高考试题数学理(北京卷)

2009年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）（北京卷）

第I卷（选择题共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1.在复平面内，复数z=i（l+2i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知向量不共线,。=攵。+力（&eR）,d=a—b,如果c〃d，那么（）

A.左=1且。与d同向B.%=1且。与d反向

C.%=—1且c与d同向D.4=—1且c与d反向

X+3

3.为了得到函数y=1g—子的图像，只需把函数y=lgx的图像上所有的点（)

A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

4.若正四棱柱与GA的底面边长为1,A用与底面ABCD成60。角,则AG

到底面ABCD的距离为()

A正B.1

-3

C.41D.6

TC

5.“a=1+2妫ZR”是£=—”)

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.若I+犷\&区51b为有理数），则”+人=)

A.45B.55C.70D.80

7.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A.324B.328C.360D.648

8.点P在直线/：y=x—l上，若存在过P的直线交抛物线＞=/于A,8两点，且

\PA=\AB\,则称点P为“力点”,那么下列结论中正确的是

)

A,直线/上的所有点都是“，名点”

B.直线/上仅有有限个点是“♦点

直线/上的所有点都不是点”

直线/上有无穷多个点(点不是所有的点)是点”

第n卷(共no分)

填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

XT1X—1

x+y-2>Q

10.若实数满足,xK4则5=^—%的最小值为.

”5

11.设/(x)是偶函数，若曲线y=/(x)在点(1J(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在

(一11)：处的切线的斜率为.

22

12.椭圆方+与=1的焦点为月，工，点尸在椭圆上，若|/>耳|=4,贝力产6|=：

NFFF?的小大为.

一,尤<0]

若函数/(x)=|x则不等式|/(x)m，的解集为.

(1r,x>o3

14.已知数列｛《,｝满足：a4„_3=1,4Z4„_|=0,a2n=an,n&N*,则％岫=

%014=-----------------------

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15.(本小题共13分)

在ZVIBC中，角A,B,C的对边分别为a/,c,B=%，cosA=&/=6.

35

(I)求sinC的值；

(II)求AA6C的面积.

16.(本小题共14分)

如图，在三棱锥P—A6C中，24_1底面48。,24=4区乙43。=60',/8。4=90",

点D,E分别在棱上，且DEMBC

(I)求证：3C_L平面PAC；

(II)当。为03的中点时，求A。与平面PAC所成的角

(III)是否存在点£使得二面角A—。七一P为直二面角？

17.(本小题共13分)

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇：可红

灯的概率都是1，遇到红灯时停留的时间都是2min.

3

(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;

(II)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间4的分布列及期望.

18.(本小题共13分)

设函数/(x)=x*(%HO)

(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(II)求函数/(x)的单调区间；

(III)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增，求人的取值范围.

19.(本小题共14分)

已知双曲线与=1(。>0/>0)的离心率为百，右准线方程为x=3

ab3

(I)求双曲线。的方程；

(11)设直线/是圆。：/+;/=2上动点尸(X0，%)(9%N0)处的切线，/与双曲线C交

于不同的两点A8,证明NAOB的大小为定值.

20.(本小题共13分)

己知数集4=｛4，4,£/„｝(1<<:/,<a1<a",”22)具有性质P；对任意的

.、a,

/,；(1</<j<n),。,勺与二两数中至少有一个属于A.

(I)分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由:

日q+/++4

(II)证明：％=1-H*一［一［一］

4+。）++

(III)证明：当〃=5时，4，%，。3，。4，。5成等比数歹父

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数学（理工农医类）（北京卷）

本试卷分第I卷（选择题）和第口卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至

9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共40分）

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B

铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。

2.每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母

为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

L在复平面内，复数z=i（l+2i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.

•.•z=i（l+2i）=i+27=—2+i,.♦.复数z所对应的点为（―2,1）,故选B.

2.己知向量。、力不共线,c=左0+GR）,d=a—b,如果c〃d,那么()

A.k=1且c与d同向B.%=1且c与d反向

C.4=—1且c与d同向D.k=—1且c与d反向

【答案】D

【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.

取“=（1,0）,/>=（0,1）,若k=1,则c=a+b=,d=a—=1）,

显然，“与办不平行，排除A、B.

若&=_],则c=—a+0=（-1,1）,d=—a+/>=—（—1,1）.

即c〃d且c与d反向，排除C,故选D.

3.为了得到函数丫=尼言的图像，只需把函数y=lgx的图像上所有的点（）

A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

【答案】C

【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查.

A.y=Ig(x+3)+l=IglO(x+3),

B.y=lg(x-3)+l=lglO(x-3),

C.y=lg(x+3)-l=lg-^,

D.y=lg(x-3)-l=lg^^.

故应选C.

4.若正四棱柱ABCO-AMGR的底面边长为1，与底面ABC。成60°角，则4G

到底面ABCD的距离为)

垂)

A.---B.1

3

c.V2D.75

【答案】D

【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、

直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.(第4题解答图)

属于基础知识、基本运算的考查.

依题意,ZBlAB=60°,如图,

BB]=1xtan60"=G,故选D.

JI1

5.“。=/+2做2足”是“c2a=—”的()

62

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、

基本运算的考查.

JT711

当a=%•+2k兀(kwZ)时,cos2a=cos4k7r+—=cos,

I332

j冗冗

反之，当cos2a=5时，有2a=2左乃+§•=>a=%%+%■(%£Z),

或2a=2k兀一三二a-kTi—^^kGZ),故应选A.

6.若(+犷J+"ab为有理数)，则a+Z?=)

A.45B.55C.70D.80

【答案】C

【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.

・••（1+司=C：（匈°+C（何+C；㈣2+C；耐+C；（0）4+以（可

=1+50+20+200+20+40=41+290,

由已知，得41+290=4+00,...0+0=41+29=70.故选C.

7.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A.324B.328C.360D.648

【答案】B

【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.属于基础知

识、基本运算的考查.

首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有用=9x8=72（个），

当0不排在末位时，有=4x8x8=256（个），

于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72+256=328（个）.故选B.

8.点P在直线/:y=x-l上，若存在过P的直线交抛物线》于两点，且

I24=1则称点P为“幺点”，那么下列结论中正确的是（）

A,直线/上的所有点都是点”

B.直线/上仅有有限个点是点”

C.直线/上的所有点都不是“抬点”

D.直线/上有无穷多个点（点不是所有的点）是“，6点”

【答案】A

【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决

问题的能力.属于创新题型.

本题采作数形结合法易于求解，如图,

设A（m,/2）,P（x,x—1）,

则B（2m—x,2n—x—2）,

*/A,6在y=x?上，

.n-jn2

2〃-x+1=（2m-x）2

（第8题解答图）

消去〃，整理得关于X的方程--（4机-l）x+2加2-1=0(1)

,:A=（4/M-I）2-4（2疗一1）=8根2_8加+5>0恒成立,

...方程（1）恒有实数解，应选A.

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数学（理工农医类）（北京卷）

第n卷（共iio分）

注意事项：

1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

三

题号二总分

151617181920

分数

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

c..x4x-x

9.Iim-------=__________.

XT।x-1

【答案】-

2

【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”.属于基础知识、

基本运算的考查.

..x4x-x..x4x-x..-X11

lim-------=Iim-----z—=Iim-；———~r=—7=lirn—产—=—,故应填一.

7x-1+216+122

x+y—220

10.若实数满足贝Us=y-x的最小值为.

皿5

【答案】-6

【解析】本题主要考查线性规划方面

的基础知.属于基础知识、基本运算

的考查.

如图，当x=4,y=—2时，

sy-x-2-4^-6为最小值.

故应填-6.

(第10题解答图)

11.设/(x)是偶函数，若曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在

(一1JG1)；处的切线的斜率为.

【答案】-1

【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念.属于基础知识、基本运算

的考查.

【答案】2,120°

【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属

于基础知识、基本运算的考查.

*.*cr—9,b1—3,

c=yja2-b~=J9-2=y/l>

用=2。

又|P.=4,|P耳|+|PR|=2a=6,(第12题解答图)

.可叫=2,

22+42-(2V7)2]

又由余弦定理，得cosPF,=--------——=一一

2x2x42

A=120°,故应填2,120°.

^FXPF2

一,x〈0I

13.若函数/(1)={X则不等式|/(x)|2上的解集为

(1r,x>o3

【答案"-3,1]

【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考

查.

x<0

⑴由|/(x)但

x>0x>0

(2)由、*(J\vJ=5>O<X<1.

>—

3413-3

...不等式|/(幻但|的解集为｛xI-3WxW1｝,...应填[-3,1].

14.已知数列｛《,｝满足：a4n_3=1,4Z4„_|=0,a2n=an,n&N*,则％期=

%014=---------------------

【答案】1,0

【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.

依题意，得々

009=“4x503-3=1。2014—%xl007=41007=。4)<252-1=°,

二应填1,0.

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.(本小题共13分)

在AA6C中，角A,8,C的对边分别为a,仇c,6=工，cosA=-,^=V3.

35

(I)求sinC的值；

(II)求AABC的面积.

【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基

础知识，主要考查基本运算能力.

JT4

(I),:A、B、C为AABC的内角，且8=一,cosA=一，

35

2万.3

••C=------A,sinA=一,

35

..二.「2乃八G.1.43+46

・・sinC=sin------A=—cosA-\—sinA=----------.

I3J2210

(II)由(I)知sinA=°,sinC="4G,

510

又・・,8=工/=G，・••在AABC中，由正弦定理，得

3

&sinA6

a=---------=—.

sinB5

.-.△ABC的面积5」加11(7='如百*3+46=36+班

2251050

16.(本小题共14分)

如图，在三棱锥P—ABC中，24_1底面43。,24=4£乙43。=60°,/8。4=90",

点、D,E分别在棱PB,PC上，旦DEIIBC

(I)求证：3C_L平面PAC；

(II)当。为的中点时，求AO与平面PAC所成的角的大小；

(III)是否存在点E使得二面角A—班一P为直二面角？并说明理由.

【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空

间想象能力、运算能力和推理论证能力.

(I)：PA_L底面ABC,APA1BC.

又NBC4=9CT,.*.AC±BC.

；.BCJ_平面PAC.

(II)YD为PB的中点，DE〃BC,

:.DE=-BC,

2

又由(I)知，BC_L平面PAC,

；.DE，平面PAC,垂足为点E.

/.ZDAE是AD与平面PAC所成的角，

：PA_L底面ABC,APA±AB,又PA=AB,

/.AD=4=AB,

•••△ABP为等腰直角三角形,

72

...在RtZ\ABC中，ZABC=60",：.BC^-AB.

2

...在RtZXADE中，sinZDAE=-=^-=—,

AD2AD4

・..AO与平面PAC所成的角的大小arcsin乎

(HI)VDE//BC,又由(I)知，BC_L平面PAC,；.DE_L平面PAC,

又；AEu平面PAC,PEu平面PAC,/.DE1AE,DE1PE,

/.ZAEP为二面角A—DE—P的平面角，

:PA_L底面ABC,PA1AC,ZPAC=90".

在棱PC上存在一点E,使得AE_LPC,这时NAEP=90°,

故存在点E使得二面角A-DE—P是直二面角.

【解法2］如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系A-孙z,

设PA=a,由已知可得

(।旧、(h\

A(O,O,O),B——a,—a,0,CO,—a,Q，尸(0,0,a).

<22JI2,

(I)•；AP=(0,0,a),3C=(ga,0,0),

ABCAP=Q,：.BC1AP.

又；NBCA=90",/.BC±AC,；.BC_L平面PAC.

(H)YD为PB的中点，DE〃BC,；.E为PC的中点,

二又由(I)知，BC_L平面PAC,......口£，平面PAC,垂足为点E.

?.ZDAE是AD与平面PAC所成的角，

(1G1八百1]

A£>=1.u,—a,—a

I442JI42J

V14

cosZDAE-网.网

V14

与平面PAC所成的角的大小arcss1

(III)同解法1.

17.(本小题共13分)

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红

灯的概率都是,，遇到红灯时停留的时间都是2min.

3

(I)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

(II)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间自的分布列及期望.

【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随

机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.

(I)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于

事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的

]_4

概率为P(A)=0_]xl4x

327

(II)由题意，可得J可能取的值为0,2,4,6,8(单位：加").

事件“J=2Z”等价于事件“该学生在路上遇到女次红灯”(Z=0,1,2,3,4),

.(”2%)=喏)[|1伙=0,123,4),

.•.即J的分布列是

02468

P1632881

8181278181

的期望是EJ=0x3+2x王+4xg+6x§+8x，=§.

81812781813

18.(本小题共13分)

设函数/(幻=刀*伏声0)

(I)求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程：

(II)求函数/(幻的单调区间；

(III)若函数/(幻在区间(一1,1)内单调递增，求人的取值范围.

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综

合分析和解决问题的能力.

(I)/(x)=(l+fcr)A/'(O)=l,/(O)=O,

曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=x.

(II)由/'(x)=(l+京)*=0,得X=—』(人力0),

k

若左>0,则当8,—时，/(x)<0,函数/(x)单调递减，

当尤d-++8,]时，/(x)>o,函数“X)单调递增，

若左<0,则当8,—时，/(x)>0,函数/(力单调递增，

当xe",+o)J时，f(x)<0,函数单调递减,

（Ill）由（H）知，若左>0,则当且仅当一，4一1,

k

即女W1时，函数内单调递增，

若左<0,则当且仅当——>1,

k

即女2—1时，函数/（x）（—1,1）内单调递增，

综上可知，函数/（X）（-1,1）内单调递增时，上的取值范围是[一1,0）（0,1].

19.（本小题共14分）

已知双曲线C:二一二=1（。〉0/>0）的离心率为73,右准线方程为x=-

ab3

（I）求双曲线。的方程；

（II）设直线/是圆O：f+y2=2上动点P（%,%）（毛为丰0）处的切线，/与双曲线。交

于不同的两点A3,证明NA08的大小为定值.

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.

a1

（I）由题意，得‘C,3,解得。=1,。=6，

£=6

[a

2

：.〃=H一/=2,.••所求双曲线C的方程为Y-21=1.

2

（II）点工0）在圆了2+y2=2上,

圆在点P（面,%）处的切线方程为了一为=-£（%-/），

化简得工01+%y=2.

I£1

由，2及片+必=2得（3片一4）%2—4/％+8—2片=0,

•.•切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,且0<x；<2,

3片一4H0,且△=16片一4（3片—4）（8—2片）〉0,

设A、B两点的坐标分别为）,（超,%），

则X,+X2

0408

cosNAOB=且

|OA|-|OB|

xx-x（）玉）（2-龙0*2）'

OAOB=XjX2+y%=\i+

X|*2+[4-2%（玉+%）+*X|%2]

Z一%

=8-2片+]|-4_84+/（8-2%）

3xg-42-XQ3XQ-43元:-4

__8-2诟_8-2君_0

-3x^-4-3^-4-,

二ZAQB的大小为90°.

【解法2】（I）同解法1.

（II）点*0）在圆f+丁=2上,

圆在点尸（如为）处的切线方程为y——%），

2y2i

化简得%/+为丁=2.由广2及片+y；=2得