平差易公式(新)

1.坐标转换施工控制点的坐标换算供工程建设施工放样使用的平面直角坐标系，称为施工坐标，也称为建筑坐标。由于建筑设计是在总体规划下进行的，因此建筑物的轴线往往不能与测图坐标系的坐标轴相平行或垂直，此时施工坐标系通常图图9-1施工坐标系与测图坐标系之间的关系选定独立坐标系，这样可使独立坐标系的坐标轴与建筑物的主轴线方向相一致，坐标原点O通常设置在建筑场地的西南角上，纵轴记为A轴，横轴记为B轴，用AB坐标确定各建筑物的位置。由此建筑物的坐标位置计算简便,而且所有坐标数据均为正值。施工坐标系与测图坐标系之间的关系，如图9—1所示，xoy为测图坐标系，AO’B为施工坐标系，则P点的测图坐标为，P点的施工坐标为，施工坐标原点O’在测图坐标系中的坐标为，角为测图坐标系纵轴x与施工坐标系纵轴A之间的夹角。将P点的施工坐标换算成测图坐标，其公式为（9—1）若将P点的测图坐标换成施工坐标，其公式为（9—2）上式中，与的数值是个常数，可在设计资料中查找，或在建筑设计总平面图上用图解的方法求得。2前方交会7.2.1.1前方交会计算公式及检核条件如图7.2.1所示，在ΔABP中，已知A、B两点的坐标和。在两已知点设站，测得A、B两点的夹角为和，通过解三角形计算P点坐标，这个测量过程就是前方交会。设AP边的边长为，方位角为，通过坐标正算公式即可求得P点的坐标，即或从图7.2.1可知，，代入上式则得又因则根据正弦定理，得则故整理简化得（7.2.1）上式称为余切公式。如果将P点的坐标代替A点坐标，A点代替B点，同样可以得出B点的坐标（7.2.2）为了便于计算，应绘制观测略图，对各点和角度进行编号。交会点一般编号为P，已知点编号为A、B，按逆时针方向编排，A、B点的角度编号一般为α、β，观测图形见图7.2.1。计算示例见表7.2.1。表7.2.1点号x（m）角度（°′″）y（m）A小山5522.0129B凤岭5189.3590P尖岗5059.931595.34B野狼坡5189.35α26154291116.906C刘寺4671.79β25544541236.06P尖岗5060.021595.35中数xP5059.98中数yP1595.34计算与检核f容=±0.3×1000=±300（mm）测图比例尺1：10003.侧方交会7.2.2.1侧方交会的图形及计算所谓侧方交会就是在一个已知点B（或A）上和待定点P上设站，分别观测β（或α）和γ角。计算时根据三角形三个内角和等于180°的性质，计算出另一个已知点上的内角α（或β），再由已知点A、B的坐标和α、β，应用余切公式计算出P点的坐标即可。侧方交会图形如图7.2.5所示。7.2.2.2侧方交会的检核方法为了检查观测角和已知点A、B的坐标是否有误，通常在待定点P测角时除观测已知点A、B外，还应观测另一个已知点C，得观测角ε测。根据已知点A、B求得P点坐标后，即可计算角，与观测值ε测进行比较作为检核条件。，则检查角ε测与ε计较差为误差允许值为（7.2.4）当时，计算成果认为是合格的，否则重测。4.后方交会所谓后方交会就是仅在待定点P上设站，观测三个已知点A、B、C，得观测角α、β。然后根据三个已知点的坐标和观测角α、β计算待定点P的坐标，这种方法就是后方交会。如图7.2.6所示。由于这种方法只架设一次仪器，故在大型工程放样、全站仪测图定点时经常用到，希望同学们掌握后方交会的观测方法和计算技巧。计算后方交会点坐标的公式很多，下面介绍几种常用的计算公式。7.2.3.1后方交会的余切计算公式已知点A、B、C和观测角α、β见图7.2.6，计算公式如下（7.2.5）由已知点坐标求N，则（7.2.6）求P点的坐标(7.2.7)使用上述公式时，一定要注意点名和角度的编号，已知点A、B、C逆时针编号，PC边的左边观测角为α，对应的已知点为A；PC边右边的观测角为β，对应的已知点为B点。7.2.3.2仿权公式（由称为重心公式）此种计算公式的形式与广义算术平均值的计算公式类同，故此得名仿权公式。未知点P的坐标计算公式如下（7.2.8）式中，∠A、∠B、∠C为三个已知点A、B、C构成的三角形的内角。α、β、γ为未知点P上的三个角，不论P点在什么位置，它们均满足下列等式：仿权公式计算过程中的重复运算公式较多，如由已知点坐标反算坐标方位角来求得∠A、∠B、∠C和仿权、、的计算，它们都只需换一换变量就能完成几个计算步骤，因而使用计算机和编程计算器特别方便。7.2.3.3后方交会算例已知点坐标和观测数据及计算见表7.2.2。表7.2.2后方交会算例2858.066860.08α118°58′18″4374.876564.14β204°37′22″5144.966083.07γ36°24′20″-1516.81295.94168°57′35.7″-770.09481.07148°00′27.0″-2286.90777.01161°14′03.0″A7°43′32.7″PA0.126185B159°02′51.3″PB-0.2086174657.78C13°13′36.0″PC0.3450036074.26∑180°00′00.0″∑0.262571示意图野外观测略图5.单三角形图7.2.9单三角形法图7.2.9单三角形法由于观测了三角形的三个内角，这就增加了一个图形条件即三个内角和等于180°，但是由于测量过程中存在误差，致使三内角和不等于180°。产生一个三角形闭合差。式中，分别为角的观测值。为了使三角形三内角之和等于180°，就必须对三个观测值进行平差，求其改正数。改正数的计算如下当不能平均分配时，一般将多一秒或少一秒的改正数分配给较大的哪个观测值。改正后的角值为最后由已知点A、B的坐标，和α、β按前方交会公式计算P点的坐标。单三角形的计算见下表7.2.3。表7.2.3单三角形的计算点名观测角改正数平差角X/mY/m（A）青山α58°39′55″+3″58°39′58″3124532.34445016.43（B）N04β53°57′24″+4″53°57′28″3124701.47445193.50（P）N17γ67°22′30″+4″67°22′34″3124741.87444970.54∑179°59′49″+11″180°00′00″ctgα0.60882ctgβ0.727669ctgα+ctgβ1.33649示意图观测略图最后应注意：单三角形定点时，如果已知点坐标抄错了或α、β的位置弄反了，这些错误不能在计算时发现，所以单三角形计算时，一定要严格检查。6.测边交会测量为了测定待定点P的坐标，除了测角交会测量外，目前随着测距仪器的飞速发展，测边交会在工程建设和大比例尺地形测量中已广泛应用。所谓测边交会就是在已知点设站，测定已知点到未知点之间的距离，来确定待定点坐标的方法。7.3.1利用余弦定理计算待定点坐标的方法如图7.3.1所示，该图是测边交会的原理图。图中A、B两点为已知点，P为待定点，a、b为观测边，c为已知边，可由A、B两已知点的坐标反算求得，则AB边长c为在ΔABP中由于三条边的边长已知，可由余弦定理计算出α、β，则有图7.3.1当求出α、β后，就可使用前方交会公式5计算P点坐标。7.3.2利用观测边直接计算坐标图7.3.2如图7.3.2，从P点向已知边AB作垂线，垂足为O，设PO=h，AO=b1，BO=a1。在Δ图7.3.2在ΔBPO中，则有在ΔABP中，根据余弦定理则有（a）在ΔAOP中，则有（b）由（a）和（b）可得将，代入余切公式（6—37），得（7.3.1）使用7.3.1式时，必须注意A、B、P的编号问题，A、B、P是按逆时针方向编排，并使∠A、∠B、∠P所对的边分别记为a、b、c。在实际作业中，为了检核和提高交会精度，一般采用三个已知点向未知点测量三条边，然后每两条边组成一计算图形，可组成三组图形，选取两组较好的交会图形计算P点坐标。当两组算得的点位较差值（e），则当（M为测图比例尺分母）时，取其平均值作为P点的坐标。7.边角后方交会如图7.4.1所示，A、B为两个互不通视的已知点，P为待定点，在P点测得水平角θ和PA的距离S1，在△ABP中，应用正弦定理可求得B角：图7.4.1图7.4.1边角从而可计算角A和AP的方位角：待定点P的坐标为：精度分析可以证明，B角较小，θ接近90°时，交会点精度较高。所以，布设控制点时，应当注意这一点，一般应尽可能测量距待定点较近的边长。.高斯正反算1高斯投影坐标正算公式（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标，求该点在高斯投影平面上的直角坐标，即的坐标变换。（2）投影变换必须满足的条件中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。（3）投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点和,它们的大地坐标分别为（）及（），式中为椭球面上点的经度与中央子午线的经度差：,点在中央子午线之东,为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为和。（4）计算公式当要求转换精度精确至0.OOlm时，用下式计算：2高斯投影坐标反算公式（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标，求该点在椭球面上的大地坐标，即的坐标变换。（2）投影变换必须满足的条件坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；轴上的长度投影保持不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。（3）投影过程根据计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度，接着按计算（）及经差，最后得到、。（4）计算公式当要求转换精度至时，可简化为下式：3高斯投影相邻带的坐标换算（1）产生换带的原因 高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用带、带或任意带，而国家控制点通常只有带坐标，这时就产生了带同带（或带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如图所示：（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算计算过程把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把某投影带（比如Ⅰ带）内