高等数学教学资料微积分学广义积分敛散性判别

高等数学教学资料微积分学广义积分敛散性判别汇报人：AA2024-01-25目录CONTENTS引言微积分学基本概念与定理广义积分的定义与性质敛散性判别方法典型例题分析与解答总结与展望01CHAPTER引言培养逻辑思维和抽象思维能力高等数学的学习过程强调逻辑推导和抽象思维，有助于培养学生的这些重要能力。为后续专业课程打下基础对于许多专业来说，高等数学是后续专业课程的基础，掌握好了高等数学，有助于更好地理解和掌握其他专业课程。高等数学是现代科学的基础无论是物理、化学、工程还是经济学等各个领域，高等数学都提供了必要的语言和工具来描述和解决问题。高等数学的重要性微积分学是广义积分的基础广义积分是在微积分学的基础上发展起来的，许多广义积分的概念和计算方法都来源于微积分学。广义积分是微积分学的拓展广义积分在保留了微积分学基本概念和性质的同时，对积分的范围进行了拓展，使得一些在微积分学中无法解决的问题得以解决。两者的相互渗透在实际应用中，微积分学和广义积分往往相互渗透，共同解决问题。例如，在物理学中，许多问题的求解既需要用到微积分学中的导数、微分等概念，也需要用到广义积分中的积分变换等方法。微积分学与广义积分的联系敛散性判别的意义在理论研究中，敛散性判别是研究广义积分性质的基础。只有对一个广义积分的敛散性有了清晰的认识，才能进一步深入研究其性质和应用。为后续研究提供基础通过敛散性判别，我们可以判断一个广义积分是否存在，即是否收敛。这对于许多实际问题的求解至关重要。判断广义积分的存在性不同的广义积分具有不同的敛散性，因此需要采用不同的计算方法和精度。通过敛散性判别，我们可以确定合适的计算方法和精度，从而提高计算的效率和准确性。确定计算方法和精度02CHAPTER微积分学基本概念与定理导数的定义与几何意义导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。微分与微分的运算微分是函数局部变化的一种线性近似，通过微分可以进行函数的增减性、极值等问题的研究。高阶导数高阶导数表示函数更高层次的变化率，对于研究函数的凹凸性、拐点等问题具有重要意义。微分学基本概念积分学基本概念定积分是求函数在某一区间上与x轴所围成的面积，具有可加性、保号性等基本性质。不定积分的概念与运算不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，通过不定积分可以求解各类实际问题。广义积分的概念与敛散性判别广义积分是对定积分的扩展，允许积分区间包含无穷大或函数在积分区间内有瑕点。敛散性判别是判断广义积分是否收敛的重要方法。定积分的定义与性质微积分基本定理的几何意义揭示了微分与积分之间的内在联系，即“微分是积分的逆运算”。微积分基本定理的应用在求解实际问题时，可以利用微积分基本定理将复杂的问题转化为简单的定积分或微分问题进行处理。牛顿-莱布尼兹公式建立了定积分与原函数之间的联系，使得定积分的计算变得更为简便。微积分基本定理03CHAPTER广义积分的定义与性质广义积分包括两类无穷限广义积分和无界函数广义积分（瑕积分）。设函数$f(x)$在$[a,+infty)$上有定义，若极限$lim_{bto+infty}int_{a}^{b}f(x)dx$存在，则称此极限为函数$f(x)$在$[a,+infty)$上的无穷限广义积分。设函数$f(x)$在$(a,b]$上有定义，$a$为$f(x)$的瑕点，若极限$lim_{epsilonto0^+}int_{a+epsilon}^{b}f(x)dx$存在，则称此极限为函数$f(x)$在$(a,b]$上的无界函数广义积分（瑕积分）。无穷限广义积分的定义无界函数广义积分的定义广义积分的定义线性性质若$int_{a}^{+infty}f(x)dx$和$int_{a}^{+infty}g(x)dx$均存在，则对于任意常数$alpha$和$beta$，有$int_{a}^{+infty}[alphaf(x)+betag(x)]dx=alphaint_{a}^{+infty}f(x)dx+betaint_{a}^{+infty}g(x)dx$。区间可加性若$int_{a}^{c}f(x)dx$和$int_{c}^{b}f(x)dx$均存在，则$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx$。绝对收敛与条件收敛若$int_{a}^{+infty}|f(x)|dx$存在，则称$int_{a}^{+infty}f(x)dx$绝对收敛；若$int_{a}^{+infty}f(x)dx$存在但$int_{a}^{+infty}|f(x)|dx$不存在，则称$int_{a}^{+infty}f(x)dx$条件收敛。广义积分的性质要点三无穷限广义积分的计算通常通过换元法或分部积分法将无穷限广义积分转化为定积分或容易计算的无穷限广义积分进行计算。要点一要点二无界函数广义积分的计算首先确定瑕点，然后通过换元法或分部积分法将无界函数广义积分转化为定积分或容易计算的无界函数广义积分进行计算。在计算过程中需要注意瑕点的处理。绝对收敛与条件收敛的判断通过比较函数$f(x)$与其绝对值函数$|f(x)|$在无穷区间上的广义积分的敛散性来判断原广义积分的敛散性。若两者均收敛，则原广义积分绝对收敛；若原广义积分收敛但绝对值函数的广义积分发散，则原广义积分条件收敛。要点三广义积分的计算04CHAPTER敛散性判别方法010203比较判别法的基本思想通过比较广义积分的被积函数与另一个已知敛散性的函数的性质，来判断原广义积分的敛散性。比较判别法的使用条件需要找到一个合适的比较函数，且该函数在积分区间上的性质易于判断。比较判别法的结论如果比较函数收敛，且被积函数在积分区间上的绝对值小于等于比较函数的绝对值，则原广义积分收敛；反之，如果比较函数发散，且被积函数在积分区间上的绝对值大于等于比较函数的绝对值，则原广义积分发散。比较判别法通过计算广义积分的被积函数与另一个函数的比值，并根据该比值的极限来判断原广义积分的敛散性。比值判别法的基本思想比值判别法的使用条件比值判别法的结论需要找到一个合适的比较函数，且该函数在积分区间上与被积函数的比值存在极限。如果比值的极限存在且小于1，则原广义积分收敛；如果比值的极限大于1或不存在，则原广义积分发散。比值判别法根值判别法的基本思想通过计算广义积分的被积函数的n次方根，并根据该根值的极限来判断原广义积分的敛散性。根值判别法的使用条件被积函数需要满足一定的条件，如非负、连续等。根值判别法的结论如果根值的极限小于1，则原广义积分收敛；如果根值的极限大于1或不存在，则原广义积分发散。根值判别法通过计算广义积分的被积函数在一个子区间上的定积分，并根据该定积分的性质来判断原广义积分的敛散性。需要找到一个合适的子区间，使得在该子区间上被积函数的性质易于判断。如果子区间上的定积分收敛，且被积函数在子区间外的部分对原广义积分的贡献可以忽略不计，则原广义积分收敛；反之，如果子区间上的定积分发散，或者虽然收敛但被积函数在子区间外的部分对原广义积分的贡献不可忽略，则原广义积分发散。积分判别法的基本思想积分判别法的使用条件积分判别法的结论积分判别法05CHAPTER典型例题分析与解答例题1求函数$f(x)=x^3-3x^2+4$在$x=2$处的导数。例题2求函数$y=sin(2x)+cos(3x)$的导数。例题3求函数$y=frac{1}{1+x^2}$的导数，并判断其在$(-infty,+infty)$上的单调性。微分学典型例题030201计算定积分$int_{0}^{1}(x^2+2x)dx$。例题1计算定积分$int_{0}^{pi}sin^2(x)dx$。例题2计算二重积分$iint_{D}e^{x+y}dxdy$，其中$D$是由直线$x=0,y=0,x+y=1$围成的区域。例题3010203积分学典型例题例题1判断广义积分$int_{0}^{+infty}frac{sin(x)}{x}dx$的敛散性。例题2计算广义积分$int_{0}^{1}frac{1}{sqrt{1-x^2}}dx$。例题3判断广义积分$int_{1}^{+infty}frac{1}{x^p}dx$的敛散性，其中$p>0$。广义积分典型例题判断级数$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$的敛散性。例题1判断级数$sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^n}{n}$的敛散性。例题2判断级数$sum_{n=1}^{infty}frac{n!}{n^n}$的敛散性。例题3敛散性判别典型例题06CHAPTER总结与展望微积分学是数学的一个基础分支，主要研究函数的微分与积分以及它们的应用。广义积分作为微积分学的一个重要组成部分，扩展了定积分的概念，使得我们可以对一些在无穷区间上或含有瑕点的函数进行积分。微积分学中的基本概念和定理，如极限、连续、可微、可积等，在广义积分中同样适用。同时，广义积分的计算方法和技巧也离不开微积分学中的基本方法和技巧。广义积分在解决实际问题中有着广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等领域。通过微积分学和广义积分的学习，我们可以更好地理解和应用这些领域中的数学模型和公式。微积分学与广义积分的联系总结在微积分学和广义积分中，我们经常需要判断一个级数或广义积分的敛散性。常用的判别方法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等。比较判别法是一种基本的判别方法，通过比较级数或广义积分与已知敛散性的级数或广义积分的通项或被积函数的大小关系来判断其敛散性。比值判别法和根值判别法分别通过计算级数相邻两项的比值或根值来判断级数的敛散性，适用于一些具有特定形式的级数。积分判别法是一种将级数或广义积分的敛散性问题转化为定积分的敛散性问