概率论与数率统计第一章总结

概率论的基本概念第一部分：内容联系概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。这就为我们提出了两个问题：第一，什么是随机现象，它需要满足那些条件；第二，统计规律性是什么。通过学习，我们知道了随机现象是指在个别试验终期结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。而统计规律性则是指在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。知道了概念，但如何研究随机现象？这就引出了第一节：随机试验。我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。随机试验具有以下的特点:可以在相同条件下重复进行；每一次的实验结果可能不止一个，并且事先能明确实验的所有可能结果进行一次实验前不能确定那一个结果会出现。随机试验E所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S;样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。而实验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。在每次试验中当且仅当这一字集中的一个样本点出现时称这一事件发生。特别，由一个样本点组成的单点集称为基本事件;S称为必然事件；空集∅不包含任何样本点，所以称为不可能事件。事件作为集合的一种,,它适用集合的所有运算性质。对于事件，我们往往需要知道它在一次实验中发生的可能性大小，为此首先引入频率，他描述了事件发生的频繁程度，进而引出概率---表征事件在一次实验中发生的可能性大小的数。频率：在相同条件下进行n次试验，事件a发生的次数Na称为事件A发生的频数，比值Na/n称为事件的频率,记为fn(A)。有定义可知其具有以下性质：（1）0≦fn(A)≤1；fn(S)=1；若A1，A2，A3……为两两不相容的事件,则fn(A1∪A2∪A3∪……)=fn(A1)+fn(a2)+fn(a3)+…大量实验证明，用频率表征事件可能性大小是合适的。但在具体实践中不具有易操作性，因而我们用概率。设E为随机试验，S为样本空间，为事件，对每一个事件赋予一个实数记为P(A)，若满足下列三个条件：1°非负性0≤P(A)≤1，2°规范性P(S)=13°可列可加性对于两两互不相容的事件，，…有常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件的概率。对于试验样本空间只包含有限个元素，试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型，也称古典概型。其概率计算公式为P（A）=k/n=A包含的我基本事件数/S中的基本事件总数.古典概型1°，2°。设任一事件，它是由组成的，则有P(A)==实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的。条件概率考虑的是一个事件发生的条件下另一事件发生的概率.设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。(注意)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。也满足该律所满足所有条件,如非负性,规范性,可列可加性等.例如P(S/B)=1P(/A)=1-P(B/A)条件概率具有以下性质:乘法定理,全概率公式,贝叶斯公式等,划分:设S为试验E的样本空间,Ｂ１，Ｂ２．．．．．Ｂｎ为E的一组事件。若ＢｉＢｊ＝∅，ｉ≠ｊ，ｉ，ｊ＝１，２，３．．．．ｎ；Ｂ１∪Ｂ２∪．．．．．Ｂｎ＝Ｓ，则称Ｂ１，Ｂ２．．．．．Ｂｎ为样本空间的一个划分。独立性①两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。Ø与任何事件都互斥。②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。第二部分相关公式:事件的关系与运算如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。②运算：结合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率(对偶率)：VP(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P()=1-P(B)乘法公式：一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0…………。全概率公式设事件满足1°两两互不相容，，2°，则有。贝叶斯公式设事件，，…，及满足1°，，…，两两互不相容，>0，1，2，…，，2°，，则，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。还未解决的问题：在第一章