牛顿运动定律

第2章牛顿运动定律（Newton’slawsofmotion）§2.1

牛顿第一、三定律§2.2常见的几种力§2.3牛顿第二定律§2.7

非惯性系

惯性力§2.4应用牛顿定律解题牛顿习题8,10,11,12,22,23,29,30,33,34,35。§2.6动能定理§2.5

动量定理1牛顿的生平与主要科学活动当时在各学科研究领域已出现很多重要人物和重要的科学成就，如伽利略在力学上的发现，开普勒对天空的立法，笛卡儿在数学上的发明……真是各路英雄风云际会，各个领域百花齐放。少年时代的牛顿，天资平常，但很喜欢制作各种机械模型，他有一种把自然现象、语言等进行分类、整理、归纳的强烈嗜好，对自然现象极感兴趣。这时也实在需要一个更高的伟人出来，将这些新成果总结一番，归纳出一个解释自然世界的总法则。说也奇怪，就刚好在伽利略逝世的1642年，牛顿(公元1642－1727)来到人间。2牛顿末出娘腹，父亲便去世；不到两岁，母亲又改嫁。在舅舅和外祖母的抚养下，他从小体弱多病。

1661年6月，他以“减费生”身份考入剑桥大学三一学院。他比一般同学都大四、五岁，但他从小有个好习惯，就是爱亲自动手做小机械之类的玩艺儿，手极巧。入学后遇着一个叫巴罗的好老师的悉心栽培，这迟熟的牛顿茅塞顿开，学业进步很大，经常提出一些自然和数学方面的问题，使巴罗又惊又喜。谁知好景不长，学习不到三年，便发生了席卷全国的大瘟疫，伦敦在1665年一个夏天便死了二万多人。学校只好放假，牛顿卷着铺盖又回到老家沃尔斯索普村。3

1667年，可怕的瘟疫刚消失，牛顿便重返校园，翌年获硕士学位。不知是胆怯还是出于慎重，他对自己在乡间从苹果落地而得出的万有引力定律，再未张扬。事物彼和此，都有相似点。可贵在联想，举一可反三。在这时，伦敦物理界的几个优秀人物也在做同类研究。他们是胡克(1635-1703)、波义耳(1627-1691)、哈雷(1656-1742)，还有雷恩等。这里面胡克是当时皇家学会的负责人，又算当时物理界赫赫有名的权威、泰斗。哈雷，则迷恋于研究慧星。一天，大家又凑到一块，讨论那令人伤脑筋的天体运行问题。雷恩拍拍手中一本价值40先令的厚书说：“谁能把行星轨道证明出来，我愿以这本书为酬谢。”胡克说：“我想，我们居住的这一部分宇宙，太阳一定是有一种引力，将地球和其它星球吸引权绕它旋转。地球也有这种引力。”4

168412月，在哈雷的鼓动下，牛顿的《论运动》送到皇家学会，二年后公布有万有引力的巨著《自然哲学的数学原理》第一编也送到皇家学会。

《原理》刚刚出版就被抢购一空，以后又接连再版三次这本书的问世可以与欧几里德的《几何》，伽利略的《对话》媲美。许多人争相购买，有人买不到书，竟将这五百页的巨著亲手来抄一遍。人们狂热地希望弄懂牛顿提出的新道理。有一位贵族问牛顿：“要读懂这本书，是不是一定要懂数学？”牛顿答：“除此外，别无它法。”这位贵族立即花钱雇了一位数学教师。《原理》热一时遍及欧洲。

5

1727年3月20日，牛顿病逝，享年85岁。英国政府为他进行了国葬。他睡进了只有英国历史上最着名的艺术家、学者、政冶家、元帅才配安息的地方。他死后四年，人们为他立了雄伟的墓碑，并列了这样一段铭文：

伊萨克•牛顿爵士安葬在这里。他以近于超人的智力第一个证明了行星的运动与形状，彗星的轨道，海洋的潮汐。他孜孜不倦地研究光线的各种不同的屈折角，颜色所生成的种种性质。对于自然、考古和圣经，他是一个勤勉、敏锐和忠实的诠释者。在他的哲学中确认上帝的尊严，并在他的举止中表现了福音的纯朴。让人类欢呼曾经存在过这样伟大的一位人类之光。61.牛顿第二定律中学：F=ma，大学：直角坐标系：曲线坐标系：法向：切向：（圆周运动：

=R）对惯性系成立§2、3牛顿第二定律

常见的几种力牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式，适用于高速运动情况与变质量问题。72.常见的几种力2.弹力：弹力的三种形式：(1)正压力或支持力:物体通过一定面积相接触而产生的相互作用。(2)拉力和张力:拉力是绳或线对物体的作用力;张力是绳子内部各段之间的作用力。(3)弹簧的弹力:1.重力：地球表面附近的物体受地球的引力作用。地球重力：p=mg发生形变的物体,由于要恢复原状,对与它接触的物体产生的作用力。N支持力拉力TT’张力弹力f8例粗绳的张力（你知道：张力有个分布吗？）拉紧的绳中任一截面两侧的两部分之间的相互作用力称该截面处的张力----弹性力如图，质量均匀分布的粗绳拉重物。已知：求：距顶端为米处绳中的张力9解：对绳用牛顿第二定律若若绳的质量忽略，则张力等于外力。已知：求：距顶端为x米处绳中的张力#10质点动力学的基本问题：质点动力学问题可分为两类：（1）已知质点的运动，求作用于质点的力。,由，求：F运动方程x=x(t)例：一质点质量为m=2kg，作直线运动，运动方程x=10t2+2t+1（SI）求质点所受的合外力。解：=40（N）§4应用牛顿定律解题11F=Fxi+Fyj=–m

2(pcosti+Rsintj)=–m

2r例：一质点质量m，运动方程r=pcos

ti+Rsin

tj

，求作用于质点的合外力。解：12例:如图,

0Rm单摆运动为

=0sint,

为细绳与铅直线所成的角,

0和

均为常数。设摆锤质量为m，绳长为R，求绳子的张力。解：质点绕c

点作变速圆周运动，c其法向加速度为：mgT13

0RcmmgTFn=T–mgcos

求得：T=mgcos+m02

2Rcos2t14(2).已知作用于质点的力，求质点的运动。a.选择好坐标系；b.根据F=mdV/dt的分量形式建立运动微分方程式；c.对微分方程求解，得到运动方程。例.一质点m=1kg，直线运动，受力f=2t，设t=0

时，x0=0，v0=1m/s，求质点的运动方程。解：15例：质量为m的物体，以初速度v0沿水平方向向右运动，所受到的阻力与速度v成正比，求物体的运动方程。

解：x0mvF阻力沿x轴负方向，表示为：F=–kv

，k为常数。

当t=0时，

v=v0

；将代入上式，得：当t=0时，

x=0；16例（P67）：有一密度为

的细棒，长度为l，其上端用细绳悬着，下端紧贴着密度为

’的液体表面。现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入液体中时的沉降速度，设液体没有粘性。G解：细棒受力分析：重力G、浮力B（变力）

Bxx(设棒的截面积为1)棒受的合外力：17力对时间和空间的积累效应。微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬时关系，对于中间的每个过程必须考虑。某些情况下，并不需要考虑中间过程，可以由几个状态求解问题。这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更有效。这就是动量定理与动能定理。积分表示力对时间的累积量----冲量功18力对时间过程的积累效应，冲量—动量。质点的动量定理。求积分有：—动量定理物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。比较：中学，Ft=mv2

-mv1直线运动，F—恒力普遍性，直线，曲线，F（t）。直角坐标系，分量式：§5

动量定理19例：如图a所示，质量为m=10kg的木箱，在水平拉力F的作用下，由静止开始运动，若拉力的大小随时间变化的关系如图b所示，已知木箱与地面间的摩擦系数

=0.2，求：t=4、7、6s时木箱速度的大小。mF（a）0t(s)F(N)4730(b)解:由动量定理:(1)上式中F=30,v0=0,解出v4=4.16m/s(2)上式中F=70–10t,解出v7=2.78m/s(3)解出v6=4.24m/s20物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻合并后的共同速度如图所示：mdmm+dm把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为：初始时刻末时刻变质量物体的运动方程21对系统利用动量定理略去二阶小量，两端除dt变质量物体运动微分方程值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，为尾气推力。22(1)确定研究系统(2)写出系统动量表达式(3)求出系统动量变化率(4)分析系统受力(5)应用动量定理求解变质量问题的处理方法例1：装煤车的牵引力例2：匀速提柔软链条23例：一辆煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过,每秒钟落入车厢的煤为△m=500kg。如果车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力拉车厢?（2）设以地面为参考系，建立直角坐标系如图，解:(1)研究对象：

t时刻车中煤的总质量m和t+dt

时刻落入车厢的煤的质量dmmdmOX

t

时刻和t+dt时刻系统水平总动量分别为:

dt时间内系统水平总动量增量为:由动量定理可得:24例柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0，总长度l,质量均匀分布，均匀地以速度v0

提绳。求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力F。解：(法一)取整个绳子为研究对象受力图#25已提升的质量(主体)m和将要提升的质量dm(法二)系统是：#26例：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条端点离地面的高度为x时，求手提力的大小。解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立坐标系。t时刻，系统总动量OX27t时刻，系统受合外力OX根据动量定理，得到28牛顿定律——瞬时作用关系。现在研究质点在力的持续作用下，力对物体的积累效应。力的空间积累对质点运动的影响。（1）功.（定义）、F=F(r),功的计算.ab

r1F1

r2F2轨道分成N个小段,每个小段足够小,其上F大小、方向均一定，按恒力作功，有：

A=F•

r

A=F

rcos(F,

r)取i小段,有:

Ai=Fi•

ri

,(i=1,2,3,…N)§6动能定理29直角坐标系：F=Fxi+Fyj+Fzk，

dr=dxi+dyj+dzk，

F

dr=Fxdx+Fydy+Fzdz，若质点沿x轴运动，功率：

t内作功A，平均功率：瞬时功率：或30（2）质点的动能定理a.直线运动：b.曲线运动：求导：代入上式，有：dA=mvdv合外力对物体所作的功等于物体动能的增量。31例：已知力质点从原点移动到x=8,y=6处该力做功多少?功的计算32例:某物体质量m=2kg，受力f=12t（N）从静止出发沿x轴作直线运动。求：3s内该力做了多少功？ox33例.一质量为m的摆球系在线的一端，线长；水平静止然后下落。求摆线与水平方向成

0角时，摆球的速率。解：m

d

dsPv

Tr1r2对摆球，外力：P，T下摆d

，dr时：dA=（T+P)·drdr由动能定理：34利用动能定理重做例题（P67）解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的功为应用动能定理，因初速度为0，末速度v可求得如下所得结果相同，而现在的解法无疑大为简便。xx

lGB

35例:传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软匀质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台面上滑动S距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨擦可不计，物与台面间的摩擦系数为μ，而且S>L，试计算物体的初速度v0。Lv0OxLs

解：由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面之前，它对台面的正压力可认为与滑上台面的质量成正比，所以，它所受台面的摩擦力fr是变化的。本题如果用牛顿定律的瞬时关系求加速度是不太方便的。我们把变化的摩擦力表示为36当物体前端在s处停止时，摩擦力做的功为再由动能定理得即得Lv0OxLs37a-a惯性系非惯性系问题:1.在地面的站台上观察金杯的运动状态如何?2.在加速行驶的车内观察金杯的运动状态又如何?(答:静止)(答:加速向左运动。)§7

非惯性系

惯性力38牛顿第二定律仅仅适用于惯性系,怎样把牛顿第二定律推广到非惯性系呢?惯性系：相对于地球静止或作匀速直线运动的物体。非惯性系：相对地面惯性系做加速运动的物体。

平动加速系：相对于惯性系作变速直线运动，但是本身没有转动的物体。例如：在平直轨道上加速运动的火车。转动参考系：相对惯性系转动的物体。例如：转盘在水平面匀速转动。39惯性力在非惯性系中观察和处理物体的运动现象时,为了应用牛顿定律而引入的一种虚拟力。在平动加速参考系中惯性力:在非惯性系中牛顿第二定律的形式为惯性力是参考系加速运动引起