研究生工程数学(数值分析)复习

研究生工程数学(数值分析)复习目录绪论插值法函数逼近与最小二乘法数值积分与数值微分线性方程组的直接解法与迭代解法非线性方程求根与最优化方法绪论01数值分析是研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论的学科，研究对象包括数值逼近、数值微分和积分、线性方程组的数值解法、非线性方程求根、矩阵特征值和特征向量的计算、最优化计算问题等。数值分析注重利用计算机进行大规模的计算和模拟，以得到各种数学问题的近似解；同时，由于计算机的字长限制和舍入误差等因素，数值计算的结果通常会有一定的误差，因此数值分析也研究如何减小误差、提高计算精度和稳定性。数值分析的研究对象数值分析的特点数值分析的研究对象与特点在数值计算中，误差主要来源于模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等方面。其中，模型误差是由于数学模型与实际问题之间的差异引起的；观测误差是由于观测数据的不准确性或不完全性引起的；截断误差是由于采用近似算法而产生的误差；舍入误差是由于计算机字长限制而产生的误差。误差来源根据误差的性质和影响范围，数值计算中的误差可分为局部误差和全局误差。局部误差是指每一步计算中产生的误差，它只影响当前步的计算结果；全局误差是指整个计算过程中所有步骤产生的误差累积起来对最终结果的影响。误差分类数值计算的误差来源与分类算法稳定性与收敛性的基本概念算法的稳定性是指当输入数据有微小变化时，算法的输出结果不会发生大的变化。在数值计算中，稳定性是一个重要的指标，因为不稳定的算法可能会导致计算结果的严重失真。为了提高算法的稳定性，可以采用一些稳定化技术，如增加迭代次数、使用高精度算法等。算法稳定性算法的收敛性是指当迭代次数趋于无穷时，迭代算法所得到的近似解是否趋近于精确解。收敛性是判断迭代算法好坏的重要指标之一。在数值计算中，通常采用一些加速收敛的技术来提高算法的收敛速度，如松弛法、共轭梯度法等。同时，也需要对算法的收敛性进行理论分析和实验验证，以确保算法的正确性和可靠性。算法收敛性插值法02基本概念插值法是一种通过已知数据点构造一个近似函数的方法，使得该函数在已知点上取值与数据点一致，而在未知点上则通过某种方式（如多项式、样条等）进行逼近。插值问题的提出在实际问题中，往往需要根据一组离散的数据点来寻找一个近似函数，以便在这些点之间或之外进行预测或计算。插值法就是解决这类问题的一种有效方法。插值问题的提出与基本概念拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方法。它通过构造一组以数据点为根的拉格朗日基函数，然后将这些基函数线性组合得到插值多项式。拉格朗日插值法具有形式简洁、易于计算等优点，但在数据点较多时可能出现龙格现象。牛顿插值法牛顿插值法是一种基于差商的插值方法。它通过构造差商表并利用差商的性质，得到牛顿插值多项式。牛顿插值法具有承袭性和易于增加新数据点的优点，因此在某些情况下比拉格朗日插值法更为适用。拉格朗日插值与牛顿插值法误差分析插值法的误差主要来源于两个方面：一是由于数据点的离散性导致的逼近误差；二是由于插值多项式的选择导致的截断误差。为了减小误差，可以选择更合适的插值多项式，或者采用其他逼近方法如最小二乘法等。收敛性对于插值法而言，收敛性是一个重要的问题。一般来说，当数据点足够密集且分布合理时，插值多项式可以在一定程度上逼近原函数。然而，在某些情况下（如龙格现象），即使数据点非常密集，插值多项式也可能无法收敛到原函数。因此，在实际应用中需要注意选择合适的插值方法和参数以保证收敛性。插值法的误差分析与收敛性函数逼近与最小二乘法03插值法01通过已知数据点构造多项式或分段多项式，使得该多项式在数据点上取值与已知值相等。02逼近法通过构造一个较为简单的函数（如多项式、三角函数等），使得该函数在某种意义下（如最小二乘意义下）与已知函数足够接近。03拟合法通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在某种意义下（如最小二乘意义下）与数据点的总体趋势相符合。函数逼近的基本概念与方法最小二乘法原理通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。它利用最小化误差的平方和来构建拟合曲线，可以简单高效地实现数据拟合。线性最小二乘法处理自变量和因变量之间存在线性关系的情况，通过求解线性方程组得到拟合参数。非线性最小二乘法处理自变量和因变量之间存在非线性关系的情况，通过迭代算法（如牛顿法、梯度下降法等）求解拟合参数。应用领域广泛应用于统计学、数据分析、机器学习等领域，如回归分析、曲线拟合、参数估计等。最小二乘法的原理与应用正交多项式01一组满足正交性的多项式，即不同次数的多项式在特定权函数下的内积为零。常见的正交多项式有勒让德多项式、切比雪夫多项式等。最佳平方逼近02在给定的一组基函数（如正交多项式）中，寻找一个最佳逼近函数，使得该函数与已知函数在某种范数（如L2范数）下最接近。最佳平方逼近具有唯一性、最优性等性质。应用领域03正交多项式和最佳平方逼近在数值分析、计算数学等领域有着广泛应用，如数值积分、微分方程求解、函数逼近等。正交多项式与最佳平方逼近数值积分与数值微分04牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过构造插值多项式来推导出的数值积分公式。梯形公式与辛普森公式分别基于梯形面积和抛物线面积来近似代替曲边梯形面积，从而推导出的数值积分公式。数值积分的基本思想通过构造一个易于计算的函数（如多项式函数）来近似代替被积函数，从而将复杂的积分问题转化为简单的函数求值问题。数值积分的基本思想与公式推导通过将积分区间划分为多个小区间，并在每个小区间上应用基本求积公式，然后将结果累加起来得到复合求积公式。复合求积公式复合求积公式的收敛性是指当小区间划分越来越细时，近似值与精确值的误差趋于零；稳定性是指当被积函数或积分区间发生微小变化时，近似值不会发生大的波动。收敛性与稳定性复合求积公式及其收敛性与稳定性VS通过选取特定的节点和权系数，使得对于某些特定的多项式函数，高斯求积公式具有最高的代数精度。应用举例高斯求积公式在数值计算中具有广泛的应用，如求解定积分、重积分、曲线拟合等问题。例如，在求解定积分时，可以选取适当的高斯节点和权系数，将定积分转化为离散点上的函数求值问题，从而简化计算过程并提高计算精度。高斯求积公式高斯求积公式及其应用举例线性方程组的直接解法与迭代解法05高斯消元法与列主元消元法通过对方程组进行初等行变换，将系数矩阵化为上三角矩阵，然后回代求解。列主元消元法改进在每次消元前，选取所在列绝对值最大的元素作为主元，通过交换行使得主元位于主对角线上，然后进行消元。这种方法能够减少计算误差，提高数值稳定性。算法步骤与实现首先构造增广矩阵，然后对增广矩阵进行初等行变换，包括倍加变换和互换变换，使得系数矩阵化为上三角矩阵。最后通过回代过程求解未知量。高斯消元法基本思想雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法首先给出迭代初值，然后根据迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件为止。在迭代过程中，需要注意选择合适的松弛因子以保证算法的收敛性。算法步骤与实现将系数矩阵分解为对角矩阵和剩余部分，通过迭代的方式逐步逼近方程组的解。雅可比迭代法基本思想在每次迭代过程中，利用已经求出的最新近似值来更新剩余未知量的估计值，从而加速收敛速度。高斯-赛德尔迭代法改进超松弛迭代法（SOR）基本思想引入松弛因子对高斯-赛德尔迭代法进行加速，通过调整松弛因子的取值来控制收敛速度。共轭梯度法（CG）基本思想利用已知的一些向量构造一组共轭方向，然后沿着这组方向进行搜索，以求得方程组的解。共轭梯度法具有较快的收敛速度和较低的存储需求。算法步骤与实现对于超松弛迭代法，需要选择合适的松弛因子并设置迭代初值，然后进行迭代计算。对于共轭梯度法，首先计算初始梯度向量并设置搜索方向，然后在每个迭代步中更新解向量和梯度向量，并重新计算搜索方向，直到满足收敛条件为止。超松弛迭代法与共轭梯度法非线性方程求根与最优化方法06二分法与简单迭代法求解非线性方程二分法基于连续函数中间值定理，通过不断将区间二分并判断函数值的符号，逐步缩小解的范围，直至达到精度要求。简单迭代法通过构造一个迭代序列，使得当迭代次数趋于无穷时，序列的极限为方程的根。需要选择合适的初值和迭代格式以保证收敛。基于泰勒展开式，通过求解线性方程组得到迭代格式。具有二阶收敛速度，但需要计算函数的导数和二阶导数。牛顿迭代法的收敛性取决于初值的选择和函数的性质。当初值充分接近方程的根且函数满足一定条件时，牛顿迭代法