(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题03 平面向量与三角形“四心”（重难点突破）原卷版+解析

专题03平面向量与三角形“四心”一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.（2）为的垂心.（3）为的内心.（4）为的外心。

三、题型突破例1．（1）、（福建省名校联盟优质校2022届高三第四次调研数学试题）给定△ABC，则平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心（2）、（2017·山西·（文）），，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心（3）、（2016·重庆·（理））已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心（4）、（2014·福建福州·（文））已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心

例2．（1）、（2021·河南·高三阶段练习（理））已知平面向量，，满足，，，则的最大值为（）A．1 B． C． D．（2）、（2022·山西太原·高三期末（理））已知向量满足，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4例3．（2021·云南·昆明八中高一阶段练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.(1)证明：点为的垂心；(2)证明：.

例4．（2021·江苏溧阳·高一期末）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（）A．为的外心B．C．D．例5．（2021·全国·高一课时练习）梅赛德斯-奔驰（Mercedes-Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化.已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点为圆心，，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．

归纳总结：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若点为内任意一点，若点满足:1．;2.两点分别是的边上的中点,且;3.;4..专题03平面向量与三角形“四心”一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.（2）为的垂心.（3）为的内心.（4）为的外心。

三、题型突破例1．（1）、（福建省名校联盟优质校2022届高三第四次调研数学试题）给定△ABC，则平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心【答案】A【解析】【分析】设为△ABC的重心，是平面上的任一点，则得到，即可得到结论.【详解】设为△ABC的重心，是平面上的任一点，则当且仅当即与重合时，到A，B，C三点距离的平方和最小，∴平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的重心.故选：A.（2）、（2017·山西·（文）），，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】【详解】∵表示以A为起点，分别与方向相同的两个单位向量的和，∴向量的起点为A，终点必定在∠BAC的平分线上∵，，∴向量与向量在同一条直线上，因此，动点P满足即P在∠BAC的平分线上，∵由于A、B、C是平面上不共线的三个点，∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．本题选择B选项.（3）、（2016·重庆·（理））已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心【答案】A【解析】【详解】试题分析：作出如图的图形，由于，所以，由加法法则知，在三角形的直线上，所以动点的轨迹一定经过的重心，故选A．考点：向量的运算及向量加法的几何意义．（4）、（2014·福建福州·（文））已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心【答案】B【解析】【详解】试题分析：如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点．则BC⋅AB|∵动点P满足∴∴所以,因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心．考点：向量的线性运算性质及几何意义.例2．（1）、（2021·河南·高三阶段练习（理））已知平面向量，，满足，，，则的最大值为（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律得到，将两边平方即可得到，从而求出的取值范围，再根据求出的取值范围，即可得解；【详解】解：因为，所以，即，即，所以，即，即，即，所以，所以，所以，所以，即的最大值为；故选：B（2）、（2022·山西太原·高三期末（理））已知向量满足，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】首先变形，利用数量积公式，变形得，利用的取值范围，即可得到的最大值.【详解】，得，，因为，所以，即，解得：，所以的最大值为3.故选：C例3．（2021·云南·昆明八中高一阶段练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.(1)证明：点为的垂心；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）证明：根据，得到，再根据垂心的定义求解；（2）根据四边形的对角互补，得到，则．进而得到，再由三角形面积公式和奔驰定理求解.(1)证明：如图，因为，所以，同理，，所以为的垂心.(2)因为四边形的对角互补，所以，．同理，，，．，．又，，，．由奔驰定理得.例4．（2021·江苏溧阳·高一期末）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（）A．为的外心B．C．D．【答案】BCD【解析】【分析】由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项．【详解】解：因为，同理，，故为的垂心，故A错误；，所以，又，所以，又，所以，故B正确；故，同理，延长交与点，则，同理可得，所以，故C正确；，同理可得，所以，又，所以，故D正确．故选：BCD．例5．（2021·全国·高一课时练习）梅赛德斯-奔驰（Mercedes-Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化.已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点为圆心，，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分别求出圆与阴影部分的面积，作商即可得到结果.【详解】由已知可得，则.又，.不妨设，则由正弦定