北师大版高中数学选修1-1学案

学案

1.1命题命题及其关系

学习目标：理解命题的概念和命题的构成，能判断命题的真假；了解四种命题的的含义，

能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题；会分析四种命题之间的相互关

系；

重点难点：命题的概念、命题的构成；分清命题的条件、结论和判断命题的真假。四种命

题的概念及相互关系.

自主学习

1.复习回顾：初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？

2.判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）空集是任何集,合的子集；

（2）若整数。。是素数，则。是奇数：

（3）2小于或等于2；

（4）对数函数是增函数吗？

（5）2x<15；

（6）平面内不相交的两条直线一定平行；

（7）明天下雨.

合作探究

1.根据下列命题完成填空

（1）如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；（2）如果两个三角形的面积相等，那么它

们全等；（3）如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；（4）如果两个三角形的面积

不相等,那么它们不全等.

命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？

1.上面的四个命题都是形式的命题，

可记为,其中〃是命题的条件，4是命题的结论.

2.在上面的例子中，

命题（2）的分别是命题（1）的，

我们称这两个命题为互逆命题.

命题（3）的分别是命题（1）的，这

两个命题称为互否命题.

命题（4）的分别是命题的，

这两个命题称为互为逆否命题.

3.逆命题、否命题和逆否命题的含义：

一般地，设“若。则q”为原命题，那么

就叫做原命题的逆命题；就叫做原命题的

否命题；就叫做原命题的逆否命题.

3.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题.

（1）若a=0,则“力=（）；（2）若同=网，则。=/?.

4.把下列命题改写成“若p则乡”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同

时指出它们的真假.（1）对顶角相等；（2）四条边相等的四边形是正方形.

5.原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？

（1）原命题与逆否命题；（2）逆命题与否命

题.

练习反馈

1.给出下列命题：

①若ac=历，则a=人；②若a>人，则!<,；③对于实数x，若工一2=0,则x—240；

ab

④若〃>0,则p2>p；⑤正方形不是菱形.

其中真命题是；假命题是.（填上所有符合题意的序号）

2.将下列命题改写成“若p则q”的形式：

（1）垂直于同一直线的两条直线平行；（2）斜率相等的两条直线平行；（3）钝角的余弦

值是负数.

3.写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断真假：

（1）若两个事件是对立事件,则它们是互斥事件；

（2）当c>0时，若a>b，则ac>he.

1.2充分条件与必要条件

1.2.1充分条件&1.2.2必要条件

学习目标：正确理解充分条件的概念；会判断命题的充分条件；通过对充分条件的概念的

理解和运用，培养自己分析、判断和归纳的逻辑思维能力；

重点：充分条件的概念

难点：判断命题的充分条件

自主学习

练习与思考

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

(1)若x>a，+b"',则x>2ab,

(2)若ab=0,则a=0.

置疑：对于命题“若P，则q"，有时是真命题，有时是假命题.如何判断其真假的？

合作探究

命题''若P，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q,也就是说，如果p成立,

那么q一定成立.换句话说，只要有条件P就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条

件p是q成立的充分条件.

一般地，“若P，则q”为真命题，是指由P通过推理可以得出q.这时，我们就说，

由P可推出q,记作：p=>q.

充分条件的定义：.

必要条件的定义：.

上面的命题(1)为真命题，即x>a?+b2nx>2ab,所以“x>a2+b2”是“x

>2ab”的充分条件，“x>2ab”是“x>a2+产"的必要条件

例题分析：

例1:下列''若P，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？

(1)若x=1,则x2-4x+3-0；(2)若f(x)=x,则f(x)为增函数；(3)若x

为无理数，则/为无理数.

分析：要判断P是否是q的充分条件，就要看P能否推出q.

例2：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?

⑴若x=y,则x2=y2；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

（3）若a>b,则ac>bc.

分析：要判断q是否是P的必要条件，就要看P能否推出q.

练习反馈

1、从“充要条件（A）、充分不必要条件（8）、必要不充分条件（C）、既不

充分也不必要条件中选出适当的一种填空：

①“a=0”是“函数了=/+⑪。€/?）为偶函数”的

②"sina>sin尸”是“a>夕”的

wKw

③M>N>log2M>log2N

④“xeMN"是"XGMN”的

2、已知p、q是一的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么

⑴s是q的什么条件？

⑵/"是“的什么条件？

⑶〃是“的什么条件？

3、已知"a2Z?=c>4"和"a

则“cWd”是“eW/”的条件

“c>d”是“e>于”的条件

4、求圆（x-ay+（y-力y=/经过原点的充要条件。

课堂总结

充分、必要的定义.

在''若P，则q"中，若pnq,则p为q的充分条件，q为p的必要条件.

1.2.3充要条件

学习目标：1、正确理解充要条件的定义，了解充分而不必要条件，必要而不充分条件,

既不充分也不必要条件的定义.

2、正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不

必要条件.

3、通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假，.

重点：1、正确区分充要条件：

2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件.

自主学习

1.什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出“=”的含义

2.指出下列各组命题中，“p=q”及“q=p”是否成立

(1)P：内错角相等q：两直线平行

(2)p：三角形三边相等q：三角形三个角相等

3.充要条件定义：一般地，如果既有p=q,又有qnp,就记作：p=q。

这时，P既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说P是q的___条件，简称

充要条件

合作探究

例1:指出下列各命题中，p是q的什么条件：

1)p：x>lq：x>2

2)p：x>5q：x>-l

3)p：(x-2)(x-3)=0q：x-2=0

4)p：x=3q：X2=9

5)p：x=±1q：x2-1=0

例2：1)请举例说明：p是q的充分而不必要条件；p是q的必要而不充分条件；

P是q的既不充分也不必要条件；P是q的充要条件

2)从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也

不必要条件”中选出适当一种填空：

①“aeN”是“a。”的

②"aHO”是“ab#O”的

(3)"X2=3X+4”是“x=j3x+4”的

④“四边相等”是“四边形是正方形”的

3)判断下列命题的真假:①“a〉b”是72油2”的充分条件;②“a>b”是一2油2”

的必要条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件;④“a>b”是,(ac2>bc2”的充分条

件

例3、若甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，问

丁是甲的什么条件？

例4、求证：关于X的方程ax2+bx+c=O(a六0)有两个符号相反且不为零的实根充要条件是

ac<0

x—]

例5、已知P：1-----W2,q：x2-2x+l-m2^0(m>0)且一,p是「q的必要而

3

不充分条件，求实数m的取值范围。

练习反馈

1、下列各组命题中，p是q的什么条件：

1)P：x是6的倍数。q：x是2的倍数

2)p：x是2的倍数。q：x是6的倍数

3)p：x是2的倍数，也是3的倍数。q：x是6的倍数

4)p：x是4的倍数q：x是6的倍数

2、已知p：X],X2是方程x2+5x—6=0的两根，q：x1+*2=—5,则p是q的

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3、p是q的充要条件的是[]

A.p：3x+2>5,q：—2x—3>—5

B.p：a>2,b<2,q：a>b

C.p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形

D.p：a#0,q：关于x的方程ax=l有惟一解.

4、若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，

则D是A成立的[]

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5、设命题甲为：0<x<5,命题乙为|x—2|<3,那么甲是乙的[J

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6、己知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s,r,

p分别是q的什么条件？

7、关于x的不等式

lx—'；)与x?—3(a+l)x+2(3a+l)W0的解集依次为A

与B,问“AqB”是“lWaW3或a=—1”的充要条件吗？

1.3全称量词与存在量词

1.3.1全称量词与存在量词

学习目标：1、通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见

的全称量词和存在量词.

2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量

词的命题及判断其命题的真假性.

重点:理解全称量词与存在量词的意义；

难点：全称命题和特称命题真假的判定.

自主学习

问题1、下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？

（l）2x+l是整数；（2）x>3；（3）如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）

平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课

本都是采用人民教育出版社A版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对

所有的xGR,x>3；（8）对任意一个xdZ,2x+1是整数。

问题2、命题（5）-（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到“所有的”“任意一个”

这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做量词，

含有全称量词的命题，叫做命题。命题（5）-（8）都是全称命题。

问题3、在判断问题1中的命题（5）-（8）的真假的时候，可以得出这样一些命题：

（5）-存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；

（6）.存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人.

（7）,存在一个（个别、某些）实数x（如x=2）,使xW3.（至少有一个xCR,x

W3）

（8），不存在某个xGZ使2x+1不是整数.

这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的

一部分的词叫做_____量词。并用符号“三”表示。含有存在量词的命题叫做命题

（或存在命题）命题（5）'—（8）,都是特称命题（存在命题）.

特称命题：“存在M中一个小使0编成立”可以用符号简记为：立eM,p（x）。

读做“存在一个x属于W使p（x）成立”.

全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当

于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等.

合作探究

(1)下列全称命题中，真命题是:

A.所有的素数是奇数；B.VXG/?,(x-l)20；

TC1

C.VXG+—>2D.VXG(0,—),sinx+---->2

X2sinx

(2)下列特称命题中，假命题是：

A.BxeR,x2-2x-3=0B.至少有一个x£Z,尤能被2和3整除

C.存在两个相交平面垂直于同一直线D.hw{xIX是无理数}，/'是有理数.

(3)已知：对x恒成立，则a的取值范围是；

X

(4)已知：对X/xGK,一一QC+10恒成立，则a的取值范围是；

(5)求函数/'(X)=-cos?尤-sinx+3的值域；

(6)已知I：对VxeR,方程cos2x+sinx-3+a=0有解，求a的取值范围.

练习反馈

1、判断下列全称命题的真假：

①末位是。的整数，可以被5整除；②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的

距离相等；

③负数的平方是正数；④梯形的对角线相等。

2、判断下列特称命题的真假：

①有些实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；

③有些菱形是正方形。

3、判断下列全称命题的真假，其中真命题为()

A.所有奇数都是质数B.Vxe/?,x2+l>l

C.对每个无理数”,则/也是无理数D.每个函数都有反函数

4、将“x2+y2>2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()

A.Vx,yeR,x2+y2>2xyB.Bx,ye：R,都有d+y?22孙

C.Vx>0,y>0,都有/+/22孙D.3x<0,<0,都有x?+J42xy

5、判断下列命题的真假，其中为真命题的是

A.Vxe/?,x2+l=0B.3xe/?,x2+l=0

C.VXG7?,sinx<tanxD.Hresinx<tanx

6、下列命题中的假命题是()

A.存在实数。和B,使cos(a+B)=cosacosB+sinasinB

B.不存在无穷多个a和B,使cos(Q+B)=cosacos0+sinasinP

C.对任意a和6,使cos(a+0)=cosacosB-sinasinB

D.不存在这样的Q和B,使COS(Q+8)^COSacos6—sinasinP

7、对于下列语句(1)3xeZ,x2=3(2)3xG/?,x2=2(3)VxG/?,x2+2x4-3>0(4)

VXWR,Y+X—5>。其中正确的命题序号是o(全部填上)

8、命题=土史是全称命题吗?如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命

,+1|b+1

题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。

1.3.2含有一个量词的命题的否定

学习目标：1、通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们

的否定在形式上的变化规律.

2、通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否

定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.

重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地

对含有一个量词的命题进行否定.

难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定.

自主学习

1、判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？

(1)所有的矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)VxGR,X'一2x+l20。

(4)有些实数的绝对值是正数；

(5)某些平行四边形是菱形；

(6)3xGR,X2+1<0o

2、从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否

定都变成了全称命题。

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。

合作探究

例1、判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：

(1)、P：所有能被3整除的整数都是奇数；

(2)、p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(3)、p：对VxGZ,X。个位数字不等于3；

(4)、p：3xGR,X2+2X+2^0；

(5)、p：有的三角形是等边三角形；

(6)、p：有一个素数含三个正因数。

例2、指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

(1)所有的矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；(3)VxeR,X2-2X+1>0

例3、写出命题的否定(1)p：3xeR,9+2户2W0；(2)p：有的三角形是等边三角形；

(3)p：有些函数没有反函数；(4)p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

练习反馈

1,写出下列全称命题的否定：(1)P：所有人都晨练；(2)p：VxeR,x2+x+l>0；

(3)p：平行四边形的对边相等；(4)p：3xdR,x2-x+l=0；

2、写出下列命题的否定。(1)所有自然数的平方是正数。(2)任何实数x都是方程

5x-12=0的根。(3)对任意实数x,存在实数y,使x+y>0.(4)有些质数是奇数。

3、写出下列命题的否定。(1)若x?>4则x>2.。(2)若m20,则x'+x-mR有实数

根。

(3)可以被5整除的整数，末位是0。(4)被8整除的数能被4整除。(5)若一

个四边形是正方形，则它的四条边相等。

4、写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。(Dp：若x>y,则5x>5y；(2)

P：若x2+x<2,则x2-x<2；(3)p：正方形的四条边相等;(4)p：已知a,b为实数，若x'ax+bWO

有非空实解集，则a—lb》。。

5、命题p：存在实数m,使方程x2+mx+l=0有实数根，则“非p”形式的命题是()

A.存在实数m,使得方程x2+mx+l=0无实根；

B.不存在实数m,使得方程x2+mx+l=0有实根；

C.对任意的实数m,使得方程x2+mx+l=0有实根；

D.至多有一个实数m,使得方程x2+mx+l=0有实根；

6、有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”

结论显然是错误的，是因为()

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

7、命题"X/xeR,X2-X+3>0V的否定是

8、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是_______________________________________

否命题是_________________________________________

9、写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p：VmGR,方程x2+x-m=0必有实根；(2)q：3eR,使得x'x+lWO；

10、写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：

(1)若m>l,则方程x2-2x+m=0有实数根.(2)平方和为0的两个实数都为0.

(3)若4LBC是锐角三角形，则AABC的任何一个内角是锐角.(4)若abc=O,则a,b,c

中至少有一为0.(5)若(xT)(x-2)=0,则xWl,xW2.

1.4逻辑联结词“且”“或”“非”

学习目标：1、掌握逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；

2、正确应用逻辑联结词“或、且、非”解决问题；

重点、难点：通过数学实例，了解逻辑联结词”或、且、非”的含义，使学生能正确地表

述相关数学内容。

自主学习：

1、问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？

(1)①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。

(2)①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。

2、下列各组命题中的两个命题间有什么关系？

(1)①35能被5整除；②35不能被5整除；

(2)①方程x、x+l=O有实数根。②方程x'+x+rO无实数根。

2、归纳定义

(1)一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记

作读作。

(2)_一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记

作读作_______。

(3)一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作;读作

3、命题“p且q”、“p或q”与“非P”的真假的

规定

PqP或q

真真

真假

当P，q都是真命题时，P且q是命题；当P，假真q两个命题中有

一个命题是假命题时，P且q是一_命题；当P，q假假两个命题中有

一个是真命题时，P或q是命题；当p,q两个命题都是假

命题时，P或q是____命题。

合作探究

例1：将下列命题分别用“且”与“或”联结成新命题“pAq”与“pVq”的形式，并

判断它们的真假。

（1）P：平行四边形的对角线互相平分,q：平行四边形的对角线相等。

（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分;

（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.

例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。

（1）1既是奇数，又是素数；（2）2是素数且3是素数；（3）2W2.

例3、判断下列命题的真假；（1）6是自然数且是偶数；（2）。是A的子集且是A的真子;

（3）集合A是ACB的子集或是AUB的子集；（4）周长相等的两个三角形全等或面积相

等的两个三角形全等.

例4：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假

（1）p：y=sinx是周期函数；

（2）p：3<2；

（3）p：空集是集合A的子集。

练习反馈

1、指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题:

（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；

（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；

（3）平行线不相交

2,分别指出下列复合命题的形式(1)827；(2)2是偶数且2是质数；(3)乃不是整数;

3、写出下列命题的非命题：(1)p:对任意实数X,均有X2-2X+120；(2)q：存在一个实

数X,使得X2-9=0(3)“AB〃CD”且“AB=CD"；(4)”△ABC是直角三角形或等腰三角形”.

4、判断下列命题的真假：

(1)423(2)424(3)425(4)对一切实数x,/+x+120

5、分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假

(1)p：2+2=5；q：3>2

(2)p：9是质数；q：8是12的约数；

(3)p：1£{1,2}；q：⑴u{1,2}

(4)p：①u{0};q：<1)={0}

6.在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题乃是“第一次射击中飞机”,

命题.是“第二次射击中飞机”试用小、.以及逻辑联结词或、且、非表示下列命题：

命题S：两次都击中飞机；命题r：两次都没击中飞机；命题/：恰有一次击中了飞机;

命题s至少有一次击中了飞机.

7、分别写出由下列各种命题构成的“。或/“p且g”“非0”形式的复合命题,并判断它

们的真假：

(1)P：末位数字是0的自然数能被5整除q,5e{x|f+3x-10=0}

(2)p：四边都相等的四边形是正方形四个角都相等的四边形是正方形

(3)p：Oe0<7：{x\x-3x-5<0}SR

(4)p：不等式f+2x-8<0的解集是：{x|-4〈x<2}q-.不等式/+2万-8〈0的解集是：{x|

底-4或x>2}

第二章圆锥曲线与方程

2.1椭圆

2.1.1椭圆及其标准方程

学习目标：1、理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；

2、理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；

3、了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法.

重点、难点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无

理方程的常用的方法

自主学习

1.引导学生一起探究P”页上的问题，准备无弹性细绳子一条（约60cm,一端结个套，另一

端是活动的），图钉两个）.当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆.启

发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？

2.由上述探究过程容易得到椭圆的定义：_____________________________________

.其中这两个定点叫做椭圆的，两定点间的距离叫做椭圆

的,即当动点设为“时，椭圆即为点集"⑷防出峥曰。｝,

合作探究

1.椭圆标准方程的推导过程（见教材）：

思考：（1）已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形

的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系.

（2）无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理.

（3）设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有

明显的几何意义.

22

（4）类比：写出焦点在歹轴上，中心在原点的椭圆的标准方程为+表"=1（。＞方＞0）.

2.如何用几何图形解释b2=a2-c2?。力，。在椭圆中分别表示哪些线段的长？

5_3

3.已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2期，（2，0）,并且经过点2~2

,求它的标准

方程.

4.如图，设Z,8的坐标分别为（一5,°）,（5,0）.直线ZM,相交于点且它

_4

们的斜率之积为9,求点〃的轨迹方程.

图2-1-1

练习反馈

L在圆/=4上任取一点P,过点P作X轴的垂线段尸Q,。为垂足.当点?在圆

上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

2.己知B,C是两个定点，iBC1=10,且AABC的周长等于22,求顶点A满足的一个轨迹方程。

35

3,已知椭圆两焦点坐标分别是（0,-2）,（0,2）,并且经过点（-一，-）,求椭圆的标准

22

方程。

2.1.2椭圆的简单性质

学习目标：1.了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称

轴，对称中心、离心率、顶点的概念；

2.掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；利用信息技术初

步了解椭圆的第二定义.

重点、难点：理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；

掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题.

自主学习

1.把平面内与两个定点片，鸟的距离之和等于（大于忻心I）的点的轨迹叫做

椭圆.其中这两个定点叫做，两定点间的距离叫做.即当动

点设为M时，椭圆即为点集尸={"I网+网=2a}

2.写出焦点在x轴上，中心在原点的椭圆的标准方程:。

3.写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程：。

合作探究

1.椭圆的简单几何性质

22

①范围：由椭圆的标准方程可得，与=1—=进一步得：一aKxWa,同

b~a

理可得：—b《yWb,即椭圆位于直线》=±。和），=±6所围成的矩形框图里；

②对称性：由以r代X,以-y代y和一次代X,且以一y代y这三个方面来研究

椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心;

③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交

点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对

称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e=£叫做椭圆的离心率（0<e<l）o

a

当e->0时，cTb,bt当e->1时，cTa,,bTO

椭圆越接近于圆椭圆图形越扁

2.求椭圆16/+25/=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

3.已知椭圆侬之+5;/=5加(加>0)的离心率为0=飞一，求"的值.

练习反馈

“d

1.说出椭圆259的焦点和顶点坐标；

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程，并画出草图：

13

(1)a=6,e=—；(2)C=3,e=一,焦点在y轴上;

35

(3)长轴长是短轴长得3倍，椭圆经过点P(3,0)；

(4)椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别是10和4.

3.如图所示，“神舟”载人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡

天飞行，其轨道是以地球的中心居为一个焦点的椭圆，近地点A距

地面200赤，远地点8距地面350k〃，己知地球的半径

R=6371km.建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.

图2-1-2

2.2.1抛物线及其标准方程

学习目标：1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程.

2.进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等

方面的能力

重点、难点：1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程

2.掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能

力。

自主学习

复习椭圆知识：

(1)把平面内与两个定点耳，工的距离之和等于(大于忻鸟I)的点的轨迹

叫做椭圆.其中这两个定点叫做，两定点间的距离叫做,即

当动点设为M时，椭圆即为点集尸=他11窗+题I=2。｝.

(2)写出焦点在x轴上，中心在原点的椭圆的标准方程：

(3)写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程:.

合作探究

由教材提供的方法画出抛物线的图像，归纳出抛物线的定义和推导标准方程：

(1)定义：.定点F叫做

抛物线的，定直线1叫做抛物线的.

(2)抛物线标准方程的推导过程:

练习反馈

1.已知抛物线的标准方程是y'6x,求它的焦点坐标和准线方程;

2.己知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程;

3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接

受天线，经反射聚焦到焦点处•已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m,求抛物线的标

准方程和焦点坐标。

2.2.2抛物线的简单性质

学习目标:1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导

这

些性质.

2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、

推理等能力

重点、难点：理解并掌握抛物线的几何性质；能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。

自主学习

1.平面内与一定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做定点F不在定直

线1上).定点F叫做抛物线的,定直线1叫做抛物线的.

2.抛物线的____在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的一倍，准线方程与焦

点坐标相反；反之可以逆推。

3.已知抛物线的标准方程是y2=8x,求它的焦点坐标和准线方程

4.已知抛物线的焦点是F(-2,0),求它的标准方程

合作探究

1.抛物线的几何性质：通过和椭圆儿何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？

(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线.

(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合,

抛物线没有中心.

(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点.

(4)抛物线的离心率要联系椭圆第二定义，并和抛物线的定义作比较.其结果是应规定抛

物线的离心率为1.

2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,

求抛物线的方程和m的值.

3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(xl,yl)、

2

B(x2,y2)求证：yjYj=-p,XjX2=

图2-34

图2-2-1

练习反馈

1.点M到点F(4,0)的距离比它到直线1：x+6=0的距离小2,求M得轨迹。

2.求顶点在原点，通过点(石，-6)，且以坐标为轴的抛物线的标准方程。

3.某单行隧道横断面由一段抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车载一集装箱，车

宽3m,车与箱总高4.5m,此车能否安全通过隧道？说明理由。

图222

2.3.1双曲线及其标准方程

学习目标：1.理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题;

2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；

重点、难点：理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义；

会用双曲线的定义解决实际问题.

自主学习

复习旧知:L把平面内与两个定点耳，B的距离之和等于（大于忻尼卜的点

的轨迹叫做椭圆（ellipse）.其中这两个定点叫做,两定点间的距离叫做

.即当动点设为〃时，椭圆即为点集尸=回防㈤*=2。｝.

2.平面内与一定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做定点F不在定直线

1±）.定点F叫做抛物线的,定直线1叫做抛物线的.

3.抛物线的______在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的一倍，准线方程与焦点

坐标相反；反之可以逆推。

合作探究

1.由教材探究过程容易得到双曲线的定义.

叫做双曲线.其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距.即

当动点设为M时，双曲线即为点集P=。

2.双曲线标准方程的推导过程

思考：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法自

己建立直角坐标系.

类比椭圆：设参量6的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,4c的关系

有明显的几何意义.

类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程

22

=推导过程：

3.已知双曲线两个焦点分别为6(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到耳，F2距离差的

绝对值等于6,求双曲线的标准方程.

4.已知A,B两地相距800机，在A地听到炮弹爆炸声比在8地晚2s,且声速为

340/72/5,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

练习反馈

1.求满足下列条件的双曲线的标准方程:

(1)a=3,b=4,焦点在x轴上；

(2)焦点为(0,-10),(0,10),双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16；

(3)焦点为(0,-5),(0,5),经过点(2,--

2

2.证明：椭圆天+彳V=1与双曲线15y2=15有相同的焦点。

2.3.2双曲线的简单性质

学习目标:1.了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）

通过方程，研究曲线的性质.

2.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的

概念；

3.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究

了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念.

重点、难点：理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的

概念；

掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题

自主学习

复习旧知

1.把平面内与两个定点斗，尸2的距离的差的绝对值等于（小于|耳巴|）的点的轨迹

叫做双曲线（hyperbola）.其中这两个定点叫做双曲线的,两定点间的距离叫做双

曲线的.即当动点设为M时，双曲线即为点集2=｛必也用=

2.写出焦点在x轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：

__,

3.写出焦点在Y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：

O

合作探究

1.通过图像研究双曲线的简单性质：

22

①范围：由双曲线的标准方程得，2r=5一120,进一步得：或xNa.这

b~a'

说明双曲线在不等式a,或xNa所表示的区域；

②对称性：由以一％代X,以—y代y和一X代X,且以一y代y这三个方面来研究双

曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中

心；

③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做

圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的

对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

④渐近线：直线y=±2x叫做双曲线1一［=1的渐近线；

aab

⑤离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=£叫做双曲线的离心率（e>l）

a

2.求双曲线9y2—16/=144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.

3.求与双曲线版一］=1共渐近线，且经过A（2j5,-3）点的双曲线的标准方及离心率.

练习反馈

1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长，焦距和离心率：

22V2X2

（1）9丫—V=81;（2）---------=1

人）259

2.已知双曲线土-二=1与双曲线-±•+—=1,它们的离心率e,,02是否满足等式

916916

-2-2_

g+8=1

3.如图，设M（x,y）与定点尸（5,0）的距离和它到直线/：%=当的距离的比是常数

求点M的轨迹方程.

分析：若设点M（x,y）,贝加帧|=Jk_5）2+y2,到直线

/：x=—的距离d=x--,则容易得点M的轨迹方程.