋转中心的连线都绕着旋转中心转动了相同

的角度，对应线段相等，对应角相等.在利用此性质解决问题时，应充分寻找对应线段、对

应角.

考点3：有关旋转变换的作图

【典例】(2018吉林)(7.00分)如图是由边长为1的小正方形组成的8X4网格，每个小正

方形的顶点叫做格点，点A,B,C,D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：

第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D,；

第二步：点立绕点B顺时针旋转90°得到点Dz；

第三步：点Dz绕点C顺时针旋转90°回到点D.

(1)请用圆规画出点DfD?fD经过的路径；

(2)所画图形是对称图形；

(3)求所画图形的周长(结果保留3T).

【分析】(I)利用旋转变换的性质画出图象即可；

(2)根据轴对称图形的定义即可判断；

(3)利用弧长公式计算即可；

【解答】解：(1)点D-Di-Dz-D经过的路径如图所示:

D\AD

.-i-♦-i-「二一寸

iii'uiiixii/

n-r*C'Tr-i--i**Tr4

i1i।k।A।i*1

r\n-r六一"

IKII/IIzl1

r-r^rTY丁一丁一「二

>♦，心_」_；

BD2

(2)观察图象可知图象是轴对称图形，

故答案为轴对称.

(3)周长=4X9。""=8n.

180

【同步练】(2018黑龙江龙东)(6.00分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是

一个单位长度，在平面直角坐标系内，^ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4),B(1,1),

C(3,1).

(1)画出aABC关于x轴对称的△ABC；

(2)画出AABC绕点0逆时针旋转90°后的AAB2c”

(3)在(2)的条件下，求线段BC扫过的面积(结果保留兀).

【分析】(1)利用轴对称的性质画出图形即可;

(2)利用旋转变换的性质画出图形即可；

⑶BC扫过的面积;s扇形。“JS扇形。画,由此计算即可;

【解答】解：(1)ZXABC关于x轴对称的△ABC如图所示；

(2)AABC绕点0逆时针旋转90°后的△A-BQ如图所示；

=90•冗・(亚)2_90•兀・(&)2=2,

(3)BC扫过的面积=S扇形SC2§扇形OBB?360360

【点评】旋转变换作图的关键是利用旋转角相等、旋转半径相等作出关键点的位置.

考点4：旋转变换在几何题中的应用

【典例】(2017江苏徐州)如图，已知AC_LBC,垂足为C,AC=4,BC=3j§,将线段AC绕点

A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.

(1)线段DC=；

(2)求线段DB的长度.

【分析】(1)证明4ACD是等边三角形，据此求解；

(2)作DEXBC于点E,首先在RtACDE中利用三角函数求得DE和CE的长，然后在RtABDE

中利用勾股定理求解.

【解答】解：(1)VAC=AD,ZCAD=60°,

.•.△ACD是等边三角形，

；.DC=AC=4.

故答案是：4；

(2)作DEJ_BC于点E.

VAACD是等边三角形，

AZACD=60°,

又・・・AC_LBC,

AZDCE=ZACB-ZACD=90°-60°=30°,

...RtZXCDE中，DE=^DC=2,

2

CE=DC«cos300=4X辱2«,

2

BE=BC-CE=3V3-2V3=V3.

22=22=

••.R®DE中，BD=VDE+BEA/2+(V3)VT-

【同步练】(2017湖南株洲)

如图示，若AABC内一点P满足NPAC=NPBA=NPCB,则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的

布洛卡点(Brocardpoint)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle1780-1855)

于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学

爱好者法国军官布洛卡(Brocard1845-1922)重新发现，并用他的名字命名.问题：已

知在等腰直角三角形DEF中，ZEDF=90°,若点Q为4DEF的布洛卡点，DQ=1,则EQ+FQ=

A.5B.4C.3+&D.2+V2

【分析】由△DQFS/\FQE,推出晏=鲤=理=},由此求出EQ、FQ即可解决问题.

FQQEEFV2

【解答】解：如图，在等腰直角三角形aDEF中，ZEDF=90°,DE=DF,Z1=Z2=Z3,

D

YN1+NQEF=N3+NDFQ=45°,

AZQEF=ZDFQ,VZ2=Z3,

/.△DQF^AFQE,

.DQ_FQ=DF=J^

••而一前一丽一衣’

VDQ=1,

・・・FQ=y，EQ=2,

・・・EQ+FQ=2+0,

故选D

【点评】1.应用旋转解决几何问题时：（1）抓住旋转中的“变”与“不变”；（2）找准旋转前

后的对应点和对应线段、旋转角等；（3）充分利用旋转过程中线段、角之间的关系.2.当旋

转方向没有确定时，需要分类，即分逆时针和顺时针两种情况讨论.

考点5：旋转变换在函数题中的应用

【典例】（2018云南昆明）（3.00分）如图，点A的坐标为（4,2）.将点A绕坐标原点0

旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A',则过点A'的正比例函数的解析式

为______

【分析】直接利用旋转的性质结合平移的性质得出对应点位置，再利用待定系数法求出正比

例函数解析式.

【解答】解:当点A绕坐标原点0逆时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A',

则A'（-3,4）,

设过点A'的正比例函数的解析式为：y=kx,

则4=-3k,

解得：k=-1,

3

则过点A'的正比例函数的解析式为：y=-Ax,

3

同理可得：点A绕坐标原点。顺时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A",此

时OA”与OA'在一条直线上，

故则过点A'的正比例函数的解析式为：y=-9x.

kf—

【同步练】在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=?的图象经过点A(l,小).

(1)试确定此反比例函数的解析式;

(2)点0是坐标原点，将线段OA绕0点顺时针旋转30°得到线段0B,判断点B是否在此反

比例函数的图象上，并说明理由.

解：⑴把A(l,小)代入y=*得k=lX小=低.•.反比例函数的解析式为丫=乎(2)

点B在此反比例函数的图象上.理由如下：过点A作x轴的垂线交x轴于点C,过点B作x

轴的垂线交x轴于点D,在RtaAOC中，0C=l,AC=y/3,0A=^AC2+0C2=2,

AZ0AC=30°，・・・NA0C=60°，

・・,线段OA绕0点顺时针旋转30°得到线段OB,

AZA0B=30o,0B=0A=2,AZB0D=30°,

在Rt^BOD中，BD=1oB=l,OD=/BD=/,

；.B点坐标为（小，1）,..•当x=/时，y=V=L

.♦.点B（，§,1）在反比例函数y黑的图象上

【点评】利用旋转的不变性，求出关键点的坐标，代入函数解析式进行判断.

【真题演练】

1.（2018黑龙江龙东）（3.00分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.品eC.。工D.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误;

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误:

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确;

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误.

故选：C.

2.（2017山东泰安）如图，在正方形网格中，线段A'B'是线段AB绕某点逆时针旋转角

a得到的，点A'与A对应，则角a的大小为（)

【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小.

【解答】解：如图：

显然，旋转角为90°,

故选C.

3.（2017甘肃天水）下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（）

①函数y=x；②函数y=x\③函数y=L.

X

A.①②B.②③C.①③D.都不是

【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点.

【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形.

故选C

4.（2017山东聊城）如图，将AABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B'处，此

时，点A的对应点A'恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）

A.ZBCB/=ZACA/B.ZACB=2ZB

C./B'CA=NB'ACD.B'C平分/BB'A'

【分析】根据旋转的性质得到/BCB'=NACA',故A正确，根据等腰三角形的性质得到/

B=ZBB'C,根据三角形的外角的性质得到的A'CB'=2NB,等量代换得到NACB=2NB,故B

正确；等量代换得到/A'B'C=NBB'C,于是得到B'C平分NBB'A',故D正确.

【解答】解：根据旋转的性质得，/BCB'和/ACA'都是旋转角，则NBCB'=NACA',故A

正确，

•；CB=CB',

又ONA'CB'=NB+NBB'C,

/./A'CB'=2NB,

XVZACB=ZA'CB',

.-.ZACB=2ZB,故B正确;

VZAzB'C=ZB,

.'.NA'B'C=NBB'C,

.♦.B'C平分NBB'A',故D正确;

故选C.

5.（2017广西）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,将AABC绕顶点C逆时针旋转得到4

A'B'C,M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM.若BC=2,ZBAC=30°,则线段PM的最

D.1

【分析】如图连接PC.思想求出PC=2,根据PMWPC+CM,可得PMW3,由此即可解决问题.

【解答】解：如图连接PC.

在R3ABC中,VZA=30°,BC=2,

；.AB=4,

根据旋转不变性可知，A'B'=AB=4,

.*.A'P=PB',

.*.PC=—AzBz=2,

2

VCM=BM=1,

又：PMWPC+CM,即PMW3,

.••PM的最大值为3（此时P、C、M共线）.

故选B.

B'

c\iB

6.(2018•南充)如图，矩形ABCD中,AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D',

使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E,在B'C'上取点F,使B'F=AB.

(1)求证：AE=CZE.

(2)求NFBB'的度数.

(3)已知AB=2,求BF的长.

【分析】(1)在直角三角形ABC中，由AC=2AB,得到/ACB=30°,再由折叠的性质得到一

对角相等，利用等角对等边即可得证；

(2)由(1)得到aABB'为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为60°,即

可求出所求角度数；

(3)由AB=2,得到B'B=B'F=2,NB'BF=15°,过B作BH_LBF,在直角三角形BB'H中，

利用锐角三角函数定义求出BH的长，由BF=2BH即可求出BF的长.

【解答】(1)证明:•.•在RtZXABC中，AO2AB,

.*.ZACB=ZAC,B'=30°,/BAC=60°,

由旋转可得：AB'=AB,ZBZAC=NBAC=60°,

AZEAC,=NAC'B'=30°,

；.AE=C'E；

(2)解：由(1)得到△ABB'为等边三角形，

.'.NAB'B=60°,

,

/.ZFBB=15°s

(3)解：由AB=2,得到B'B=B'F=2,ZB/BF=15°,

过B作BH±BF,

在Rt^BB'H中，cosl50=E-，即BH=2X小乜2-返匕Z2,

BB'42

则BF=2BH=V6+V2.

7.(2018•温州)如图，P,Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四

边形.

(1)在图1中画出一个面积最小的口PAQB.

(2)在图2中画出一个四边形PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对

角线。)由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.注：图1,图2在答题纸上.

【分析】(1)画出面积是4的格点平行四边形即为所求;

(2)画出以PQ为对角线的等腰梯形即为所求.

【解答】解：(1)如图①所示：

(2)如图②所示：

8.(2018广西南宁)(8.00分)如图，在平面直角坐标系中，已知aABC的三个顶点坐标分

别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).

(1)将aABC向下平移5个单位后得到△ABC,请画出△ABG；

(2)将△ABC绕原点0逆时针旋转90°后得到△ABC?,请画出△ABC?；

(3)判断以0,A、,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)

【分析】(1)利用点平移的坐标特征写出Ai、Bi、C的坐标，然后描点即可得到△ABC为

所作；

(2)利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点&、B?、心,从而得到△AJBZCZ,

(3)根据勾股定理逆定理解答即可.

【解答】解：(1)如图所示，△ABG即为所求：

(2)如图所示，△AzBC；即为所求：

(3)三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA尸而7TWT7,A.B=V25+9=V34-

即OB2+OA」=AIB2，

所以三角形的形状为等腰直角三角形.

9.(2018•临沂)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0°<a<360°),得到矩形AEFG.

备用图

(1)如图，当点E在BD上时.求证：FD=CD；

(2)当a为何值时，GC=GB?画出图形，并说明理由.

【分析】(1)先运用SAS判定4AEDgZXFDE,可得DF=AE,再根据AE=AB=CD,即可得出CD=DF；

(2)当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据NDAG=60°,即可得

到旋转角a的度数.

【解答】解：(1)由旋转可得，AE=AB,ZAEF=ZABC=ZDAB=90°,EF=BC=AD,

AZAEB=ZABE,

D

又•.,/ABE+/EDA=90°=/AEB+/DEF,

AZEDA=ZDEF,

又：DE=ED,

...△AEDg△FDE(SAS),

；.DF=AE,

又：AE=AB=CD,

.*.CD=DF；

(2)如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，

分两种情况讨论：

①当点G在AD右侧时，取BC的中点H,连接GH交AD于M,

AGH1BC,

二四边形ABHM是矩形,

.•.AM=BII=—AD=—AG,

22

；.GM垂直平分AD,

；.GD=GA=DA,

.,.△ADG是等边三角形,

.*.ZDAG=60°,

，旋转角a=60°；

②当点G在AD左侧时，同理可得aADG是等边三角形,

.,.ZDAG=60°,

，旋转角a=360°-60°=300°.

10.（2018•岳阳）已知在RtAABC中，ZBAC=90°,CD为NACB的平分线，将/ACB沿CD

所在的直线对折，使点B落在点B'处，连结AB',BB',延长CD交BB'于点E,设NABC=2a

（0°<a<45°）.

（1）如图1,若AB=AC,求证:CD=2BE；

（2）如图2,若AB#AC,试求CD与BE的数量关系（用含a的式子表示）；

（3）如图3,将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（a+45°）,得到线段FC,连结

S.

EF交BC于点0,设aCOE的面积为S“/XCOF的面积为Sz,求用含a的式子表示）.

S2

【分析】（1）由翻折可知：BE=EB',再利用全等三角形的性质证明CD=BB'即可;

(2)如图2中，结论:CD=2・BE・tan2a.只要证明aBAB's/\CAD,可得以一------

CDACtan2a

推出2BE.1可得CD=2・BE・tan2a；

"5Ttan2a

(3)首先证明NECF=90°,由NBEC+NECF=180°,推出BB'〃CF,推出以里里sin

OFCFBC

（45°-a）,由此即可解决问题;

【解答】解：(1)如图1中,

VBsB'关于EC对称,

.*.BB'_LEC,BE=EB',

.,.ZDEB=ZDAC=90°,

VZEDB=ZADC,

，ZDBE=ZACD,

VAB=AC,NBAB'=ZDAC=90°,

.,.△BAB'丝CAD,

.\CD=BB,=2BE.

(2)如图2中，结论：CD=2«BE»tan2a.

理由：由(1)可知：/ABB'=/ACD,NBAB'=ZCAD=90°,

...△BAB's^CAD,

...BBy_AB1

CDACtan2a

.2BE_1

'•万一tan2a，

CD=2*BE,tan2a.

(3)如图3中,

在RtAABC中，ZACB=90°-2a,

TEC平分NACB,

AZECB=—(90°-2a)=45°-a,

2

VZBCF=45°+a,

/.ZECF=450-a+45°+a=90°,

AZBEC+ZECF=180°,

ABB/〃CF,

x

...E0二-B-E-二BE二si•n(/45-a),

OFCFBC

..£I__EO

,s2OF'

。

/.—S—I=sin(45°-a).

S2

【拓展研究】

(2018•自贡)如图，已知NA0B=60°,在NA0B的平分线0M上有一点C,将一个120°角

的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线0A、0