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文档简介
八年级初二数学第二学期平行四边形单元专项训练检测试卷
一、选择题
1.如图,已知平行四边形ABC。,AB=6,BC=9,NA=12()。,点P是边A3上一
动点,作尸£,BC于点E,作ZEPF=120。(PE在PE右边)且始终保持
C.3屈<机<9+3bD.3百+3S<加<3b+9
2.对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形
的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边
长的最小整数甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长工,再取最小
整数〃.
甲:如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取〃=13.
乙:如图3,思路是当X为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取"=14.
丙:如图4,思路是当X为矩形的长与宽之和的注倍时就可移转过去;结果取〃=13.
2
下列正确的是()
C.甲和丙的〃值都对
D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对
3.如图,在正方形ABCD中,点P是AB的中点,BE_LDP的延长线于点E,连接AE,
过点A作FALAE交DP于点F,连接BF、FC.下列结论中:①ABE岭ADF;
②PF=EP+EB;(3)BCF是等边三角形;④/ADF=/DCF;⑤SL=SCDF-其
中正确的是()
BC
A.(D®③B.④1C.©©⑤D.①®@
4.如图,在ABC中,A8=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,
PE_LAB于E,PFLAC于F,M为E尸中点,则40的最小值为()
BPC
24_12
A.—B.4C.5D.—
55
5.如图,四边形ABCD是正方形,直线L1、1_2、L3,若L1与L2的距离为5,L2与L3的距离
7,则正方形ABCD的面积等于()
一/
,2/6,
A.70B.74C.144D.148
6.如图,四边形ABCD中,AD〃BC,ZABC+ZDCB=90°,且BC=2AD,以AB、BC、DC为
边向外作正方形,其面积分别为耳、S?、$3,若S1=3,S3=8,则邑的值为()
力
A.22B.24C.44D.48
7.如图,平行四边形A8CD中,对角线AC、B。相交于点0,AD=-AC,M、N、P分别
2
是。A、。8、CD的中点,下列结论:
①CA/_LBD;
②MN=NP;
③四边形MNCP是菱形;
④ND平分/PMM.
其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.如图,矩形纸片ABCD,AB=a,BC=b,满足将此矩形纸片按下面顺
2
序折叠,则图4中MN的长为(用含兄。的代数式表示)()
图1图2图3图4
3,1,
A.2b—aB.—2aC.—b+aD.—b+ci
22
9.在ABC户中,BC=2AB,8,43于点£>,点E为Ab的中点,若
NAOE=50°,则D3的度数是()
A.50°B.60°C.70°D.80°
10.如图,一个四边形花坛ABCD,被两条线段MN,EF分成四个部分,分别种上红、黄、
紫、白四种花卉,种植面积依次是Si、S2、S3、S4,若MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,则有
A.Si=S4B.Si+S4=S2+S3C.SI+S3=S2+S4D.Si,S4=S2•S3
二、填空题
11.如图,正方形ABCD的对角线相交于点。,对角线长为1cm,过点0任作一条直线分
别交AD,BC于E,F,则阴影部分的面积是
12.如图所示,菱形ABCD,在边A8上有一动点E,过菱形对角线交点。作射线E。与CD
边交于点F,线段EF的垂直平分线分别交8C、AD边于点G、H,得到四边形EGFH,点E
在运动过程中,有如下结论:
①可以得到无数个平行四边形EGFH;
②可以得到无数个矩形EGFH;
③可以得到无数个菱形EGFH;
④至少得到一个正方形EGFH.
所有正确结论的序号是_.
13.如图,四边形ABCD是菱形,NDAB=48°,对角线AC,BD相交于点。,OH_LAB于
H,连接。H,则NDHO=度.
14.如图,在等边ABC和等边£>所中,尸£)在直线4c上,BC=3OE=3,连接
BD,BE,则BD+BE的最小值是.
15.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,E为BC边上一动点,作EFJ_AE,且EF=
AE.连接DF,AF.当DF_LEF时,ZSADF的面积为.
D
BE
16.如图,菱形ABC。的边长是4,NABC=60°,点E,尸分别是A6,BC边上的
动点(不与点A,B,。重合),且BE=BF,若EG//BC,FG//AB,EG与FG相
交于点G,当AZX7为等腰三角形时,破的长为.
17.如图,QABCD中,ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则2PB+PD
的最小值等于.
AB
18.如图,四边形A3C尸是边长为4的正方形,点E在边CP上,PE=1;作£F〃BC,分别
交AC、A8于点G、F,M、N分别是AG、BE的中点,则的长是.
19.如图,点£、F分别在平行四边形ABCD边BC和AD上(£、F都不与两端点重合),
AR
连结AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于点G,DE和CF交于点H.令——=",
BC
EC
一=〃?.若加=〃,则图中有个平行四边形(不添加别的辅助线);若
BC
m+n=\,且四边形ABC。的面积为28,则四边形FGEH的面积为.
D
20.如图,在平行四边形ABC。中,AB=5,AD=3,/明。的平分线AE交CO于点
E,连接BE,若NBAD=NBEC,则平行四边形ABCD的面积为.
三、解答题
21.如图,矩形。8CD中,OB=5,。。=3,以。为原点建立平面直角坐标系,点8,点。
分别在x轴,y轴上,点C在第一象限内,若平面内有一动点P,且满足S“OB=;S矩形
OBCD)问:
(1)当点P在矩形的对角线。C上,求点P的坐标;
(2)当点P到。,B两点的距离之和PO+PB取最小值时,求点P的坐标.
22.如图,在RtABC中,/B=90。,AC=60cm,/A=60。,点D从点C出发沿CA方向
以4cm/s的速度向点A匀速运动.同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B
匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间
是ts(0<t<15).过点D作DF_LBC于点F,连接DE,EF.
(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;
(3)当t为何值时,DEF为直角三角形?请说明理由.
23.综合与实践.
问题情境:
如图①,在纸片OABCD中,4)=5,SAecD=15,过点A作AE_L5C,垂足为点
E,沿AE剪下八钻石,将它平移至DCE'的位置,拼成四边形A£E'E>.
独立思考:(1)试探究四边形A££'£>的形状.
深入探究:(2)如图②,在(1)中的四边形纸片中,在EE、上取一点尸,使
EF=4,剪下AEF,将它平移至VDEF'的位置,拼成四边形A"'。,试探究四边形
AFKD的形状;
拓展延伸:(3)在(2)的条件下,求出四边形的两条对角线长;
(4)若四边形ABCO为正方形,请仿照上述操作,进行一次平移,在图③中画出图形,
标明字母,你能发现什么结论,直接写出你的结论.
图①图②图③
24.如图,点E为。A8C。的边AD上的一点,连接EB并延长,使8F=BE,连接EC并延
长,使CG=CE,连接FG.H为FG的中点,连接DH,AF.
(1)若NBAE=70。,ZDCE=20°,求NOEC的度数;
(2)求证:四边形AFHD为平行四边形;
(3)连接EH,交BC于点。,若。C=OH,求证:EF±EG.
25.在矩形ABC。中,连结AC,点E从点3出发,以每秒1个单位的速度沿着BfA
的路径运动,运动时间为r(秒).以8E为边在矩形ABCO的内部作正方形BEHG.
(1)如图,当ABCO为正方形且点“在/\/18。的内部,连结AH,C〃,求证:
AH=CH;
(2)经过点E且把矩形ABC。面积平分的直线有条;
(3)当AB=9,8C=12时,若直线A"将矩形ABC。的面积分成1:3两部分,求f的
值.
26.如图,在心AABC中,NB=90°,AC=40cm,NA=60°,点。从点C出发沿C4方
向以4c〃?/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2的/秒的速度
向点8匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个地点也随之停止运动.设点2E运动
的时间是f秒(0<区10).过点。作于点尸,连接DE,EF.
(1)试问四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的f值;如果不能,请说明
理由;
(2)当f为何值时,NFDE=90°?请说明理由.
27.共顶点的正方形ABCD与正方形AEFG中,48=13,AE=5夜.
(1)如图1,求证:DG=BE;
(2)如图2,连结8F,以8F、8c为一组邻边作平行四边形8CHF.
①连结BH,BG,求f的值;
BG
②当四边形8CHF为菱形时,直接写出8H的长.
图1图2备用图
28.如图.正方形ABCD的边长为4,点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿射
线AD运动,运动时间为t秒(t>0),以AE为一条边,在正方形ABCD左侧作正方形
AEFG,连接BF.
(1)当t=l时,求BF的长度;
(2)在点E运动的过程中,求D、F两点之间距离的最小值;
(3)连接AF、DF,当4ADF是等腰三角形时,求t的值.
29.定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连结它的两个非直角顶点的线段叫
做这个损矩形的直径。
(1)如图1,损矩形ABCD,/ABC=/ADC=90°,则该损矩形的直径是线段AC,同时我
们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点,在公共边的同侧的两个角是相等的。
如图1中:AABC和4ABD有公共边AB,在AB同侧有/ADB和NACB,此时/ADB=
ZACB;再比如△ABC和4BCD有公共边BC,在CB同侧有NBAC和NBDC,此时/BAC=
NBDC。请再找一对这样的角来一=
(2)如图2,ZXABC中,/ABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF
的中心,连结BD,当BD平分NABC时,判断四边形ACEF为何种特殊的四边形?请说明
理由。
(3)在第(2)题的条件下,若此时AB=3,BD=4近,求BC的长。
30.在边长为5的正方形ABCD中,点E在边CD所在直线上,连接BE,以BE为边,在
BE的下方作正方形BEFG,并连接AG.
(1)如图1,当点E与点D重合时,AG=;
(2)如图2,当点E在线段CD上时,DE=2,求AG的长;
(3)若人6=手,请直接写出此时DE的长.
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一、选择题
1.D
解析:D
【解析】
【分析】
设PE=x,贝IJPB=N1X,PF=3>/3X,AP=6-空X,由此先判断出AF_LPR,然后可分
33
析出当点P与点B重合时,CF+DF最小;当点P与点A重合时,CF+DF最大.从而求出m
的取值范围.
【详解】
如上图:设PE=x,贝I」PB=RIX,PF=3J3x,AP=6-3叵x
33
:NBPE=30°,ZEPF=120°
•••ZAPE=3Q°
由AP、PF的数量关系可知4/_LP/7,ZPAF=60°
AD
(P)GMC
如上图,作/84〃=60°交812于乂,所以点F在AM上.
当点P与点B重合时,CF+DF最小.此时可求得CF=3A/J,D尸=34
如上图,当点P与点A重合时,CF+DF最大.此时可求得。尸=3近,。尸=9
36+3不<3e+9
故选:D
【点睛】
此题考查几何图形动点问题,判断出A/_LF尸,然后可分析出当点P与点B重合时,
CF+DF最小;当点P与点A重合时,CF+DF最大是解题关键.
2.B
解析:B
【分析】
根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长,即可判断甲和乙,丙中图示情况不是最
长.
【详解】
甲的思路正确,长方形对角线最长,只要对角线能通过就可以,但是计算错误,应为
n=762+122=675^14;
乙的思路与计算都正确,n=762+122=675^14;
丙的思路与计算都错误,图示情况不是最长,n=(12+6)xY£=9及心13.
2
故选B.
【点睛】
本题考查了矩形的性质与旋转的性质,熟练运用矩形的性质是解题的关键.
3.B
解析:B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得AB=AD,再根据同角的余角相等求出ZBAE=NDAF,再根
据等角的余角相等求出NABE=/ADF,然后利用"角边角"证明ABE名ADF;根据
全等三角形对应边相等可得AE=AF,判断出AEF是等腰直角三角形,过点A作
AM_LEF于M,根据等腰直角三角形点的性质可得AM=MF,再根据点P是AB的中点
得到AP=BP,然后利用"角角边"证明APM和BPE全等,根据全等三角形对应边相
等可得BE=AM,EP=MP,然后求出PF=EP+EB;根据全等三角形对应边相等求
出DF=BE=AM,再根据同角的余角相等求出NDAM=/CDF,然后利用"边角边"
证明ADM和DCF全等,根据全等三角形对应角相等可得/ADF=NDCF,
/CFD=/DMA=90;再求出CDHCF,判定BCF不是等边三角形;求出
CF>FP,AM=DF,然后求出S♦,<SCDF.
【详解】
在正方形ABCD中,AB=AD,NDAF+/BAF=90,
FA±AE,
.♦.4AE+/BAF=90,
^BAE=^DAF,
BE±DP,
.•./ABE+4PE=90,
又/ADF+/APD=90,/BPE=/APD(对顶角相等),
.•2ABE=/ADF,
在ABE和ADF中,
'/BAE=NDAF
<AB^AD,
NABE=NADF
ABE丝ADF(ASA),故①正确;
.•.AE=AF,BE=DF,
AEF是等腰直角三角形,
过点A作AM_LEF于M,则AM=MF,
点P是AB的中点,
AP=BP,
在APM和BPE中,
-NBPE=ZAPD
<NBEP=ZAMP=90,
AP=BP
APM丝BPE(AAS),
BE=AM,EP=MP,
.-.PF=MF+PM=BE+EP,故②正确;
BE=DF,FM=AM=BE.
,AM=DF,
又NADM+/DAM=90,NADM+/CDF=90,
.♦.4AM=/CDF,
在ADM和DCF,
AD=DC
<ADAM=ZCDF,
AM=DF
ADM丝DCF(SAS),
.,.CF=DM,/ADF=^DCF,NCFD=/DMA=90,故④正确;
在RtCDF中,CD>CF,
BC=CD.
CFwBC>
BCF不是等边三角形,故③错误;
CF=DM=DF+FM=EM+FM=EF。FP,
又AM=DF,
••・S.<ScDF,故⑤错误;
综上所述,正确的有①②④,
故选B.
【点睛】
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,同角或等角度余角相等的性质,三
角形的面积,综合性较强,难度较大,熟练掌握正方形的性质是解题的关键,作辅助线利
用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点.
4.D
解析:D
【分析】
先求证四边形AFPE是矩形,再根据直线外一点到直线上任一点的距离,垂线段最短,利
用面积法可求得AP最短时的长,然后即可求出AM最短时的长.
【详解】
解:连接AP,在^ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,
A
AZBAC=90°,
VPEXAB,PF±AC,
四边形AFPE是矩形,
;.EF=AP.
VM是EF的中点,
1
,\AM=-AP,
2
根据直线外一点到直线上任一点的距离,垂线段最短,
即APJ_BC时,AP最短,同样AM也最短,
11
・・SAABC=—BC・AP=—AB・AC,
22
11
—xlOAP=—x6x8,
22
24
,AP最短时,AP=一,
5
112
.,.当AM最短时,AM=-AP=—.
25
故选:D.
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角
形斜边上的中线的理解和掌握,此题涉及到动点问题,有一定难度.
5.B
解析:B
【分析】
先作出4与,2,,2与的4距离AE、CF,证明△ABEgaBCF,得至6BF=AE,再利用勾股
定理即可得到答案.
【详解】
过点A作AE112,过点C作CF1/2,
ZAEB=ZCFB=90°,
/.ZABE+ZBAE=90°,
•.•四边形ABCD是正方形,
.•.AB=BC,NABC=90°,
AZABE+ZCBF=90°,
AZBAE=ZCBF,
在4ABE和4BCF中,
2BAE=NCBF
<ZAEB=ZBFC,
AB=BC
.'.△ABE^ABCF,
,BF=AE=5,
在R3BCF中,CF=7,BF=5,
BC1=BF2+CF1=52+72=74,
正方形ABCD的面积=BC?=74,
【点睛】
此题考查正方形的性质,三角形全等的判定及性质定理,平行线之间的距离处处相等,题
中证明两个三角形全等是解题的关键,由此将两个距离5和7变化到一个直角三角形中,
由此利用勾股定理解决问题.
6.C
解析:c
【分析】
根据已知条件得到AB=J5,CD=2后,过A作AE〃CD交BC于E,贝(J/AEB=/DCB,
根据平行四边形的性质得到CE=AD,AE=CD=20,由已知条件得到/BAE=90°,根
据勾股定理得到BE=VAB2+AE2,于是得到结论.
【详解】
VSi=3,S3=8
AB=<CD=2\/2
过A作AE〃CD交BC于E
则NAEB=NDCB
VAD/7BC
...四边形AECD是平行四边形
,CE=AD,AE=CD=2及
,.-ZABC+ZDCB=90o
ZAEB+ZABC=90°
AZBAE=90°
.•.BE="K=vn
;BC=2AD
;.BC=2BE=2而
.•5=(2曰『=44
故选:C.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质,勾股定理,能正确作辅助线构造直角三角形是解决此
题的关键.
7.C
解析:C
【分析】
证出。C=BC,由等腰三角形的性质得QV_LBD,①正确;证出MN是△AOB的中位线,得
MN//AB,MN=^AB,由直角三角形的性质得NP=JCD,则MN=NP,②正确;周长
四边形MNCP是平行四边形,无法证明四边形MNCP是菱形;③错误;由平行线的性质和
等腰三角形的性质证出N/WND=NP/VD,则N。平分/PNM,④正确;即可得出结论.
【详解】
解:•.•四边形ABCD是平行四边形,
1
,AB=CD,AB〃CD,BC=AD,OA=OC=—AC,
2
1
:AD=—AC,
2
.\OC=BC,
VN是OB的中点,
.\CN±BD,①正确;
:M、N分别是OA、OB的中点,
AMN是△AOB的中位线,
AMNAB,MN=—AB,
2
VCN±BD,
NCND=90°,
VP是CD的中点,
1
;.NP=—CD=PD=PC,
2
;.MN=NP,②正确;
:MN〃AB,AB/7CD,
AMN//CD,
又:NP=PC,MN=NP,
;.MN=PC,
二四边形MNCP是平行四边形,无法证明四边形MNCP是菱形;③错误;
:MN〃CD,
AZPDN=ZMND,
VNP=PD,
;.NPDN=/PND,
/MND=NPND,
;.ND平分/PNM,④正确;
正确的个数有3个,
故选:C.
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定,三角形中位线定理,直角三角形斜边上的中线性质,
等腰三角形的性质等;熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边
上的中线性质是解题的关键.
8.B
解析:B
【分析】
如图3中,由折叠的性质可得PQ=8C=b,AiF=a-^-b,是等腰直角三角形,进
2
而可得是等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质可得EG=,MN,而
2
EG=EF-2A/,进一步即可求得答案.
【详解】
解:如图3中,由折叠的性质可得PQ=8C=b,AiF=a--b,
2
NEPQ=;ZAPQ=gx90°=45°,NEQP=gZDQP=gx90°=45°,
/PEQ=90。,
...△PEQ是等腰直角三角形,
如图4,'.'MN//PQ,
...△MNE是等腰直角三角形,
':EG±MN,
:.EG=MG=NG=-MN,
2
EG-EF-2A,F=a-2(a-b)=b-a,
:.MN=2EG=2h-2a.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及等腰直角三角形的判定与性质,正确理解题意、
熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.
9.D
解析:D
【分析】
连结CE,并延长CE,交函的延长线于点M根据己知条件和平行四边形的性质可证明
△NAE经ACFE,所以NE=CE,NA=CF,再由已知条件CD_LA8于D,NADE=50°,即可
求出N8的度数.
【详解】
解:连结CE,并延长CE,交8A的延长线于点N,
•.•四边形ABCF是平行四边形,
:.AB//CF,AB=CF,
:.NNAE=NF,
•.•点E是的AF中点,
:.AE^FE,
在△NAE和ACFE中,
"ZNAE=ZF
<AE=FE,
NAEN=NFEC
:./\NAE^/\CFE(ASA),
ANE=CE,NA=CF,
;A8=CF,
:.NA=AB,即BN=2AB,
\'BC=2AB,
:.BC=BN,NN=NNCB,
;CDJ_A8于。,即NNOC=90°且NE=CE,
1
:.DE=—NC=NE,
2
:.ZN=ZNDE=50°=ZNCB,
AZB=80°.
故选:D.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,综合性较强,难度较大,解答本题的关键是正确作出辅助
线,构造全等三角形,在利用等腰三角形的性质解答.
10.D
解析:D
【分析】
由于在四边形中,MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,因此MN、EF把一个平行四边形分割成四
个小平行四边形.可设MN到DC的距离为hi,MN到AB的距离为h2,根据AB=CD,
DE=AF,EC=FB及平行四边形的面积公式即可得出答案.
【详解】
解::MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,
四边形ABCD,四边形ADEF,四边形BCEF,红、紫、黄、白四边形都为平行四边形,
;.AB=CD,DE=AF,EC=BF.
设MN到DC的距离为hi,MN到AB的距离为h2,
则Si=DE・hi,S2=AF*h2,S3=EC・h"S4=FB«h2,
因为DE,hi,FB,h2的关系不确定,所以Si与S4的关系无法确定,故A错误;
Si+S4=DE・hi+FB・h2=AF・hi+FB・h2,S2+S3=AF•h2+EC,hi=AF•h2+FB•hi,故B错误;
Si+S3=CD*hl,S2+S4=AB・h2,又AB=CD,而hi不一定与h2相等,故C错误;
Si•S4=DE・hl・FB・h2=AF・hi・FB・h2,S2•S3=AF・h2・EC?hkAF・h2・FB・hi,所以Si•S4=S2•S3,
故D正确;
故选:D.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质,注意掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与
该边上的高的积.即S=a・h.其中a可以是平行四边形的任何一边,h必须是a边与其对边
的距离,即对应的高.
二、填空题
11.-cm2
8
【分析】
根据正方形的性质可以证明AAEO之CF。,就可以得出SAAEO=SACFO,就可以求出AAOD面积
等于正方形面积的1,根据正方形的面积就可以求出结论.
【详解】
解:如图:
•.•正方形ABCD的对角线相交于点0,
AAAEO与ACF。关于。点成中心对称,
/.△AEO^CFO,
SAAEO=SACFO>
SAAOD=SADEO+SACFO,
•••对角线长为lcm,
**«S正方形ABCD=—xlx1=—cm2,
22
2
SAAOD=—cm,
8
.•・阴影部分的面积为:cm?.
故答案为:-cm2.
8
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形
的面积公式的运用,在解答时证明△AEO&CF。是关键.
12.①③④
【分析】
由“A45”可证△AOE会/XCOF,/\AHO^/\CGO,可得。E=OF,HO=GO,可证四边形EGFH
是平行四边形,由EF_LGH,可得四边形EGFH是菱形,可判断①③正确,若四边形ABC。
是正方形,由“ASA”可证ABOG丝△COF,可得。G=OF,可证四边形EGFH是正方形,可
判断④正确,即可求解.
【详解】
解:如图,
•.•四边形ABC。是菱形,
:.AO=CO,AD//BC,AB//CD,
:.ZBAO^ZDCO,NAEO=NCFO,
:./\AOE^/\COF(AAS),
:.OE=OF,
•.•线段EF的垂直平分线分别交8C、A。边于点G、H,
过点。,GHJ.EF,
':AD//BC,
:.ZDAO=ZBCO,ZAHO=ZCGO,
:./\AHO^/\CGO(ZIAS),
HO=GO,
四边形EGF"是平行四边形,
VFFXGH,
四边形EGFH是菱形,
•.•点E是A8上的一个动点,
•••随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH,
随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH,
故①③正确;
若四边形ABC。是正方形,
:.ZBOC=90°,NGBO=NFCO=45°,OB=OC-,
":EFLGH,
:.ZGOF=90°;
/BOG+NBOF=NCOF+NBOF=90°,
:.NBOG=NCOF;
在ABOG和△COF中,
ZBOG=NCOF
v\BO=CO,
NGBO=ZFCO
:./\BOG^^COF(ASA);
:.OG=OF,
同理可得:EO=OH,
:.GH=EF;
...四边形EGFH是正方形,
:点E是AB上的一个动点,
至少得到一个正方形EGFH,故④正确,
故答案为:①③④.
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质,平行四边形的判定,正方形的判定,全等三角形的判定和
性质等知识,灵活运用这些性质进行推理是关键.
13.24
【分析】
由菱形的性质可得OD=OB,ZCOD=90°,由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半,可
得。H=,BD=OB,可得NOHB=NOBH,由余角的性质可得NDHO=NDCO,即可求解.
2
【详解】
【解答】解::四边形A8CD是菱形,
AOD=OB,ZCOD=90°,/DA8=/DCB=48°,
DH1AB,
1
•■0H~=—BD—OB,
2
:.ZOHB=ZOBH,
又,:AB〃CD,
;.NOBH=NODC,
在RtZ\C。。中,ZODC+ZDCO=90°,
在RtZXDHB中,ZDHO+ZOHB=90°,
,/OHO=/OCO=L/OCB=24°,
2
故答案为:24.
【点睛】
本题考查了菱形的性质,直角三角形斜边中线的性质,余角的性质,是几何综合题,判断
出0H是BD的一半,和NDH0=ZDC0是解决本题的关键.
14.737
【分析】
如图,延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接TW,
DW,过点W作WKJ_BC交BC的延长线于K.证明BE=DT,BD=DW,把问题转化为求
DT+DW的最小值.
【详解】
解:如图,延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接
TW,DW,过点W作WKJ_BC交BC的延长线于K.
VAABC,ZXDEF都是等边三角形,BC=3DE=3,
;.BC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60",
;.DE〃TC,
VDE=BT=1,
...四边形DEBT是平行四边形,
;.BE=DT,
;.BD+BE=BD+AD,
VB,W关于直线AC对称,
;.CB=CW=3,ZACW=ZACB=60",DB=DW,
,NWCK=60°,
VWK±CK,
.".ZK=90°,ZCWK=30°,
133J3
.\CK=—CW=-,WK=Jr3CK=^-,
222
311
.•.TK=l+3+-=
2T
2
:.1W=ylTK2+WK?==5/37,
2
/.DB+BE=DB+DT=DW+DT>TW,
.\BD+BE>737,
ABD+BE的最小值为历,
故答案为而
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题,等边三角形的性质,解直角三角形,平行四边形的判定和性质
等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考填空题中的压轴题.
"3一还
2
【分析】
作辅助线,构建全等三角形和矩形,利用面积法可得AE的长,根据勾股定理可得BE的
长,设AE=x,证明4ABEgZ\EQF(AAS),得FQ=BE=&,最后根据三角形面积公式
可得结论.
【详解】
解:如图,过D作DH_LAE于H,过E作EMJ_AD于M,连接DE,
VEFXAE,DF1EF,
AZDHE=ZHEF=ZDFE=90°,
四边形DHEF是矩形,
;.DH=EF=AE,
,四边形ABCD是矩形,
/B=ZBAD=90°,
:/AME=90°,
四边形ABEM是矩形,
;.EM=AB=2,
设AE=x,
则SAADE=』AD-EM=LAE-DH,
22
.*.3X2=x2,
;.x=±R,
Vx>0,
,x=瓜,
即AE=瓜,
由勾股定理得:BE=^(V6)2-22=V2>
过F作PQ〃CD,交AD的延长线于P,交BC的延长线于Q,
NQ=/ECD=NB=90°,NP=NADC=90°,
,/ZBAE+NAEB=/AEF=/AEB+/FEQ=90°,
;./FEQ=NBAE,
VAE=EF,ZB=ZQ=90",
.,.△ABE^AEQF(AAS),
;.FQ=BE=也,
/.PF=2-V2,
SAADF-—AD-PF-—x3x(2—V2)—3-:.
222
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,有难度,正确作辅助
线构建全等三角形是关键,并用方程的思想解决问题.
84/-
16.一或4—v3
33
【分析】
连接AC交BD于。,由菱形的性质可得AB=BC=4,ZABD=30°,AC1BD,BO=DO,
AO=CO,可证四边形BEGF是菱形,可得ZABG=30。,可得点B,点G,点D三点共线,由
直角三角形性质可求BD=4g,AC=4,分两种情况讨论,利用等腰三角形的性质可求解.
【详解】
如图,连接AC交BD于。,
V菱形ABCD的边长是4,NABC=60°,
,AB=BC=4,/ABD=30°,AC1BD,BODO,AO=C。,
VEG/7BC,FG〃AB,
四边形BEGF是平行四边形,
又:BE=BF,
,四边形BEGF是菱形,
NABG=30°,
.•.点B,点G,点D三点共线,
VAC1BD,ZABD=30°,
.-.A0=yAB=2,BO-V/W2-AO2=V42-22=2>/3>
;.BD=4GAC=4,
BG
同理可求BG=G
BE,即BE=忑‘
若AD=DG'=4时,
.".BG'=BD-DG'=4^-4,
46-4.473
..BE=---=—=4------;
733
若AG"=G"D时,过点G"作G"H"LAD于H,
;.AH=HD=2,
•.•/ADB=30°,G"H1AD,
.".DG"=2HG",
HD2+HG"2=DG"2>
解得:HG"=H3,DG"=2HG"=S8
33
BG"=BD-DG"=473--,
33
8
.".BE"=-,
3
综上所述:BE为号或4-记.
33
【点睛】
本题考查了菱形的性质,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理等知识,利用分类讨论
思想解决问题是本题的关键.
17.6
【分析】
过点P作PELAD交AD的延长线于点E,根据四边形ABCD是平行四边形,得到AB〃CD,
推出PE=:PD,由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值,此时P、B、E三点在同一条
直线上,利用NDAB=30°,/AEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=工AB=3,得到2PB+
2
PD的最小值等于6.
【详解】
过点P作PE±AD交AD的延长线于点E,
"/四边形ABCD是平行四边形,
;.AB〃CD,
AZEDC=ZDAB=30°,
,PE」PD,
2
V2PB+PD=2(PB+;PD)=2(PB+PE),
二当PB+PE最小时2PB+PD有最小值,此时P、B、E三点在同一条直线上,
VZDAB=30°,ZAEP=90°,AB=6,
APB+PE的最小值=工人8=3,
2
.".2PB+PD的最小值等于6,
故答案为:6.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质,直角三角形含30。角的问题,动点问题,将线段2PB+PD转化
为三点共线的形式是解题的关键.
18.5
【分析】
先判断四边形BCEF的形状,再连接月0、FC,利用正方形的性质得出AEG是等腰直
角三角形,再利用直角三角形的性质得出MN=-FC即可.
2
【详解】
,/四边形ABCP是边长为4的正方形,EF//BC,
...四边形8CE厂是矩形,
;PE=1,
:.CE=3,
连接向公FC,如图所示:
•••四边形A3CP是正方形,
AZBAC=45,AEG是等腰直角三角形,
•••加是AG的中点,即有AW=MG,
/.FM1AG,KWC是直角三角形,
又N是fC中点,MN=、FC,
2
■■FC=4BF1+BC1=5
:•MN=25,
故答案为:2.5.
【点睛】
本题考查了正方形的性质,矩形的判定,等腰三角形和直角三角形的性质,解题的关键在
于合理作出辅助线,通过直角三角形的性质转化求解.
19.7
【分析】
①若加=〃,则Ab=EC,先根据平行四边形的性质得出=再根据平
行四边形的判定(一组对边平行且相等或两组对边分别平行)即可得;②先根据平行四边
形的性质与判定得出四边形ABEF、四边形CDFE都是平行四边形,从而可得
S'KFG=1S="SCDFE,再根据SABEI,+SCDFE=28和
S四边形FGEH=S^EFG+S&EFHABEF+CDFE即可得出答案,
【详解】
四边形ABCD是平行四边形
:.AD//BC,AD=BC
AFEC
n,=m,m-n
BCBC
AF=EC
:.AD-AF^BC-EC,即。F=5E
二四边形AECF、四边形BEDF都是平行四边形
/.AE//CF,BF//DE
四边形EGFH是平行四边形
综上,图中共有4个平行四边形
如图,连接EF
AFEC
n,-----m,m+nI
~BCBC
:.AF+EC^BC=AD
AF+DF^AD
:.EC=DF
:.AF=BE
二四边形ABEF、四边形CDFE都是平行四边形
SAEFG=W1SCDFE
ABEF+SCDFE=28
•q=s+s
一Q四边形FGEHJ&EFG干EFH-°ABEF十40CDFE
=W(S"^F+SCDFE)
=—X28=7
4
故答案为:4;7.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质,熟记平行四边形的判定与性质是解题关键.
20.10A/2
【分析】
根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3,再根据N3AO=NBEC证明
BC=BE,由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF,即可求出平行四边形的面积.
【详解】
过点8作BF_LC£>于点/,如图所示.
:AE是/射。的平分线,
/.ZDAE^ZBAE.
V四边形A8CD是平行四边形,
/.CD=AB=5,BC=AD=3,NBAD=NBCE,AB//CD,
;•ZBAE=ZDEA,
:.ZDAE=ZDEA,
DE=AD-3,
CE=CD-DE=2.
NBAD=NB
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