初中数学-1.1.2 等腰三角形（备课件）-2021-2022学年八年级数学下册同步备课系列（北师大版）

北师大版

八年级下册数学第一章

三角形的证明

1.1.2

等腰三角形

1.1.2

等边三角形的性质与判定（含30°直角三角形的性质）小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？情景引入等腰三角形等边三角形一般三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.名称图形定义性质

判定等腰三角形等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形复习回顾思考1如果把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？结论

等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质.新课引入思考2等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴呢？结论

等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.ABC思考3等边三角形的内角都相等吗？为什么？结论等边三角形的三个内角都相等，且都是60°.ABC如图，∵AB=BC=CA，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°.

等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.几何语言：如图，在△ABC中，

AB=BC=AC，

∠A=∠B=∠C=60°.

ABCAB

（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.（2）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“三线合一”；每条边上的中线和高的长度相等，且所在的直线都是等边三角形的对称轴.典例分析例

如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.证明：∵△ABC，△BDE都是等边三角形，

∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°.

∵在△ABE和△CBD中，AB=CB，

∠ABE=∠CBD，BE=BD，∴△ABE≌△CBD（SAS）.

∴AE=CD.ABDCE练一练如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求CE的长.分析：利用等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理的推论，求出∠CDE=∠E，从而将求CE的长转化为求CD的长.ABCDE如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求CE的长.E解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴∠ABC=∠ACB=60°，BD为∠ABC的平分线，∴∠DBE=∠ABC=30°.∵DE=DB，

∴∠E=∠DBE=30°.∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.∴∠CDE=∠E.∴CD=CE.∵等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点,

∴CE=CD=.ABCDE1.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm2.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（）A.30°B.60°C.150°D.30°或150°CD

巩固练习3.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：DC=2AD.证明：∵∠A=90°，∠ABC=2∠C,∴∠C=30°，∠ABC=60°.又BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°.∴∠DBC=∠C，∴BD=DC.在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=DC，即DC=2AD.4.如图所示，在△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BD至E，使DE=BD，DB⊥BC于B，∠ABC=120°，求证:AB=2BC.证明：∵BD是AC的中线，∴AD=CD.在△ADE和△CDB中，AD=CD，∠ADE=∠CDB，

DE=DB，∴△ADE≌△CDB(SAS).∴∠E=∠CBD=90°，AE=BC.又∠ABC=120°，∴∠ABE=30°.∴在Rt△ABE中，AB=2AE，∴AB=2BC.思考1等腰三角形的判定？结论如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.所以这个三角形是等腰三角形.那么三角形的三个内角都相等是否可以判定它是等边三角形，你能证明这个结论吗？

等边三角形的判定如图：已知在△ABC中，∠A=∠B=∠C.证明：△ABC是等边三角形.证明：∵∠A=∠B,∴BC=AC.

∵∠B=∠C,∴AC=AB.

∵BC=AC，AC=AB,

∴AB=BC=AC，则△ABC是等边三角形.ABC类比探究图形等腰三角形判定

三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是例1如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,求证：△ADE是等边三角形.ACBDE典例精析证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？

证明：∵

△ABC是等边三角形，

∴

∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED.∴

∠A=∠ADE=∠AED.∴

△ADE是等边三角形.变式1若点D、E在边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？ADEBC变式2若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？

证明：∵

△ABC是等边三角形，

∴

∠BAC=∠B=∠C=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠B=∠D，∠C=∠E．

∴

∠EAD=∠D=∠E．

∴

△ADE是等边三角形．ADEBC变式3：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你还能用其他方法证明吗？含30°角的直角三角形的性质证法1证明：延长BC到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD

是等边三角形．在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．又∵AC⊥BD,已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．ABCD

证明方法：倍长法∴

BC=AB．

∴

BC=

BD．

证明：在BA上截取BE=BC，连接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

证明方法：截半法证法2EABC知识要点含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

√判断下列说法是否正确：1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．

2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。

3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。

4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，CD=8cm，则BC的长度是多少？解：∵CD是斜边AB边上的高，

∴∠BDC=90°.

∵在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=8cm，

∴BC=2CD=16cm.BCA└D练一练练一练如图，一个等腰三角形的两个底角为15°，腰长为10cm，求这个等腰三角形的面积.分析：求面积需要底边和高的长度，题目已经给出腰长，可以选择作腰上的高，构造出含有30°角的直角三角形，即可求出腰上高的长度，进而求出等腰三角形的面积.ABC练一练如图，一个等腰三角形的两个底角为15°，腰长为10cm，求这个等腰三角形的面积.ABC解：过点C作AB边上的高，交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°，∴∠DAC=30°.∵AB=AC=10cm，CD⊥AB，∠DAC=30°，

∴CD=AC=5cm.∴S△ABC=AB×CD=25cm2.1.等边三角形是____________________的等腰三角形.2.等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A.60° B.90°C.120°D.150°三边都相等C课堂练习3.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有（）A.①②③ B.①②④C.①③ D