初中数学+特殊平行四边形的证明及详细答案

初中数学特殊平行四边形的证明

一.解答题（共30小题）

1.（泰安模拟）如图,在SBC中，NACB=90。，BC的

垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上，并且

AF=CE.

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当/B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形？请回答

并证明你的结论.

2.（福建模拟）已知：如图,在^ABC中，D、E分别是

AB、AC的中点，BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,

连接CF.

求证：四边形BCFE是菱形.

3.（深圳一模）如图，四边形ABCD中，ABIICD,AC

平分/BAD,CEIIAD交AB于E.

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点,试判断SBC的形状，并说明理

由.

4.（济南模拟）如图,四边形ABCD是矩形，点E是边

AD的中点.

求证:EB=EC.

5.（临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE

±AC于点E,设/ADE=a,且cosa=s,AB=4,则AC的

5

长为多少？

6.（宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形,对角

线AC、BD相交于点0,BEIIAC交DC的延长线于点E.求

证:BD=BE.

7.(雅安)如图：在口ABCD中，AC为其对角线，过

点D作AC的平行线与BC的延长线交于E.

(1)求证:△ABC^DCE;

(2)若AC=BC,求证：四边开?ACED为菱形.

8.(贵阳)如图，在RfABC中,zACB=90°,D、E

分别为AB,AC边上的中点，连接DE,将AADE绕点E旋

转180。得到aCFE,连接AF,AC.

(1)求证：四边形ADCF是菱形;

(2)若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长.

9.(遂宁)已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、

BD相交于点O,E是CD中点，连结OE.过点C作CFII

BD交线段OE的延长线于点F,连结DF.求证：

(1)AODE^FCE;

(2)四边形ODFC是菱形.

10.(宁德)如图，在梯形ABCD中，ADllBC,点E

是BC的中点，连接AC,DE,AC=AB,DEllAB.求证:

四边形AECD是矩形.

11.(钦州)如图,在正方形ABCD中，E、F分别是

AB、BC上的点,且AE=BF.求证：CE=DF.

12.(贵港)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线

AC上一点,且CE=CD,过点E作EF±AC交AD于点F,

连接BE.

(1)求证：DF=AE;

(2)当AB=2时，求BE2的值.

13.（吴中区一模）已知：如图，菱形ABCD中，E、F

分别是CB、CD上的点,zBAF=zDAE.

（1）求证:AE=AF;

（2）若AE垂直平分BC,AF垂直平分CD,求证：4AEF

为等边三角形.

14.（新乡一模）小明设计了一个如图的风筝，其中，

四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，点C在AF上，点

E,G分另（］在BC,CD上，若NBAD=135°,zEAG=75°z

AE=100cm,求菱形ABCD的边长.

15.（槐荫区三模）如图，菱形ABCD的边长为1

D=120°.求又寸角线AC的长.

16.（历城区一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、

BD的长分别为6cm、8cm,AE±BC于点E,求AE的长.

17.（湖南校级模拟）如图，AE=AF,点B、D分别在

AE、AF上,四边形ABCD是菱形，连接EC、FC

（1）求证：EC=FC;

若求的周长.

（2）AE=2,zA=60°,MEF

18.（清河区一模）如图，在SBC中，AB=AC,点D、

E、F分别是^ABC三边的中点.

求证：四边形ADEF是菱形.

19.（防城区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边

形，DE_LAB,DFJ_BC,垂足分别是为E尸，并且DE=DF.求

证：四边形ABCD是菱形.

20.(通州区一模)如图，在四边形ABCD中，AB=DC,

E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是对角线BD、AC

的中点.

(1)求证：四边形EGFH是菱形；

(2)若AB=1，则当NABC+NDCB=90°时，求四边形EGFH

21.(顺义区二模)如图，在^ABC中，D、E分别是

AB、AC的中点，BE=2DE,过点C作CFlIBE交DE的延长

线于F.

(1)求证：四边形BCFE是菱形；

(2)若CE=4,zBCF=120°,求菱形BCFE的面积.

22.(祁阳县校级模拟)如图，O为矩形ABCD对角线

的交点，DEllAC,CEIIBD.

(1)求证：四边形OCED是菱形.

(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的周长.

23.(荔湾区校级一模)已知点E是矩形ABCD的边AD

延长线上的一点，且AD=DE,连结BE交CD于点0,求证:

△AOD^^BOC.

24.(东海县二模)已知：如图，在正方形ABCD中，

点E、F在又寸角线BD上，且BF=DE,

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若AB=2,BF=1,求四边形AECF的面积.

25.(玉溪模拟)如图,正方形ABCD的边CD在正方

形ECGF的边CE上，连接BE、DG.

求证:BE=DG•

26.(工业园区一模)已知：如图正方形ABCD中，E

为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF

(1)求证:△BCE^DCF;

(2)若NFDC=30。，求NBEF的度数.

27.(深圳模拟)四边形ABCD是正方形,E、F分别是

DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.

(1)求证：AADE^ABF;

(2)若BC=8,DE=6,求aAEF的面积.

28.(碑林区校级模拟)在正方形ABCD中，AC为对

角线，E为AC上一点,连接EB、ED.求证：/BEC:/DEC.

29.（温州一模）如图，AB是CD的垂直平分线，交

于点过点作垂足分别为

CDM,MME±ACzMF±AD,

E、F.

（1）求证:zCAB=zDAB;

（2）若NCAD=90。，求证：四边形AEMF是正方形.

于

B

30.（湖里区模拟）已知：如图,△ABC中,zABC=90°,

BD是/ABC的平分线，DE_LAB于点E,DF_LBC于点F.求

证：四边形DEBF是正方形.BFC

初中数学特殊平行四边形的证明

参考答案与试题解析

一.解答题（共30小题）

1.（泰安模拟）如图,在MBC中,zACB=90°,BC的

垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上，并且

AF=CE.

(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；

(2)当/B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答

并证明你的结论.

考菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判

点：定.

专证明题.

题：

分(1)ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中

析：垂线上的点线段两个端点的距离相等,则EB二EC,故有

/3=/4,在直角三角形ACB中，z2与/4互余，与

z3互余，则可得到AE=CE,从而证得^ACE和^EFA都

是等腰三角形，又因为FDJLBC,AC_LBC,所以ACII

FE,再根据内错角相等得到AFIICE,故四边形ACEF是

平行四边形；

(2)由于^ACE是等腰三角形，当/1=60°时^ACE是

等边三角形，有AC二EC,有平行四边形ACEF是菱形.

解解：(1)「ED是BC的垂直平分线

答：/.EB=EC,ED±BC,

/.z3=z4,

\zACB=90°,

.".FEIIAC,

/.zl=z5,

vz2与N4互余,zl与N3互余

/.zl=z2,

/.AE=CE,

又.AF=CE,

・•.△ACE和^EFA都是等腰三角形,

/.z5=zF,

/.z2=zF,

•・在aEFA和^ACE中

，Z5=Z1

•'NF=N2,

,AF=EC

「.△EFA3ACE(AAS),

.zAEC二NEAF

/.AFllCE

」•四边形ACEF是平行四边形；

(2)当/B=30°时,四边开乡ACEF是菱开乡.证明如下:

•/zB=30°,zACB=90°

/.zl=z2=60°

/.zAEC=60°

「.ACnEC

，平行四边形ACEF是菱形.

点本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等

评：边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱

形的判定求解，有利于学生思维能力的训练.涉及的知

识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.（福建模拟）已知：如图,在^ABC中，D、E分别是

AB、AC的中点，BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,

连接CF.

求证：四边形BCFE是菱形.

考菱形的判定.

占・

八、、•

专证明题.

题：

分由题意易得，EF与BC平行且相等，二四边形BCFE是

析：平行四边形.又EF=BE,••.四边形BCFE是菱形.

解解:/BE=2DE,EF=BE,

答：..EF=2DE.（1分）

•・D、E分别是AB、AC的中点，

・•.BO2DE且DEIIBC.（2分）

/.EF=BC.（3分）

又EFIIBC,

••・四边形BCFE是平行四边形.（4分）

又EF二BE,

••・四边形BCFE是菱形.（5分）

点此题主要考查菱形的判定，综合利用了平行四边形的性

评：质和判定.

3.（深圳一模）如图，四边形ABCD中，ABIICD,AC

平分/BAD,CEIIAD交AB于E.

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断MBC的形状，并说明理

由.

D

考菱形的判定与性质.

/占\\\•.

专几何图形问题.

题：

分（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进

析：而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形；

（2闲」用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可

得两组角相等，进而证明/ACB为直角即可.

解解：

（1）;ABIICD,CEllAD,

答：「•四边形AECD为平行四边形,z2=z3,

又.AC平分/BAD,

/.zl=z2,

/.zl=z3,

「.AD二DC,

••・四边形AECD是菱形；

（2）直角三角形.

理由:/AE=EC

/.z2=z4,

/AE=EB,

/.EB=EC,

/.z5=zB,

又因为三角形内角和为180。，

/.z2+z4+z5+zB=180°,

/.zACB=z4+z5=90°,

「.△ACB为直角三角形.

点考查菱形的判定与性质的应用；用到的知识点为：一组

评：邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等.

4.（济南模拟）如图,四边形ABCD是矩形，点E是边

AD的中点.

求证:EB=EC.

考矩形的性质；全等三角形的判定与性质.

占.

八、、•

专证明题.

题：

分利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出^

析：ABE24DCE(SAS),即可得出答案.

解证明：二•四边形ABCD是矩形，

答：/.AB=DC,zA=zD=90°,

•••点E是边AD的中点，

/.AE=ED,

在^ABE和^DCE中,

AB=DC

<ZA=ZD/

AE=DE

「.△ABE%DCE(SAS),

・••EB=EC.

点此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性

评：质,得出MBE标4DCE是解题关键.

5.(临淄区校级模拟)如图所示,在矩形ABCD中，DE

±AC于点E,设NADE=a,且cosa二心,AB=4,贝!]AC的

5

长为多少？

考矩形的性质.

占.

/\x\•

分根据等角的余角相等，得NBAC=NADE=C（;根据锐角三

析：角函数定义可求AC的长.

解解：二.四边形ABCD是矩形，

答：/.zABC=90°,ADllBC,

/.zEAD=zACB,

•・在3BC与MED中，

•.DE_LAC于E,zABC=90°

/.zBAC=zADE=a.

/.coszBAC=cosa=3,

5

...AC=AB=次.

cosZ;BAC3

点此题综合运用了锐角三角函数的知识、勾股定理、矩形

评：的性质.

6.（宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角

线AC、BD相交于点0,BEIIAC交DC的延长线于点E.求

证:BD=BE.

考矩形的性质；平行四边形的判定与性质.

/占\\\•.

专证明题.

题：

分根据矩形的对角线相等可得ACnBD,对边平行可得AB

析：IICD,再求出四边形ABEC是平行四边形，根据平行四

边形的对边相等可得AC=BE,从而得证.

解证明：二•四边形ABCD是矩形，

:「.AC=BD,ABIICD,

又「BEllAC,

••・四边形ABEC是平行四边形，

「•AC=BE,

・•・BD=BE.

点本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟

评：记各性质并求出四边形ABEC是平行四边形是解题的关

键.

7.(雅安)如图：在口ABCD中,AC为其对角线,过点

D作AC的平行线与BC的延长线交于E.

(1)求证:MBC^DCE;

(2)若ACnBC,求证：四边形ACED为菱形.

BE

考菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的

点：性质.

专证明题.

题：

分（1）利用AAS判定两三角形全等即可；

析：（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得

AC=AD,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可.

解证明：（1）二•四边形ABCD为平行四边形，

:.，ABIICD,AB二CD,

/.zB=zl,

又.DEllAC

/.z2=zE,

在^ABC与SCE中,

'AB=CD

■Z2=ZE/

ZB=Z1

...△ABC祇DCE;

(2)•.平行四边形ABCD中,

/.ADllBC,

即ADllCE,

由DEIIAC,

・•・ACED为平行四边形，

\AC=BC,

/.zB=zCAB,

由ABIICD,

/.zCAB=zACD,

又.2B=/ADC,

/.zADC=zACD,

/.AC=AD,

，四边形ACED为菱形.

点本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握

评：菱形的判定定理，难度不大.

8.(贵阳)如图，在RfABC中ACB=90°,D、E分

别为AB,AC边上的中点，连接DE,将3DE绕点E旋转

180。得至！hCFE,连接AF,AC.

(1)求证：四边形ADCF是菱形；

(2)若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长.

考菱形的判定与性质；旋转的性质.

/占\\\•,

专几何综合题.

题：

分(1)根据旋转可得AE=CE,DE=EF,可判定四边形

析：ADCF是平行四边形，然后证明DF±AC,可得四边形

ADCF是菱形；

(2)首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可

得AD=5,根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5,进而

可得答案.

解(1)证明：•.将“UDE绕点E旋转180。得至"CFE,

答：/.AE=CE,DE=EF,

，四边形ADCF是平行四边形，

•・D、E分别为AB,AC边上的中点,

・•.DE是aABC的中位线，

/.DEllBC,

•.NACB=90°,

/.zAED=90°,

..DFJ_AC,

••・四边形ADCF是菱形；

(2)解：在RbABC中，BC=8,AC=6,

・••AB:10,

•.D是AB边上的中点，

，AD=5,

•••四边形ADCF是菱形，

/.AF=FC=AD=5,

「•四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28.

点此题主要考查了菱形的判定与性质，关键是掌握菱形四

评：边相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

9.(遂宁)已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、

BD相交于点O,E是CD中点，连结OE.过点C作CFII

BD交线段OE的延长线于点F,连结DF.求证：

(1)△ODE2FCE;

(2)四边形ODFC是菱形.

BC

考矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.

占.

/\x\•

专证明题.

题：

分(1)根据两直线平行,内错角相等可得/ODE:/FCE,

析：根据线段中点的定义可得CE=DE,然后利用“角边角"

证明^ODE和^FCE全等；

(2)根据全等三角形对应边相等可得0D=FC,再根据

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边

形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且

相等可得0C=0D,然后根据邻边相等的平行四边形是

菱形证明即可.

解证明：(1)•••CFIIBD,

答：/.zODE=zFCE,

•.E是CD中点，

，CE二DE,

在^ODE和PCE中,

2ODE=NFCE

■CE=DE,

,ZDE0=ZCEF

/.△ODE^FCE(ASA);

(2)/AODE^FCE,

.QD=FC,

,/CFlIBD,

，四边形ODFC是平行四边形，

在矩形ABCD中,OC=OD,

「•四边形ODFC是菱形.

点本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱

评：形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法

是解题的关键.

10.（宁德）如图，在梯形ABCD中，ADIIBC,点E是

BC的中点，连接AC,DE,AC=AB,DEllAB.求证：四边

形AECD是矩形.

考矩形的判定.

占•

/\x\•

专证明题.

题：

分先判断四边形AECD为平行四边形，然后由NAEC=90。

析：即可判断出四边形AECD是矩形.

解证明:/ADllBC,DEllAB,

答：，四边形ABED是平行四边形.

，AD=BE.

•・•点E是BC的中点,

・••ECnBE=AD.

，四边形AECD是平行四边形.

•.AB=AC,点E是BC的中点，

「.AEJLBC,即/AEC=90°.

・•。AECD是矩形.

点本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是

评：掌握平行四边形和矩形的判定定理.

11.（钦州）如图,在正方形ABCD中，E、F分别是AB、

BC上的点，且AE=BF.求证：CE=DF.

考正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

占.

八、、•

专证明题.

题：

分根据正方开乡的性质可得AB=BCnCD,zB=zBCD=90°,

析：然后求出BEnCF,再利用“边角边"证明YCE和aCDF

全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.

解证明：在正方形ABCD中,AB=BC=CD,zB=z

答:BCD=90°,

\AE=BF,

/.AB-AE=BC-BFz

即BE=CF,

在^BCE和^CDF中,

rBC=CD

<ZB=ZBCD=90°,

,BE=CF

・•.△BCE%CDF(SAS),

/.CE=DF.

点本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，

评：熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键.

12.(贵港)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线

AC上一点,且CE=CD,过点E作EF±AC交AD于点F,

连接BE.

(1)求证：DF=AE;

(2)当AB=2时，求BE2的值.

考正方形的性质;角平分线的性质；勾股定理.

/占\\\•.

分(1)连接CF,根据"HL"证明RfCDF和RfCEF全

析：等，根据全等三角形对应边相等可得DF=EF,根据正方

形的对角线平分一组对角可得/EAF=45。，求出aAEF是

等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得

AE=EF,然后等量代换即可得证；

(2)根据正方形的对角线等于边长的血倍求出AC,然

后求出AE,过点E作EH_LAB于H,判断出小£1~1是等

腰直角三角形，然后求出EH二AH二返AE,再求出BH,

2

然后利用勾股定理列式计算即可得解.

解(1)证明：如图，连接CF,

答：在RdCDF和Rt^CEF中,

[CFXF

lCE=CD'

/.RtACDF^RtACEF(HL),

・••DF二EF,

/AC是正方形ABCD的对角线，

/.zEAF=45°,

「.△AEF是等腰直角三角形,

/.AE=EF,

/.DF=AE;

(2)解："8=2,

」•AC-RAB=2我,

•.CE=CD,

」.AE=2&-2,

过点E作EH_1AB于H,

则△AEH是等腰直角三角形，

「.EH=AH二?E=争(2&-2):2-a,

--BH=2-(2-72)=V2,

在Rt△BEH中,BE2=BH2+EH2=(a)2+(2-a)2:8

点本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，

评：等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理的应用，作辅

助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键.

13.(吴中区一模)已知：如图，菱形ABCD中，E、F

分别是CB、CD上的点,zBAF=zDAE.

(1)求证:AE=AF;

(2)若AE垂直平分BC,AF垂直平分CD,求证：4AEF

为等边三角形.

考菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的

点：判定•

专证明题.

题：

分(1)首先利用菱形的性质得出AB=AD,zB=zD,进

析：而得出aABE当ADF(ASA),即可得出答案；

(2)利用垂直平分线的性质得出△ABC和^ACD都是等

边三角形，进而得出/EAF=NCAE+NCAF=60°,求出△

AEF为等边三角形.

解(1)证明：二•四边形ABCD是菱形，

答:..AB=AD,zB=zD,

又「NBAF=/DAE,

/.zBAE=zDAF,

在^ABE和aADF中，

rZB=ZD

■AB=AD，

,ZBAE=ZDAF

・•.△ABE%ADF(ASA),

/.AE=AF;

(2)解：连接AC,

\AE垂直平分BC,AF垂直平分CD,

「.AB二AC=AD,

/AB=BC=CD=DA,

「.△ABC和aACD都是等边三角形，

・・•/CAE=NBAE=30。，zCAF=zDAF=30°,

/.zEAF=zCAE+zCAF=60°,

又「AE=AF,

「.△AEF是等边三角形.

点此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角

评：形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方

法是解题关键.

14.(新乡一模)小明设计了一个如图的风筝，其中，四

边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，点C在AF上，点E,

G分别在BC,CD上，若/BAD=135。，zEAG=75°,

AE=100cm,求菱形ABCD的边长.

考菱形的性质.

占•

八、、•

分根据菱形的性质可得出/BAE=30。，NB=45。，过点E

析：作EMJ_AB于点M,设EM=X,则可得出AB、AE的

长度，继而可得出包的值，求出AB即可.

AE

解解:-.zBAD=135o,zEAG=75°,四边形ABCD与四

答：边形AEFG都是菱形，

/.zB=180°-zBAD=45°zzBAE=zBAC-zEAC=30°,

过点E作EM±AB于点M,设EM=x,

在Rt^AEM中，AE=2EM=2x,AM二四,

在Rt^BEM中，BM=x,

贝=AM+BM='巧+1

AEAE2'

,/AE=100cm,/.AB=50(V3+I)cm,

••・菱形ABCD的边长为:50(73+1)cm.

点本题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识，属于基

评：础题，关键是掌握菱形的对角线平分一组对角.

15.（槐荫区三模）如图，菱形ABCD的边长为1,/

D=120。.求对角线AC的长.

考菱形的性质.

占,

八、、•

分连接BD与AC交于点O根据菱形的性质可得ABnAD,

析：AC=2AO,/ADB二系ADC,AC_LBD，然后判断出aABD

是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AO,再根

据AC=2AO计算即可得解.

解解：如图，连接BD与AC交于点O,

答：•.四边形ABCD是菱形，

•.AB=AD,AC=2AO,zADB=lzADC,AC±BD,

•.zD=120°,

・•.NADB=60°,

「.△ABD是等边三角形，

..AO:ADxsin/ADB二立,

2

..AC=2AO=V3.

点本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟

评：记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键.

16.（历城区一模）如图,已知菱形ABCD的对角线AC、

BD的长分别为6cm、8cm,AE±BC于点E,求AE的长.

考菱形的性质；勾股定理.

占•

/\x\•

分根据菱形的对角线互相垂直平分求出co、B0,再利用

析：勾股定理列式求出BC,然后利用菱形的面积等于底乘以

高和对角线乘积的一半列出方程求解即可.

解解：••四边形ABCD是菱形,

答：/.C0=lAC=3cmB0=lBD=4cm,AO±BO,

22,

•1-BC=7BoW=7?^=5cm，

二•S菱形ABCD=^^•二BC・AE,

即lx6x8=5・AE,

2

解得AE二义cm.

5

答：AE的长是&cm.

5

点本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的对角线

评：互相垂直平分是解题的关键，难点在于利用菱形的面积

列出方程.

17.(湖南校级模拟)如图，AE=AF,点B、D分别在

AE、AF上,四边形ABCD是菱形,连接EC、FC

(1)求证：EC=FC;

(2)若AE=2,zA=60°,求MEF的周长.

考菱形的性质；全等三角形的判定与性质.

/占\\\•

分(1)连接AC,根据菱形的对角线平分一组对角可得N

析：CAE:NCAF,然后利用“边角边"证明MCE和MCF

全等,根据全等三角形对应边相等可得EC=FC;

(2)判断出aAEF是等边三角形，然后根据等边三角形

的三条边都相等解答.

解(1)证明：如图，连接AC,

答：•.四边形ABCD是菱形，

/.zCAE=zCAF,

在^ACEffl^ACF中，

，AE=AF

<ZCAE=ZCAF,

,AC=AC

・•.△ACE%ACF(SAS),

/.EC=FC;

(2)解：连接EF,

•.AE=AF,zA=60°z

」.△AEF是等边三角形,

「.△AEF的周长=3AE=3x2=6.

点本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等

评：边三角形的判定与性质，熟记各性质并作出辅助线是解

题的关键.

18.（清河区一模）如图，在SBC中，AB=AC,点D、

E、F分别是^ABC三边的中点.

求证：四边形ADEF是菱形.

考菱形的判定；三角形中位线定理.

/占\\\•

专证明题.

题：

分利用三角形中位线的性质得出DEX1AC,EFX1AB,进

析：而得出四边形ADEF为平行四边形.，再利用DE=EF

即可得出答案.

解证明：•.D、E、F分别是3BC三边的中点，

答：「.DEXIACEFX1AB,

口2z2

，四边形ADEF为平行四边形.

又.AC=AB,

•.DE=EF.

，四边形ADEF为菱形.

点此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的

评：判定和菱形的判定等知识，熟练掌握菱形判定定理是解

题关键.

19.（2014春•防城区期末）如图,已知四边形ABCD是

平行四边形，DE±AB,DFJLBC,垂足分别是为E,F,并

且DE=DF.求证：四边形ABCD是菱开乡.

考菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的

点：性质.

专证明题.

题：

分首先利用已知条件和平行四边形的性质判定△ADE^a

析：CDF,再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四

边形ABCD是菱形.

解证明：在^ADEfflACDF中,

答：•.四边形ABCD是平行四边形,

/.zA=zC,

-/DE±AB,DF±BC,

/.zAED=zCFD=90°.

又.DE=DF,

・•.△ADE2CDF(AAS)

.".DA=DC,

，平行四边形ABCD是菱形.

点本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性

评：质以及菱形的判定方法，解题的关键是熟练掌握各种图

形的判定和性质.

20.(通州区一模)如图,在四边形ABCD中,AB=DC,

E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是对角线BD、AC

的中点.

(1)求证：四边形EGFH是菱形；

(2)若AB=1，则当NABC+NDCB=90°时，求四边形EGFH

考菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；中点四边

点：形.

分(1)利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH

析：的四边相等，即可证得；

(2)根据平行线的性质可以证得/GFH=90。，得到菱

形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE

的长，则正方形的面积可以求得.

解(1)证明：二•四边形ABCD中，E、F、G、H分别是

答：AD、BC、BD、AC的中点,

/.FG=1CD,HE=1CD,FH=1AB,GE=1AB.

2222

•.AB=CD,

.•.FG:FH二HE=EG.

，四边形EGFH是菱形.

(2)解：・••四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、

AC的中点，

・•.GFllDC,HFllAB.

/.zGFB=zDCB,zHFC=zABC.

/.zHFC+zGFB=zABC+zDCB=90°.

・•./GFH=90°.

，菱形EGFH是正方形.

•/AB=1,

.-.EG=1AB=1.

22

，正方形EGFH的面积f)2十

点本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定以及正方

评：形的判定，理解三角形的中位线定理是关键.

21.(顺义区二模)如图,在MBC中，D、E分别是AB、

AC的中点,BE=2DE,过点C作CFlIBE交DE的延长线于

F.

(1)求证：四边形BCFE是菱形；

(2)若CE=4,zBCF=120°,求菱形BCFE的面积.

考菱形的判定与性质.

占•

八、、•

分(1)由题意易得，EF与BC平行且相等，故四边形BCFE

析：是平行四边形.又麟边EF二BE,则四边形BCFE是菱形;

(2)连结BF,交CE于点0.利用菱形的性质和等边

三角形的判定推知△BCE是等边三角形.通过解直角△

BOC求得B0的长度，则BF=2B0.利用菱形的面积

=3CE・BF进行解答.

2

解(1)证明：:D、E分别是AB、AC的中点，

答:/.DEllBC,BC=2DE.

•/CFllBE,

••・四边形BCFE是平行四边形.

\BE=2DE,BC=2DE,

•.BE=BC.

・••□BCFE是菱形;

(2)解：连结BF,交CE于点0.

.•四边开乡BCFE是菱开乡,zBCF=120°,

/.zBCE=zFCE=60°,BF±CE,

「.△BCE是等边三角形.

・••BC=CE=4.

•••BF=2BO=2BC・sin60°=2X4X冬力•

「.S菱形BCFE与E•BF=■1x4X4a=8^^•

点此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，使学

评:生能够灵活运用菱形知识解决有关问题.

22.(祁阳县校级模拟)如图，0为矩形ABCD对角线

的交点，DEllAC,CEIIBD.

(1)求证：四边形OCED是菱形.

(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的周长.

考矩形的性质；菱形的判定.

/占\\\•

分(1)根据矩形性质求出OC=OD，根据平行四边形的判

析：定得出四边形OCED是平行四边形，根据菱形判定推出

即可；

(2)根据勾股定理求出AC,求出0C,得出

OC=OD=CE=ED=5,相力口即可.

解(1)证明：二•四边形ABCD是矩形，

答:/.AC=2OC,BD=2OD,AC=BD,

.*.OD=OC,

/DEllAC,CEllBD,

•,四边形OCED是菱形.

(2)解：•••四边形ABCD是矩开?，

/.zABC=90°,

".'AB=6,BC=8,

•・在RfABC中,由勾股定理得：AC=10,

即OC=1AC=5,

2

•••四边形OCED是菱形，

/.OC=OD=DE=CE=5,

•.四边形OCED的周长是5+5+5+5=20.

点本题考查了勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定

评：和性质，矩形的性质的应用，主要考查学生的推理能力

23.(荔湾区校级一模)已知点E是矩形ABCD的边AD

延长线上的一点，且AD=DE,连结BE交CD于点O,求证:

△AOD^ABOC.

考矩形的性质；全等三角形的判定与性质.

/占\\\•.

专证明题.

题：

分根据矩形的对边相等可得AD=BC,根据矩形的对边平

析：行可得ADIIBC,根据两直线平行，内错角相等可得/E二

NOBC,再求出BC=DE,然后禾IJ用"角角边"证明SOD

和△BOC全等即可.

解证明：在矩形ABCD中，AD=BC,ADllBC,

答:/.zE=zOBC,

•.AD;DE,

•.BODE,

在^AOD和△BOC中,

rZE=Z0BC

-ZE0D=ZB0C,

BC=DE

/.△AOD^BOC(AAS).

点本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握

评：矩形的对边平行且相等找出三角形全等的条件是解题的

关键.

24.(东海县二模)已知：如图，在正方形ABCD中，点

E、F在对角线BD上，且BF=DE,

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若AB=2,BF=1,求四边形AECF的面积.

D

考正方形的性质；菱形的判定与性质.

/占\\\•,

分(1)根据正方形的性质，可得正方形的四条边相等，对

析：角线平分对角，根据SAS,可得MBF与"BF与^CDE

与AADE的关系，根据三角形全等，可得对应边相等，

再根据四条边相等的四边形，可得证明结果；

(2)根据正方形的边长、对角线，可得直角三角形，根

据勾股定理,可得AC、EF的长，根据菱形的面积公式,

可得答案.

解(1)证明：正方开?ABCD中，对角线BD,

答:/.AB=BC=CD=DA,

zABF=zCBF=zCDE=zADE=45°.

•.BF=DE,

/.△ABF^ACBF^ADCE^ADAE(SAS).

AF=CF=CE=AE

「•四边开?AECF是菱形；

(2)解：在RfABD中，由勾股定理，得

=7AB2+BD2=V22+22=2V2，

BC=AD=2V2,

EFnBC-BF-DE=2&-1-1,

四边形AECF的面积:AD・EF：2

=2&x(2^-2)+2

=4-2&.

点本题考查了正方形的性质，(1)先证明四个三角形全等,

评：再证明四边相等的四边形是菱形；(2)先求出菱形的对

角线的长，再求出菱形的面积.

25.(玉溪模拟)如图,正方形ABCD的边CD在正方形

ECGF的边CE上，连接BE、DG.

求证:BE=DG.

考正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

占•

八、、•

专证明题.

题：

分根据正方形的性质得出CD=CB,CG=CE,zBCE=z

析：DCG=90°,再利用全等三角形的判定定理"SAS",即

可得出^BCE合4DCG,进而得出BE=DG.

解证明：二•四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，

答：.・在4BCE和^DCG中,

rCD=BC

-ZBCE=ZDCG,

CG=EC

・•.△BCE%DCG(SAS),

..BE二DG.

点此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与

评：性质，正方形性质的考查经常与三角形的全等相结合综

合考查，同学们分析问题时应多从这个角度思考.

26.(工业园区一模)已知：如图正方形ABCD中，E为

CD边上一点，F为BC延长线上一点,且CE=CF

(1)求证:△BCE^DCF;

(2)若/FDC=30。，求NBEF的度数.

考正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

/占\\\•.

分(1)根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，

析：BC二CD、zBCE=zDCF=90°,yCE=CF,根据边角边

定理即可证明3CE和SCF全等;

(2)由(1)可知△BCE*DCF得/EBC二NFDC=30°,

可得/BEC=60。，从而可求/BEF的度数.

解证明：二•四边形ABCD是正方形，

答：/.BC=DC,zBCD=90°

•••F为BC延长线上的点，

/.zDCF=90°,

/.zBCD=zDCF,

在^BCE和aDCF中，

fBC=DC

,ZBCD=ZDCF,

CE=CF

・•.△BCE2DCF(SAS);

(2)•「△BCE*DCF,

/.zEBC=zFDC=30°,

/.zBEC=60°,

•.NDCF=90。，CE=CF,

・••/FEC=45°,

/.zBEF=zBEC+zFEC=60o+45o=105°.

点本题主要考查正方形的四条边都相等和四个角都是直角

评：的性质以及三角形全等的判定和全等三角形对应边相等

的性质和等腰三角形的性质，题目比较简单.

27.(深圳模拟)四边形ABCD是正方形，E、F分别是

DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.

(1)求证：AADE^ABF;

(2)若BC=8,DE=6,求MEF的面积.

考正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

/占\\\•

分(1)根据正方形的性质得AD=AB,zD=zABC=90°,

析：然后利用"SAS"易证得aADE2ABF;

(2)先利用勾股定理可计算出AE=10,再根据△ABF

可以由4ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90°

得到AE=AF,zEAF=90°,然后根据直角三角形的面积

公式计算即可.

解(1)证明：二•四边形ABCD是正方形，

答：/.AD=AB,/D=/ABC=90°,

而F是CB的延长线上的点,

/.zABF=90°,

在aADE和3BF中,

'AB二AD

-NABF=/ADE,

BF=DE

・•.△ADE2ABF(SAS);

(2)解：.「BC=8,

..AD=8,

在RbADE中,DE=6,AD=8,

•■-AE=7AD2+DE2=1°，

・「△ABF可以由^ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向

旋转90。得到，

・••AE=AF,zEAF=90°,

「.△AEF的面积=1AE2=。x100=50.

22

点本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，

评：旋转的性质以及勾股定理等知识点.

28.(碑林区校级模拟)