八年级初二数学第二学期平行四边形单元专项训练检测试卷

八年级初二数学第二学期平行四边形单元专项训练检测试卷

一、选择题

1.如图，已知平行四边形ABC。，AB=6,BC=9,NA=12（）。，点P是边A3上一

动点，作尸£，BC于点E，作ZEPF=120。（PE在PE右边）且始终保持

C.3屈＜机＜9+3bD.3百+3S＜加＜3b+9

2.对于题目：“如图1,平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形

的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边

长的最小整数甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长工,再取最小

整数〃.

甲：如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取〃=13.

乙：如图3,思路是当X为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取"=14.

丙：如图4,思路是当X为矩形的长与宽之和的注倍时就可移转过去；结果取〃=13.

2

下列正确的是（）

C.甲和丙的〃值都对

D.甲、乙的思路都错，而丙的思路对

3.如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，BE_LDP的延长线于点E,连接AE,

过点A作FALAE交DP于点F,连接BF、FC.下列结论中：①ABE岭ADF；

②PF=EP+EB；（3）BCF是等边三角形；④/ADF=/DCF；⑤SL=SCDF-其

中正确的是（）

BC

A.(D®③B.④1C.©©⑤D.①®@

4.如图，在ABC中，A8=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,

PE_LAB于E,PFLAC于F,M为E尸中点，则40的最小值为（）

BPC

24_12

A.—B.4C.5D.—

55

5.如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、1_2、L3,若L1与L2的距离为5,L2与L3的距离

7,则正方形ABCD的面积等于(）

一/

，2/6,

A.70B.74C.144D.148

6.如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC+ZDCB=90°,且BC=2AD,以AB、BC、DC为

边向外作正方形，其面积分别为耳、S?、$3,若S1=3,S3=8,则邑的值为（）

力

A.22B.24C.44D.48

7.如图，平行四边形A8CD中，对角线AC、B。相交于点0,AD=-AC,M、N、P分别

2

是。A、。8、CD的中点，下列结论：

①CA/_LBD；

②MN=NP；

③四边形MNCP是菱形;

④ND平分/PMM.

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，矩形纸片ABCD,AB=a,BC=b,满足将此矩形纸片按下面顺

2

序折叠，则图4中MN的长为（用含兄。的代数式表示）（）

图1图2图3图4

3,1,

A.2b—aB.—2aC.—b+aD.—b+ci

22

9.在ABC户中，BC=2AB,8,43于点£>,点E为Ab的中点，若

NAOE=50°,则D3的度数是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

10.如图，一个四边形花坛ABCD,被两条线段MN,EF分成四个部分，分别种上红、黄、

紫、白四种花卉，种植面积依次是Si、S2、S3、S4,若MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,则有

A.Si=S4B.Si+S4=S2+S3C.SI+S3=S2+S4D.Si,S4=S2•S3

二、填空题

11.如图，正方形ABCD的对角线相交于点。，对角线长为1cm,过点0任作一条直线分

别交AD,BC于E,F,则阴影部分的面积是

12.如图所示，菱形ABCD,在边A8上有一动点E,过菱形对角线交点。作射线E。与CD

边交于点F,线段EF的垂直平分线分别交8C、AD边于点G、H,得到四边形EGFH,点E

在运动过程中，有如下结论：

①可以得到无数个平行四边形EGFH；

②可以得到无数个矩形EGFH；

③可以得到无数个菱形EGFH；

④至少得到一个正方形EGFH.

所有正确结论的序号是_.

13.如图，四边形ABCD是菱形，NDAB=48°,对角线AC,BD相交于点。，OH_LAB于

H,连接。H,则NDHO=度.

14.如图，在等边ABC和等边£＞所中，尸£）在直线4c上，BC=3OE=3,连接

BD,BE,则BD+BE的最小值是.

15.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,E为BC边上一动点，作EFJ_AE,且EF=

AE.连接DF,AF.当DF_LEF时，ZSADF的面积为.

D

BE

16.如图，菱形ABC。的边长是4,NABC=60°,点E,尸分别是A6，BC边上的

动点（不与点A，B,。重合），且BE=BF，若EG//BC,FG//AB,EG与FG相

交于点G,当AZX7为等腰三角形时，破的长为.

17.如图，QABCD中，ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则2PB+PD

的最小值等于.

AB

18.如图，四边形A3C尸是边长为4的正方形，点E在边CP上，PE=1；作£F〃BC,分别

交AC、A8于点G、F,M、N分别是AG、BE的中点，则的长是.

19.如图，点£、F分别在平行四边形ABCD边BC和AD上（£、F都不与两端点重合），

AR

连结AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于点G,DE和CF交于点H.令——=",

BC

EC

一=〃?.若加=〃，则图中有个平行四边形（不添加别的辅助线）；若

BC

m+n=\,且四边形ABC。的面积为28,则四边形FGEH的面积为.

D

20.如图，在平行四边形ABC。中，AB=5,AD=3,/明。的平分线AE交CO于点

E，连接BE,若NBAD=NBEC，则平行四边形ABCD的面积为.

三、解答题

21.如图，矩形。8CD中，OB=5,。。=3,以。为原点建立平面直角坐标系，点8,点。

分别在x轴，y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P,且满足S“OB=；S矩形

OBCD）问：

（1）当点P在矩形的对角线。C上，求点P的坐标；

（2）当点P到。，B两点的距离之和PO+PB取最小值时，求点P的坐标.

22.如图，在RtABC中，/B=90。，AC=60cm,/A=60。，点D从点C出发沿CA方向

以4cm/s的速度向点A匀速运动.同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B

匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间

是ts（0<t<15）.过点D作DF_LBC于点F,连接DE,EF.

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.

23.综合与实践.

问题情境：

如图①，在纸片OABCD中，4）=5,SAecD=15,过点A作AE_L5C,垂足为点

E，沿AE剪下八钻石，将它平移至DCE'的位置,拼成四边形A£E'E>.

独立思考：（1）试探究四边形A££'£>的形状.

深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片中，在EE、上取一点尸，使

EF=4,剪下AEF，将它平移至VDEF'的位置，拼成四边形A"'。，试探究四边形

AFKD的形状；

拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形的两条对角线长；

（4）若四边形ABCO为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，

标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论.

图①图②图③

24.如图，点E为。A8C。的边AD上的一点，连接EB并延长，使8F=BE,连接EC并延

长，使CG=CE,连接FG.H为FG的中点，连接DH,AF.

（1）若NBAE=70。，ZDCE=20°,求NOEC的度数；

（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；

（3）连接EH,交BC于点。，若。C=OH,求证：EF±EG.

25.在矩形ABC。中，连结AC,点E从点3出发，以每秒1个单位的速度沿着BfA

的路径运动，运动时间为r（秒）.以8E为边在矩形ABCO的内部作正方形BEHG.

(1)如图，当ABCO为正方形且点“在/\/18。的内部，连结AH,C〃，求证：

AH=CH；

(2)经过点E且把矩形ABC。面积平分的直线有条；

(3)当AB=9,8C=12时，若直线A"将矩形ABC。的面积分成1：3两部分，求f的

值.

26.如图，在心AABC中，NB=90°,AC=40cm,NA=60°,点。从点C出发沿C4方

向以4c〃?/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2的/秒的速度

向点8匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点2E运动

的时间是f秒(0<区10).过点。作于点尸，连接DE,EF.

(1)试问四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的f值；如果不能，请说明

理由；

(2)当f为何值时，NFDE=90°?请说明理由.

27.共顶点的正方形ABCD与正方形AEFG中，48=13,AE=5夜.

(1)如图1,求证：DG=BE；

(2)如图2,连结8F,以8F、8c为一组邻边作平行四边形8CHF.

①连结BH,BG,求f的值；

BG

②当四边形8CHF为菱形时，直接写出8H的长.

图1图2备用图

28.如图.正方形ABCD的边长为4,点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射

线AD运动，运动时间为t秒(t>0),以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形

AEFG,连接BF.

(1)当t=l时，求BF的长度；

(2)在点E运动的过程中，求D、F两点之间距离的最小值;

(3)连接AF、DF,当4ADF是等腰三角形时，求t的值.

29.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫

做这个损矩形的直径。

(1)如图1,损矩形ABCD,/ABC=/ADC=90°,则该损矩形的直径是线段AC,同时我

们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。

如图1中：AABC和4ABD有公共边AB,在AB同侧有/ADB和NACB,此时/ADB=

ZACB；再比如△ABC和4BCD有公共边BC,在CB同侧有NBAC和NBDC,此时/BAC=

NBDC。请再找一对这样的角来一=

(2)如图2,ZXABC中，/ABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF

的中心，连结BD,当BD平分NABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明

理由。

(3)在第(2)题的条件下，若此时AB=3,BD=4近，求BC的长。

30.在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE,以BE为边，在

BE的下方作正方形BEFG,并连接AG.

(1)如图1,当点E与点D重合时，AG=；

(2)如图2,当点E在线段CD上时，DE=2,求AG的长；

(3)若人6=手，请直接写出此时DE的长.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【解析】

【分析】

设PE=x,贝IJPB=N1X,PF=3>/3X,AP=6-空X,由此先判断出AF_LPR,然后可分

33

析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大.从而求出m

的取值范围.

【详解】

如上图：设PE=x,贝I」PB=RIX,PF=3J3x,AP=6-3叵x

33

：NBPE=30°,ZEPF=120°

•••ZAPE=3Q°

由AP、PF的数量关系可知4/_LP/7,ZPAF=60°

AD

(P)GMC

如上图，作/84〃=60°交812于乂，所以点F在AM上.

当点P与点B重合时，CF+DF最小.此时可求得CF=3A/J,D尸=34

如上图，当点P与点A重合时，CF+DF最大.此时可求得。尸=3近,。尸=9

36+3不＜3e+9

故选：D

【点睛】

此题考查几何图形动点问题，判断出A/_LF尸，然后可分析出当点P与点B重合时，

CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大是解题关键.

2.B

解析：B

【分析】

根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长，即可判断甲和乙，丙中图示情况不是最

长.

【详解】

甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为

n=762+122=675^14；

乙的思路与计算都正确，n=762+122=675^14；

丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，n=(12+6)xY£=9及心13.

2

故选B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键.

3.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出ZBAE=NDAF，再根

据等角的余角相等求出NABE=/ADF，然后利用"角边角"证明ABE名ADF；根据

全等三角形对应边相等可得AE=AF，判断出AEF是等腰直角三角形，过点A作

AM_LEF于M,根据等腰直角三角形点的性质可得AM=MF，再根据点P是AB的中点

得到AP=BP，然后利用"角角边"证明APM和BPE全等，根据全等三角形对应边相

等可得BE=AM,EP=MP，然后求出PF=EP+EB；根据全等三角形对应边相等求

出DF=BE=AM，再根据同角的余角相等求出NDAM=/CDF,然后利用"边角边"

证明ADM和DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得/ADF=NDCF,

/CFD=/DMA=90；再求出CDHCF,判定BCF不是等边三角形；求出

CF>FP,AM=DF，然后求出S♦，<SCDF.

【详解】

在正方形ABCD中，AB=AD，NDAF+/BAF=90，

FA±AE，

.♦.4AE+/BAF=90，

^BAE=^DAF，

BE±DP，

.•./ABE+4PE=90，

又/ADF+/APD=90，/BPE=/APD(对顶角相等)，

.•2ABE=/ADF，

在ABE和ADF中，

'/BAE=NDAF

<AB^AD,

NABE=NADF

ABE丝ADF(ASA),故①正确；

.•.AE=AF，BE=DF，

AEF是等腰直角三角形，

过点A作AM_LEF于M,则AM=MF，

点P是AB的中点，

AP=BP，

在APM和BPE中，

-NBPE=ZAPD

<NBEP=ZAMP=90,

AP=BP

APM丝BPE(AAS),

BE=AM，EP=MP，

.-.PF=MF+PM=BE+EP，故②正确；

BE=DF,FM=AM=BE.

，AM=DF，

又NADM+/DAM=90，NADM+/CDF=90，

.♦.4AM=/CDF,

在ADM和DCF,

AD=DC

<ADAM=ZCDF,

AM=DF

ADM丝DCF(SAS),

.,.CF=DM,/ADF=^DCF,NCFD=/DMA=90，故④正确;

在RtCDF中，CD>CF,

BC=CD.

CFwBC>

BCF不是等边三角形，故③错误；

CF=DM=DF+FM=EM+FM=EF。FP,

又AM=DF，

••・S.<ScDF，故⑤错误；

综上所述，正确的有①②④，

故选B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角度余角相等的性质，三

角形的面积，综合性较强，难度较大，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，作辅助线利

用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点.

4.D

解析：D

【分析】

先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利

用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长.

【详解】

解：连接AP,在^ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,

A

AZBAC=90°,

VPEXAB,PF±AC,

四边形AFPE是矩形,

；.EF=AP.

VM是EF的中点,

1

,\AM=-AP,

2

根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，

即APJ_BC时，AP最短，同样AM也最短，

11

・・SAABC=—BC・AP=—AB・AC,

22

11

—xlOAP=—x6x8,

22

24

，AP最短时，AP=一,

5

112

.,.当AM最短时，AM=-AP=—.

25

故选：D.

【点睛】

此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角

形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度.

5.B

解析：B

【分析】

先作出4与，2，，2与的4距离AE、CF,证明△ABEgaBCF,得至6BF=AE,再利用勾股

定理即可得到答案.

【详解】

过点A作AE112,过点C作CF1/2,

ZAEB=ZCFB=90°,

/.ZABE+ZBAE=90°,

•.•四边形ABCD是正方形，

.•.AB=BC,NABC=90°,

AZABE+ZCBF=90°,

AZBAE=ZCBF,

在4ABE和4BCF中，

2BAE=NCBF

<ZAEB=ZBFC,

AB=BC

.'.△ABE^ABCF,

，BF=AE=5,

在R3BCF中,CF=7,BF=5,

BC1=BF2+CF1=52+72=74,

正方形ABCD的面积=BC?=74,

【点睛】

此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质定理，平行线之间的距离处处相等，题

中证明两个三角形全等是解题的关键，由此将两个距离5和7变化到一个直角三角形中，

由此利用勾股定理解决问题.

6.C

解析：c

【分析】

根据已知条件得到AB=J5，CD=2后，过A作AE〃CD交BC于E,贝（J/AEB=/DCB,

根据平行四边形的性质得到CE=AD,AE=CD=20,由已知条件得到/BAE=90°,根

据勾股定理得到BE=VAB2+AE2，于是得到结论.

【详解】

VSi=3,S3=8

AB=<CD=2\/2

过A作AE〃CD交BC于E

则NAEB=NDCB

VAD/7BC

...四边形AECD是平行四边形

，CE=AD,AE=CD=2及

,.-ZABC+ZDCB=90o

ZAEB+ZABC=90°

AZBAE=90°

.•.BE="K=vn

；BC=2AD

；.BC=2BE=2而

.•5=(2曰『=44

故选：C.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此

题的关键.

7.C

解析：C

【分析】

证出。C=BC,由等腰三角形的性质得QV_LBD,①正确；证出MN是△AOB的中位线，得

MN//AB,MN=^AB,由直角三角形的性质得NP=JCD,则MN=NP,②正确；周长

四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；由平行线的性质和

等腰三角形的性质证出N/WND=NP/VD,则N。平分/PNM,④正确；即可得出结论.

【详解】

解：•.•四边形ABCD是平行四边形，

1

，AB=CD,AB〃CD,BC=AD,OA=OC=—AC,

2

1

：AD=—AC,

2

.\OC=BC,

VN是OB的中点，

.\CN±BD,①正确；

：M、N分别是OA、OB的中点,

AMN是△AOB的中位线，

AMNAB,MN=—AB,

2

VCN±BD,

NCND=90°,

VP是CD的中点，

1

；.NP=—CD=PD=PC,

2

；.MN=NP,②正确；

：MN〃AB,AB/7CD,

AMN//CD,

又：NP=PC,MN=NP,

；.MN=PC,

二四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；

：MN〃CD,

AZPDN=ZMND,

VNP=PD,

；.NPDN=/PND,

/MND=NPND,

；.ND平分/PNM,④正确；

正确的个数有3个，

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，

等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边

上的中线性质是解题的关键.

8.B

解析：B

【分析】

如图3中，由折叠的性质可得PQ=8C=b,AiF=a-^-b,是等腰直角三角形，进

2

而可得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得EG=，MN,而

2

EG=EF-2A/,进一步即可求得答案.

【详解】

解：如图3中，由折叠的性质可得PQ=8C=b,AiF=a--b,

2

NEPQ=；ZAPQ=gx90°=45°,NEQP=gZDQP=gx90°=45°,

/PEQ=90。，

...△PEQ是等腰直角三角形，

如图4,'.'MN//PQ,

...△MNE是等腰直角三角形，

'：EG±MN,

：.EG=MG=NG=-MN,

2

EG-EF-2A,F=a-2(a-b)=b-a,

：.MN=2EG=2h-2a.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，正确理解题意、

熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.

9.D

解析：D

【分析】

连结CE,并延长CE,交函的延长线于点M根据己知条件和平行四边形的性质可证明

△NAE经ACFE,所以NE=CE,NA=CF,再由已知条件CD_LA8于D,NADE=50°,即可

求出N8的度数.

【详解】

解：连结CE,并延长CE,交8A的延长线于点N,

•.•四边形ABCF是平行四边形，

：.AB//CF,AB=CF,

:.NNAE=NF,

•.•点E是的AF中点，

：.AE^FE,

在△NAE和ACFE中，

"ZNAE=ZF

<AE=FE,

NAEN=NFEC

：./\NAE^/\CFE(ASA),

ANE=CE,NA=CF,

；A8=CF,

：.NA=AB,即BN=2AB,

\'BC=2AB,

：.BC=BN,NN=NNCB,

；CDJ_A8于。，即NNOC=90°且NE=CE,

1

：.DE=—NC=NE,

2

：.ZN=ZNDE=50°=ZNCB,

AZB=80°.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助

线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答.

10.D

解析：D

【分析】

由于在四边形中，MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,因此MN、EF把一个平行四边形分割成四

个小平行四边形.可设MN到DC的距离为hi,MN到AB的距离为h2,根据AB=CD,

DE=AF,EC=FB及平行四边形的面积公式即可得出答案.

【详解】

解：：MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,

四边形ABCD,四边形ADEF,四边形BCEF,红、紫、黄、白四边形都为平行四边形，

；.AB=CD,DE=AF,EC=BF.

设MN到DC的距离为hi,MN到AB的距离为h2,

则Si=DE・hi,S2=AF*h2,S3=EC・h"S4=FB«h2,

因为DE,hi,FB,h2的关系不确定，所以Si与S4的关系无法确定，故A错误；

Si+S4=DE・hi+FB・h2=AF・hi+FB・h2,S2+S3=AF•h2+EC，hi=AF•h2+FB•hi,故B错误；

Si+S3=CD*hl,S2+S4=AB・h2,又AB=CD,而hi不一定与h2相等，故C错误；

Si•S4=DE・hl・FB・h2=AF・hi・FB・h2,S2•S3=AF・h2・EC?hkAF・h2・FB・hi,所以Si•S4=S2•S3,

故D正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定与性质，注意掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与

该边上的高的积.即S=a・h.其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边

的距离，即对应的高.

二、填空题

11.-cm2

8

【分析】

根据正方形的性质可以证明AAEO之CF。，就可以得出SAAEO=SACFO,就可以求出AAOD面积

等于正方形面积的1，根据正方形的面积就可以求出结论.

【详解】

解：如图:

•.•正方形ABCD的对角线相交于点0,

AAAEO与ACF。关于。点成中心对称,

/.△AEO^CFO,

SAAEO=SACFO>

SAAOD=SADEO+SACFO，

•••对角线长为lcm,

**«S正方形ABCD=—xlx1=—cm2,

22

2

SAAOD=—cm,

8

.•・阴影部分的面积为:cm?.

故答案为：-cm2.

8

【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形

的面积公式的运用，在解答时证明△AEO&CF。是关键.

12.①③④

【分析】

由“A45”可证△AOE会/XCOF,/\AHO^/\CGO,可得。E=OF,HO=GO,可证四边形EGFH

是平行四边形，由EF_LGH,可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABC。

是正方形，由“ASA”可证ABOG丝△COF,可得。G=OF,可证四边形EGFH是正方形，可

判断④正确，即可求解.

【详解】

解：如图，

•.•四边形ABC。是菱形，

：.AO=CO,AD//BC,AB//CD,

：.ZBAO^ZDCO,NAEO=NCFO,

：./\AOE^/\COF(AAS),

：.OE=OF,

•.•线段EF的垂直平分线分别交8C、A。边于点G、H,

过点。，GHJ.EF,

'：AD//BC,

：.ZDAO=ZBCO,ZAHO=ZCGO,

：./\AHO^/\CGO(ZIAS),

HO=GO,

四边形EGF"是平行四边形，

VFFXGH,

四边形EGFH是菱形，

•.•点E是A8上的一个动点，

•••随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH,

随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH,

故①③正确；

若四边形ABC。是正方形，

：.ZBOC=90°,NGBO=NFCO=45°,OB=OC-,

"：EFLGH,

：.ZGOF=90°；

/BOG+NBOF=NCOF+NBOF=90°,

：.NBOG=NCOF；

在ABOG和△COF中，

ZBOG=NCOF

v\BO=CO,

NGBO=ZFCO

：./\BOG^^COF(ASA)；

：.OG=OF,

同理可得：EO=OH,

：.GH=EF；

...四边形EGFH是正方形，

:点E是AB上的一个动点，

至少得到一个正方形EGFH,故④正确,

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和

性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键.

13.24

【分析】

由菱形的性质可得OD=OB,ZCOD=90°,由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可

得。H=，BD=OB,可得NOHB=NOBH,由余角的性质可得NDHO=NDCO,即可求解.

2

【详解】

【解答】解：：四边形A8CD是菱形，

AOD=OB,ZCOD=90°,/DA8=/DCB=48°,

DH1AB,

1

•■0H~=—BD—OB,

2

：.ZOHB=ZOBH,

又,：AB〃CD,

；.NOBH=NODC,

在RtZ\C。。中，ZODC+ZDCO=90°,

在RtZXDHB中，ZDHO+ZOHB=90°,

，/OHO=/OCO=L/OCB=24°，

2

故答案为：24.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断

出0H是BD的一半，和NDH0=ZDC0是解决本题的关键.

14.737

【分析】

如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接TW,

DW,过点W作WKJ_BC交BC的延长线于K.证明BE=DT,BD=DW,把问题转化为求

DT+DW的最小值.

【详解】

解：如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接

TW,DW,过点W作WKJ_BC交BC的延长线于K.

VAABC,ZXDEF都是等边三角形，BC=3DE=3,

；.BC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60",

；.DE〃TC,

VDE=BT=1,

...四边形DEBT是平行四边形，

；.BE=DT,

；.BD+BE=BD+AD,

VB,W关于直线AC对称，

；.CB=CW=3,ZACW=ZACB=60",DB=DW,

，NWCK=60°,

VWK±CK,

.".ZK=90°,ZCWK=30°,

133J3

.\CK=—CW=-,WK=Jr3CK=^-,

222

311

.•.TK=l+3+-=

2T

2

：.1W=ylTK2+WK?==5/37,

2

/.DB+BE=DB+DT=DW+DT>TW,

.\BD+BE>737,

ABD+BE的最小值为历，

故答案为而

【点睛】

本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

"3一还

2

【分析】

作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的

长，设AE=x,证明4ABEgZ\EQF(AAS),得FQ=BE=&,最后根据三角形面积公式

可得结论.

【详解】

解：如图，过D作DH_LAE于H,过E作EMJ_AD于M,连接DE,

VEFXAE,DF1EF,

AZDHE=ZHEF=ZDFE=90°,

四边形DHEF是矩形，

；.DH=EF=AE,

,四边形ABCD是矩形，

/B=ZBAD=90°,

：/AME=90°,

四边形ABEM是矩形，

；.EM=AB=2,

设AE=x,

则SAADE=』AD-EM=LAE-DH,

22

.*.3X2=x2,

；.x=±R,

Vx>0,

，x=瓜,

即AE=瓜,

由勾股定理得：BE=^(V6)2-22=V2>

过F作PQ〃CD,交AD的延长线于P,交BC的延长线于Q,

NQ=/ECD=NB=90°,NP=NADC=90°,

,/ZBAE+NAEB=/AEF=/AEB+/FEQ=90°,

；./FEQ=NBAE,

VAE=EF,ZB=ZQ=90",

.,.△ABE^AEQF(AAS),

；.FQ=BE=也，

/.PF=2-V2，

SAADF-—AD-PF-—x3x(2—V2)—3-:.

222

【点睛】

此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助

线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题.

84/-

16.一或4—v3

33

【分析】

连接AC交BD于。，由菱形的性质可得AB=BC=4,ZABD=30°,AC1BD,BO=DO,

AO=CO,可证四边形BEGF是菱形，可得ZABG=30。，可得点B,点G,点D三点共线，由

直角三角形性质可求BD=4g,AC=4,分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解.

【详解】

如图，连接AC交BD于。，

V菱形ABCD的边长是4,NABC=60°,

，AB=BC=4,/ABD=30°,AC1BD,BODO,AO=C。，

VEG/7BC,FG〃AB,

四边形BEGF是平行四边形,

又：BE=BF,

，四边形BEGF是菱形，

NABG=30°,

.•.点B,点G,点D三点共线，

VAC1BD,ZABD=30°,

.-.A0=yAB=2,BO-V/W2-AO2=V42-22=2>/3>

；.BD=4GAC=4,

BG

同理可求BG=G

BE,即BE=忑‘

若AD=DG'=4时，

.".BG'=BD-DG'=4^-4，

46-4.473

..BE=---=—=4------;

733

若AG"=G"D时,过点G"作G"H"LAD于H,

；.AH=HD=2,

•.•/ADB=30°,G"H1AD,

.".DG"=2HG",

HD2+HG"2=DG"2>

解得：HG"=H3,DG"=2HG"=S8

33

BG"=BD-DG"=473--，

33

8

.".BE"=-,

3

综上所述：BE为号或4-记.

33

【点睛】

本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论

思想解决问题是本题的关键.

17.6

【分析】

过点P作PELAD交AD的延长线于点E,根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB〃CD,

推出PE=：PD,由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条

直线上，利用NDAB=30°,/AEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=工AB=3,得到2PB+

2

PD的最小值等于6.

【详解】

过点P作PE±AD交AD的延长线于点E,

"/四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,

AZEDC=ZDAB=30°,

，PE」PD,

2

V2PB+PD=2(PB+；PD)=2(PB+PE),

二当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上,

VZDAB=30°,ZAEP=90°,AB=6,

APB+PE的最小值=工人8=3,

2

.".2PB+PD的最小值等于6,

故答案为：6.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30。角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化

为三点共线的形式是解题的关键.

18.5

【分析】

先判断四边形BCEF的形状，再连接月0、FC,利用正方形的性质得出AEG是等腰直

角三角形，再利用直角三角形的性质得出MN=-FC即可.

2

【详解】

,/四边形ABCP是边长为4的正方形，EF//BC,

...四边形8CE厂是矩形，

；PE=1，

：.CE=3,

连接向公FC,如图所示：

•••四边形A3CP是正方形，

AZBAC=45，AEG是等腰直角三角形，

•••加是AG的中点，即有AW=MG,

/.FM1AG，KWC是直角三角形，

又N是fC中点，MN=、FC,

2

■­■FC=4BF1+BC1=5

:•MN=25,

故答案为：2.5.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在

于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解.

19.7

【分析】

①若加=〃，则Ab=EC,先根据平行四边形的性质得出=再根据平

行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边

形的性质与判定得出四边形ABEF、四边形CDFE都是平行四边形，从而可得

S'KFG=1S="SCDFE，再根据SABEI,+SCDFE=28和

S四边形FGEH=S^EFG+S&EFHABEF+CDFE即可得出答案,

【详解】

四边形ABCD是平行四边形

:.AD//BC,AD=BC

AFEC

n,=m,m-n

BCBC

AF=EC

：.AD-AF^BC-EC,即。F=5E

二四边形AECF、四边形BEDF都是平行四边形

/.AE//CF,BF//DE

四边形EGFH是平行四边形

综上，图中共有4个平行四边形

如图，连接EF

AFEC

n,-----m,m+nI

~BCBC

：.AF+EC^BC=AD

AF+DF^AD

:.EC=DF

:.AF=BE

二四边形ABEF、四边形CDFE都是平行四边形

SAEFG=W1SCDFE

ABEF+SCDFE=28

•q=s+s

一Q四边形FGEHJ&EFG干EFH-°ABEF十40CDFE

=W(S"^F+SCDFE)

=—X28=7

4

故答案为：4；7.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键.

20.10A/2

【分析】

根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3,再根据N3AO=NBEC证明

BC=BE,由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF,即可求出平行四边形的面积.

【详解】

过点8作BF_LC£＞于点/，如图所示.

：AE是/射。的平分线，

/.ZDAE^ZBAE.

V四边形A8CD是平行四边形，

/.CD=AB=5,BC=AD=3,NBAD=NBCE,AB//CD,

；•ZBAE=ZDEA，

：.ZDAE=ZDEA,

DE=AD-3，

CE=CD-DE=2.

NBAD=NB