如何做好高、初中数学的衔接

如何做好高、初中数学的衔接

•初中数学与高中数学衔接紧密的知识点•

1绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

a{a>0)

⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0,即时=<03=0)

-a[a<0)

⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小

⑷两个绝对值不等式：|x|<a(a〉0)=-a<x<a；|x|>a(a>0)=x<-a或x>a

2乘法公式：

⑴平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)

⑵立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

⑶立方和公式：a3+1^-(a+b)(a2-ah+h2)

⑷完全平方公式：(a+bf=a2+2ab+b2,

(a+b+cl=a2+b2+c2+lab+lac+Ibc

⑸完全立方公式：(a±b)，=<73±3a2b+3ab2±Z?3

3分解因式：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为I。

⑶关于方程公解的讨论

b

①当aw0时，方程有唯一解x=,；

②当a=0,8工0时，方程无解

③当a=0,。=0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。

5二元一次方程组：

(1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

(2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

(3)二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

(4)解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

6不等式与不等式组

(1)不等式：

①用符不等号(>、,、<)连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

(2)不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

(3)一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是I的不等式叫一元一次不等式。

(4)一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

7一元二次方程：ax1+bx+c=0(«0)

①方程有两个实数根oA=Z?2—4ac>0

A>0

②方程有两根同号o

xx=—>0

t2-a

A>0

③方程有两根异号oc

XtX2=一<0

、a

bc

④韦达定理及应用：玉+/---,工也=—

aa

VX_yJb2-4ac

X；+X；=（X]+/）2—2玉々，卜|一龙21=+々）2—4中2

同a\

2

M+考=（玉+X2）（Xj—%tX2+%2）-（玉+%2）［（X|+工2）2—

8函数

⑴变量：因变量自变量。

在用图象表示变看之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表

示因变量。

(2)一次函数：①若两个变量间的关系式可以表示成y=+b(b为常数，Z不等于0)的形式，

则称y是x的一次函数。②当8=0时，称y是x的正比例函数。

(3)一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它

的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数y=Zx的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当左<0,b<0,则经2、3、4象限：当k<0,b>0时，则经1、2、4象限；当k>0,

b则经1、3、4象限；当k>0,b>0时，则经1、2、3象限。

④当%>0时，>的值随x值的增大而增大，当左<0时，>的值随x值的增大而减少。

（4）二次函数:

①一般式：y=ax1+〃x+c=a(x+—)2+-------(。。0),对称轴是工=----,

2a4。2a

b4ac-万

顶点是（一9

2a4a

②顶点式：y=a（x+m）2+k（a^O）,对称轴是x=-〃z,顶点是（一加，女）；

③交点式：y=a（x-xt）（x-x2）（a^O）,其中（玉,0）,（x2,0）是抛物线与x轴的交点

（5）二次函数的性质

,b

①函数y=or+法+c（aw0）的图象关于直线x=---对称。

2a

0b

②。>0时，在对称轴（尤=——）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（x=——）右侧；y

2a2a

h44c—b~

的值随X值的增大而增大。当工二-三时.，y取得最小值4a

③a<0时，在对称轴（x=——）左侧，y值随x值的增大而增大：在对称轴（x=——）右侧；y

2ala

h4-cic—b~

的值随X值的增大而减少。当x=-匕时，y取得最大值一:——

2a4a

9.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

⑴平方差公式：;

⑵完全平方和公式：;

［3］完全平方差公式：.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

［公式l］（a+6+c）2=

［公式2］=a3+b3（立方和公式）

［公式3］=ai-b3（立方差公式）

说明:上述公式均称为“乘法公式”.

★专题一因式分解

【要点回顾】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及

各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外,

还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等.

1.公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式：;

[2]完全平方和公式：;

[3]完全平方差公式：.

[4]（a+h+c）2=

[5]/+廿=（立方和公式）

[6]a3-b3=（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行

因式分解.

2.分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多

项式，如〃?a帅+，皿+〃。既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这

种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.

常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式

3.十字相乘法

（1）X?+（p+q）x+pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项

系数是常数项的两个因数之和.

x2+（p+q）x+pq=X1+px+qx+pq-x（x+p）+q（x+/?）=（%+p）（x+g）,

:.x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

（2）一般二次三项式0?+反+。型的因式分解

由+（。.2+。2。1）%+。臼=（%8+。1）（。2彳+。2）我们发现，二次项系数。分解成《外，常数项。

分解成c«2，把。1，“2，。，，2写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到。臼+%。，如果它正好

等于ax?+bx+c的一次项系数匕，那么ax2+/?x+c就可以分解成（4》+9）（。2*+。2）,其中位于上

一行，。2，。2位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十

字相乘法.

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三

项式能否用十字相乘法分解.

4.其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法

【例题选讲】

例1（公式法）分解因式：（1）3a3。_8g4；（2）足一时

例2（分组分解法）分解因式：（1）ab（c2-d2）-（a2-b2）cd(2)2x?+4>yy+2y--8z"

例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：（1）X2+5X-24⑵x~—2.x—15

（3）x2+xy-6y2(4)(x~+x)~—8(%2+x)+12

例4（十字相乘法）把下列各式因式分解:(1)12x"—5x—2；(2)+(ixy—8y~

例5（拆项法）分解因式/一3/+4

【巩固练习】

1.把下列各式分解因式：

(1)dh(c~-d~)+cd(^ci~(2)x~-4//zx+Sinn-An~

(3)x"+64(4)—1lx~+3lx—21(5)—4xy"—2x?y+8y

2

2.已知a+匕=—,ab=2,求代数式+的值.

3

3.现给出三个多项式，-x2+x~],-X2+3X+\,-x2-x,请你选择其中两个进行加法运算，并把

222

结果因式分解.

★专题二一元二次方程根与系数的关系

【要点回顾】

1.一元二次方程的根的判断式

一元二次方程。^+笈+，=0（”工0）,用配方法将其变形为：.

由于可以用〃-4比的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把〃一4比叫做一元二次方程

0?+法+。=0（”工0）的根的判别式，表示为：△="2-4ac

对于一元二次方程ar2+bx+c=0（a#））,有

[1]当A_0时，方程有两个不相等的实数根：

⑵当A—0时，方程有两个相等的实数根：

[3]当A_0时，方程没有实数根.

2.一元二次方程的根与系数的关系

定理：如果一元二次方程，江2+匕龙+c=0（4/0）的两个根为玉,X2，那么:

%+/=

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦

达定理”,上述定理成立的前提是ANO.

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程/+/次+夕=0,若为，X2是其两根，由韦达定理可知

X|+l2=—P，X\-X2=q,即P=­（X\+X2）,q=X\-X2,

所以，方程/+〃氏+4=0可化为x2—（xi+xi）x+x]-X2=0,由于xi,X2是一元二次方程f+px+q=O的两

根，所以，X1,元2也是一元二次方程X2—ai+x2）x+x「X2=0.因此有

2

以两个数XI,X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是X—（Xl+x2）x+xrX2=0.

【例题选讲】

例1已知关于无的一元二次方程3f—2x+&=o,根据下列条件，分别求出女的范围:

（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根

（3）方程有实数根；（4）方程无实数根.

例2已知实数x、y满足d+9一孙+2x-y+l=0,试求％、y的值.

例3若须,％是方程W+2x—2007=0的两个根，试求下列各式的值：

11

?91

(1)%~+%2；⑵—---;(3)(%-5)(工2-5)；(4)IXj—x21.

例4已知王,乙是一元二次方程4后2_4"+A+1=0的两个实数根.

3

（1）是否存在实数%,使（2%一%）（玉一29）=一5成立？若存在，求出左的值；若不存在，请说明理由.

（2）求使立+工-2的值为整数的实数女的整数值.

x2X]

【巩固练习】

1.若王,乙是方程2/-61+3=0的两个根，则工+1•的值为（）

王々

CC19

A.2B.—2C.—D.一

22

2.若，是一元二次方程以、版+c=0（。/0）的根,则判别式A=。2一4牝和完全平方式”=（2m+加2

的关系是（）

A.A-MB.△>〃C.A<A7D.大小关系不能确定

3.设',々是方程x2+px+c/=O的两实根，玉+1,々+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两实根，则p=

，q=―•

4.已知实数。，仇c满足。=6—。,。2=次?-9,则。=,b-,c=.

5.己知关于%的方程/+3%-加=0的两个实数根的平方和等于11,求证：关于x的方程

（k-3）x2-hkmx-m2+6加一4=0有实数根.

6.若为,%是关于x的方程/—（2A+l）x+r+i=o的两个实数根，且芯都大于1.

⑴求实数2的取值范围；⑵若;;，求人的值.

专题三二次函数

【要点回顾】

1.二次函数y=ax2+/>x+c的图像和性质

问题口］函数与y=*2的图象之间存在怎样的关系？

问题［2］函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数)，=加+-+。(#0)的图象的方法：

,,,,,,,b,,b,b2b2,bb2-4ac.

由于丫="2+6彳+°="&2—x)+c=a(x02H—xH----)+<?-------a(x+—)+----------,所以，y=

aa4a~4a2a4a

加+fet+c(W0)的图象可以看作是将函数的图象作左右平移、上下平移得到的，

二次函数>=4必+加：+，(中0)具有下列性质：

［1］当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口方向；顶点坐标为,对称轴为直

线；当________时，y随着x的增大而；当________时，y随着x的增大而；当

时，函数取最小值.

［2］当a<0时，函数y^a^+bx+c图象开口方向；顶点坐标为,对称轴为直

线；当________时，y随着x的增大而；当______时，y随着x的增大而—；当时，

函数取最大值_________.

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此，在今后解决二次函数问题时，可以借

助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.

2.二次函数的三种表示方式

⑴二次函数的三种表示方式：

(1).一般式：;

(2).顶点式：；

(3).交点式：.

说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,

可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式:

①给出三点坐标可利用一般式来求；

②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求.

③给出三点，其中两点为与X轴的两个交点（网,0）.（工2,0）时可利用交点式来求.

3.分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数.

【例题选讲】

例1求二次函数y=-31一6x+l图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当

x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象.

例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关

系如下表所示：

元/元130150165

W件705035

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为

多少元？此时每天的销售利润是多少？

例3已知函数y=x2,-24x«a,其中求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和

最小值时所对应的自变量x的值.

例4根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

（1）已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+l上，并且图象经过点（3,-1）；

（2）已知二次函数的图象过点（-3,0）,（1,0）,且顶点到x轴的距离等于2；

（3）已知二次函数的图象过点（一1,-22）,（0,-8）,（2,8）.

例5在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过

40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg（0〈烂100）的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数

表达式，作出函数图象.

分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的.所以，可以用分段函数给

出其对应的函数解析式.在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜立40）变化时，它所对

应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）.

80,XG(0,20]

160尤e(20,40]

解：设每封信的邮资为〉(单位：分)，则y是x的函数.这个函数的解析式为y240,xe(40,60]

320xe(60,80]

400,xe(80,100]

N分)’

400-

320-

240-

160

80

O20406080100网克)

由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示.

【巩固练习】

1.选择题：

(1)把函数y=—(x—1尸+4的图象的顶点坐标是()

(A)(-1,4)(B)(-1,-4)(C)(1,-4)(D)(1,4)

(2)函数y=—f+4x+6的最值情况是()

(A)有最大值6(B)有最小值6

(C)有最大值10(D)有最大值2

(3)函数y=2/+4x—5中，当一3力<2时，则y值的取值范围是()

(A)-3<y<l(B)-7<}<1

(C)-7<y<ll(D)-7<y<ll

2.填空：

(1)已知某二次函数的图象与x轴交于4(-2,0),B(l,0),且过点C(2,4),则该二次函数的表达

式为.

(2)已知某二次函数的图象过点(一1,0),(0,3),(1,4),则该函数的表达式为.

3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

(1)已知二次函数的图象经过点A(0,-1),B(1,0),C(-1,2)；

(2)己知抛物线的顶点为(1,一3),且与y轴交于点(0,1)；

(3)己知抛物线与x轴交于点M(-3,0),(5,0),且与y轴交于点(0,-3)；

(4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点间的距离为4.

4.如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡.已

知墙的长度为6m,问怎样围才能使得该矩形面积最大？

5.如图所示，在边长为2的正方形ABC。的边上有一个动点P,从点A出发沿折线ABC。移动一周后,

回到A点.设点A移动的路程为x,△B4C的面积为y.

(1)求函数y的解析式；

(2)画出函数y的图像；

(3)求函数)，的取值范围.

★专题六二次函数的最值问题

【要点回顾】

1.二次函数y=ox?+bx+c(a/0)的最值.

h-b~

二次函数在自变量X取任意实数时的最值情况(当a>0时，函数在处取得最小值--------,

2a4a

无最大值；当a<0时，函数在》=一二h处取得最大值上一-h~，无最小值.

2a4a

2.二次函数最大值或最小值的求法.

第一步确定a的符号，a>0有最小值，4<0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.

3.求二次函数在某一范围内的最值.

如：y=ax2+hx+c^.m<x<n(其中"?<〃)的最值.

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x=

第二步：讨论：

[1]若a>0时求最小值或a<0时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于即x0<m,即对称轴在x<，的左侧；

②对称轴，”4用4h即对称轴在加《在/的内部；

③对称轴大于〃即不>〃，即对称轴在mWW，的右侧。

[2]若a>0时求最大值或a<0时求最小值，需分两种情况讨论：

①对称轴与4气匕，即对称轴在〃的中点的左根9；

②对称轴毛＞空尸，即对称轴在加WxW”的中点的右侧；

说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况,

参考例4。

【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值.

(1)y2x~—3x5；(2)y—x~—3x+4.

例2当1WxW2时，求函数y=-x?-x+1的最大值和最小值.

例3当xNO时，求函数y=-x(2-x)的取值范围.

1.5

例4当+l时，求函数y=]—二的最小值(其中，为常数).

'22

【巩固练习】

1.抛物线y=f—(/〃—4)x+2m—3,当加=时，图象的顶点在y轴上；当机=时，图象

的顶点在x轴上；当机=时，图象过原点.

2.用一长度为/米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为.

3.设。＞0,当一IWXWI时，函数y=-f一改+〃+1的最小值是t,最大值是0,求a,匕的值.

4.已知函数y=/+2ar+l在一1WxW2上的最大值为4,求a的值.

5.求关于x的二次函数y=f-2枕+1在一1WxW1上的最大值(f为常数).

•各专题参考答案•

专题一因式分解答案

例1分析：（1）中应先提取公因式再进一步分解；（2）中提取公因式后，括号内出现“6一加，可看着是

（/）2一面）2或（/）3一（/）3.

解：（1）3a35—81/=36（/一27b3）=3伙a—36）（6?+3a〃+9/）.

(2)a1-abb=a(a6-b6)=a(ay+Z?3)(a3-b3)=a(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)

=a(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ah+b1)

例2(1)分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式.

解：ab(c2-d2)-(a2-b2)cd-abc1-abd2-a2cd+b2cd-(abc2-a2cd)+(h2cd-abd2)

=ac(Jbc-ad)+bd(bc-ad)=(be—ad\ac+bd)

(2)分析：先将系数2提出后，得至"d+2芝y+y2-4z2,其中前三项作为一组，它是一个完全平方式,

再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式.

解：2f+4xy+2y2-8z2=2(x2+2xy+y2-4z2)=2[(x+y)2一(2z>]=2(x+y+2z)(x+y-2z)

例5解:—3x2+4=(x3+1)—(3x2-3)=(x+l)(x2—x4-1)—3(x+l)(x—1)

=(x+l)[(x2—x+1)—3(x-1)]=(x+l)(x2-4x+4)=(x+l)(x-2)2

【巩固练习】

1.(1)(be+ad)(ac-bd);(2)(x-4m+2n)(x-2n);(3)(x2-4x+8)(x2+4x+8);

(4)(x-l)(x-3)(x-7);(5)(x-2y)2(x+2y).

28

2.—；

3

3.(—+x-1)+(~+3x+1)=JC+4x=x(x+4)

其他情况如下：(g%-1)+(g一幻=冗2-i=(冗+])。-1)；

(g/+3x+l)4-(-^X2-x)=x2+2x4-1=(x+l)2.

4.a，+erc+b~c一abc+b，—(〃一一ah+h~)(a+/?+c)

专题二一元二次方程根与系数的关系习题答案

,11

例1解：•••△=(-2)2-4x3xk=4-12Z,.\(1)4—12Z〉0=Z〈一；(2)4-12女=0=>%=—；

33

(3)4-12A:>0=>^>-(4)4-12^<0=>A:<-.

3;3

例2解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：f—(y-2)x+y2—丁+1=0

由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：△=[-(J-2)]2-4(/-y+l)=-3y2>0^y=0,

代入原方程得：X2+2X+1=0=>X=-1.综上知：x=—l,y=O

例3解：由题意，根据根与系数的关系得：玉+赴=-2,4々=一2007

(1)=(%+々)2-2中2=(-2)2-2(-2007)=4018

11%|+x-22

(2)---1--=------2=------=-----

%x2x,x2-20072007

(3)(玉一5)(%-5)=%马一5(再+/)+25=-2007-5(-2)+25=-1972

(4)|%]—x21=J(X]-々A-+工2>—4工]工2="(-2)2-4(-2007)=2,2008

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：引2+/2=(玉+/)2—2王%，

—I=---—,(X|—x,)'=(%+x,)'—4X]X,,|X]—尤，|=J(x+/)~—4%与等等.韦达定理体现了

玉x2xtx2-*

整体思想.

【巩固练习】

1.A；2.A；3.p=~\,q=—3；4.a=3,b=3,c=0；5.m—\(1)当攵=3时，方程为

3

3x+l=0,有实根；(2)当左。3时，A>0也有实根.6.(1)—且左。1；(2)k=7.

4

专题三二次函数参考答案

例1解：•.j，=-3x2—6x+l=-3(x+l)2+4,.•.函数图象的开口向下；对称轴是直线》=一1；顶点坐标

为(―1,4)；

当》=一1时，函数y取最大值y=4；

当x<-l时，y随著x的增大而增大；当x>-l时，，y随着x的增大而减小；

采用描点法画图，选顶点4(—1,4)),与x轴交于点8(24二3,0)和c(—+3,0),

与)，轴的交点为0(0,1),过这五点画出图象(如图2—5所示).

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出

关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.

例2分析：由于每天的利润=日销售量yx(销售价x—120),日销售量y又是销售价x

的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价

x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.

解：由于y是x的一次函数，于是，设丫=履+(B),将x=130,y=70；x=150,y=

・/70=130左+。，

50代入方程，有4解得k=~\,h=200.：.y=-x+200.

5Q=\50k+b,

设每天的利润为z(元)，则z=(-x+200)(x-120)=-^+320X-24000=-(x-160)2+1600,

.•.当x=160时，z取最大值1600.

答：当售价为160元/件时,每天的利润最大，为1600元.

例3分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对“的取值进行讨论.

解：(1)当。=-2时，函数y=W的图象仅仅对应着一个点(一2,4),所以，函数的最大值和最小值都

是4,此时x=-2；

(2)当一2<a<0时，由图2.2—6①可知，当x=-2时，函数取最大值y=4；当x=a时，函数取

最小值y—a2；

(3)当0&V2时，由图2.2—6②可知，当犬=-2时，函数取最大值y=4；当x=0时，函数取最

小值y=0；

(4)当位2时，由图2.2—6③可知，当x=a时，函数取最大值y=“2；当x=0时，函数取最小值

y=0.

©②

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对〃的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所斫究的二

次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助

于函数图象来直观地解决问题.

例4(1)分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函

数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a.

解：•.•二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，.•.顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y

=x+1上，所以,2=x+1,：.x=\.：.顶点坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为y=a(x-2)2+l(a<0),

♦••二次函数的图像经过点(3,-1),：.-l=a(3-2)2+l,解得。=一2.

二次函数的解析式为y=-2(x—2-+1,即丫二一北+时一7.

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数

的顶点式，最终解决了问题.因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解

决问题.

(2)分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的

交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式.

解法一：；二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),.•.可设二次函数为)，=a(x+3)(x—l)(a/)),展开，

-12a2-4a2

得>=加+2办一3a,顶点的纵坐标为------------=-4a,由于二次函数图象的顶点到x轴的距离

11,31,3

2,4a|=2,即a=±-.所以，二次函数的表达式为y=—/——，或y=—+一.

22222

分析二：由于二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),所以，对称轴为直线x=-l,又由顶点到x轴

的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或一2,于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再

利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.

解法二：•.•二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),...对称轴为直线》=一1.又顶点到，轴的距离为

2,.•.顶点的纵坐标为2,或一2.于是可设二次函数为y=a(x+1产+2,或y=a(x+1/—2,由于函数图象

过点(1,0),.,.0=a(l+l)2+2,或0=a(l+l)2—2....a=——,或a——.所以，所求的二次函数为y

22

说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来

解题，在今后的解题过程中，要善于