二次函数与二次方程的图像与性质

二次函数与二次方程的图像与性质汇报人：XX2024-01-24XXREPORTING目录二次函数基本概念与性质二次方程基本概念与解法二次函数与二次方程关系探讨图像在解题中的应用举例性质在解题中的应用举例总结回顾与拓展延伸PART01二次函数基本概念与性质REPORTINGXX二次函数表达式一般形式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数，且$aneq0$。二次函数定义形如$f(x)=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函数称为二次函数。二次函数系数$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。二次函数定义及表达式抛物线形状对称性顶点与坐标轴交点二次函数图像特征二次函数的图像是一条抛物线。抛物线的顶点坐标为$left(-frac{b}{2a},fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。抛物线关于直线$x=-frac{b}{2a}$对称。抛物线可能与$x$轴交于两个点、一个点或没有交点，取决于判别式$Delta=b^2-4ac$的值。

二次函数性质分析单调性当$a>0$时，抛物线在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当$a<0$时，抛物线在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。值域当$a>0$时，值域为$[f(-frac{b}{2a}),+infty)$；当$a<0$时，值域为$(-infty,f(-frac{b}{2a})]$。奇偶性当$b=0$时，二次函数为偶函数；当$bneq0$时，二次函数为非奇非偶函数。PART02二次方程基本概念与解法REPORTINGXX含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。二次方程定义一般形式标准形式$ax^2+bx+c=0$，其中$aneq0$。$(x-x_1)(x-x_2)=0$，其中$x_1,x_2$为方程的根。030201二次方程定义及表达式利用求根公式$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$求解。公式法通过配方将方程化为完全平方形式，再求解。配方法将方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再求解。因式分解法二次方程求解方法当$Delta=0$时，方程有两个相等的实根（即一个重根）。判别式与根的关系判别式定义：$Delta=b^2-4ac$。当$Delta>0$时，方程有两个不相等的实根。当$Delta<0$时，方程无实根，有两个共轭虚根。判别式与根的关系0103020405PART03二次函数与二次方程关系探讨REPORTINGXX二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$aneq0$）与对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有密切关系。当$a>0$时，函数图像开口向上；当$a<0$时，函数图像开口向下。二次函数的顶点坐标$(-frac{b}{2a},f(-frac{b}{2a}))$与一元二次方程的根有对应关系。当方程有两个实根时，函数图像与$x$轴有两个交点；当方程有一个重根时，函数图像与$x$轴相切；当方程无实根时，函数图像与$x$轴无交点。对应关系分析通过完成平方，可以将二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$转化为顶点式$f(x)=a(x-h)^2+k$，其中$h=-frac{b}{2a}$，$k=f(h)$。这样更容易观察函数的对称性和最值。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，可以通过求解得到其根$x_1,x_2$，进而得到二次函数$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$的表达式。相互转化技巧第二季度第一季度第四季度第三季度例题1解析例题2解析典型例题解析已知二次函数$f(x)=x^2-2x-3$，求函数的顶点坐标以及与$x$轴的交点坐标。通过完成平方，可得$f(x)=(x-1)^2-4$，所以顶点坐标为$(1,-4)$。令$f(x)=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$，所以与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。已知一元二次方程$x^2-4x+3=0$的两个根分别为$x_1,x_2$，求对应的二次函数表达式以及函数的最大值或最小值。由已知条件可得二次函数表达式为$f(x)=(x-x_1)(x-x_2)$。因为方程的两个根之和为$4$，之积为$3$，所以可解得$x_1=1,x_2=3$或$x_1=3,x_2=1$。不妨设$x_1<x_2$，则$f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。通过完成平方可得$f(x)=(x-2)^2-1$，所以函数的最小值为$-1$。PART04图像在解题中的应用举例REPORTINGXX根据二次函数的系数，确定图像的开口方向、对称轴和顶点，进而绘制出完整的二次函数图像。绘制二次函数图像在图像上标注出与x轴或y轴的交点，这些交点即为所求交点坐标。标注交点通过解二次方程，求出交点的横坐标和纵坐标，从而得到完整的交点坐标。求解交点坐标利用图像求交点坐标绘制二次函数图像01根据二次函数的系数，确定图像的开口方向、对称轴和顶点，进而绘制出完整的二次函数图像。确定不等式的解集范围02根据不等式的符号（大于或小于），确定解集在图像上的位置。若不等式为真，则解集位于图像上方或下方；若不等式为假，则解集位于图像内部。求解不等式解集03结合图像和不等式的符号，确定解集的具体范围，从而得到不等式的解集。利用图像判断不等式解集绘制二次函数图像根据二次函数的系数，确定图像的开口方向、对称轴和顶点，进而绘制出完整的二次函数图像。确定最值点的位置根据图像的开口方向和对称轴，确定最值点的位置。若图像开口向上，则最值点位于对称轴上且为最小值点；若图像开口向下，则最值点位于对称轴上且为最大值点。求解最值将最值点的横坐标代入二次函数表达式中，求出对应的函数值，从而得到最值。利用图像解决最值问题PART05性质在解题中的应用举例REPORTINGXX利用性质判断单调性对于一般形式的二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，当$a>0$时，函数在$(-infty,-frac{b}{2a})$上单调递减，在$(-frac{b}{2a},infty)$上单调递增；当$a<0$时，函数在$(-infty,-frac{b}{2a})$上单调递增，在$(-frac{b}{2a},infty)$上单调递减。利用这一性质，可以快速判断二次函数在某一区间上的单调性，从而解决与单调性相关的问题。利用性质判断奇偶性二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的奇偶性取决于$b$的值。当$b=0$时，函数为偶函数，图像关于$y$轴对称；当$bneq0$时，函数为非奇非偶函数。利用这一性质，可以判断二次函数的对称性，并在解题中加以利用。对于一般形式的二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其顶点坐标为$(-frac{b}{2a},f(-frac{b}{2a}))$。当$a>0$时，函数有最小值$f(-frac{b}{2a})$；当$a<0$时，函数有最大值$f(-frac{b}{2a})$。利用这一性质，可以求出二次函数的最值，并解决与最值相关的问题，如求函数的值域、判断不等式的解集等。利用性质解决最值问题PART06总结回顾与拓展延伸REPORTINGXX$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$aneq0$。二次函数的标准形式对于形式$f(x)=a(x-h)^2+k$的二次函数，顶点为$(h,k)$。二次函数的顶点对于形式$f(x)=ax^2+bx+c$的二次函数，对称轴为$x=-frac{b}{2a}$。二次函数的对称轴二次方程$ax^2+bx+c=0$的解对应于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$图像与$x$-轴的交点。二次方程的解与二次函数图像的关系重点知识点总结回顾123在解题时，要清楚当前使用的是哪一种形式的二次函数表达式，并根据需要灵活转换。混淆顶点式和一般式二次项系数的正负决定了抛物线的开口方向，这在判断函数的增减性和最值问题时至关重要。忽视二次项系数的正负对称轴的位置决定了函数图像的对称性，对于求解某些问题（如最值、交点等）有重要作用。不注意对称轴的位置易错难点剖析及应对策略高阶多项式的一般形式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ldots+a_1x+a_0$，其中$ngeq3$，$a_nneq0$。随着$n$的增加，多项式函数的图像