高量6-01多个角动量耦合

２００４年１１月第六章多个角动量耦合2/8/20241引言●构造原子和原子核等全同多粒子体系的波函数，要求：１、具有一定的交换对称性２、是角动量算符的本征态●涉及不同耦合方式之间的关系（如L-S耦合、j-j耦合），将碰到四个角动量的耦合●解决此类问题涉及多个角动量的耦合，其基础是两个和三个角动量的耦合●定位：应用上十分重要的技术性问题2/8/20242§6.1

三个角动量耦合——Racah系数，6-j符号RacahCoefficient;6-jSymbol2/8/20243一、Racah系数；与C-G系数之关系●三角动量耦合有次序问题，Racah系数由此而来●考虑彼此对易且独立的三个角动量已知▲三角动量相加有三种方式2/8/20244一、Racah系数；与C-G系数之关系●(1a)对应的共同本征函数●(1b)对应的共同本征函数2/8/20245一、Racah系数；与C-G系数之关系●两个表象通过一个幺正变换相联系▲综合以上各式可得U为C-G系数乘积组合而成，因而为实数●称U为重耦合(recoupling)系数2/8/20246一、Racah系数；与C-G系数之关系●U与所有磁量子数无关1、已求和，U与之无关2、证明与m无关。以升降算符作用于变换式→→m不同对应的变换系数相同2/8/20247一、Racah系数；与C-G系数之关系●变换系数的幺正性由→●逆变换2/8/20248一、Racah系数；与C-G系数之关系●定义Racah系数●解析表达式2/8/20249二、Racah系数的解析表达式▲三角关系Racah系数包含四个C-G系数→四个三角关系2/8/202410三、Racah系数的对称性●由C-G系数对称性而来在量子数交换时，必须保持四个三角关系▲三角关系图形一个图形对应一个Racah系数规定图中弯形箭头的次序为Racah系数中角量子数的排列次序，共24个图形2/8/202411三、Racah系数的对称性●两种交换对称性▲分号两边量子数间无交换的W都相等▲分号两边量子数有交换的W相差一相因子2/8/202412三、Racah系数的对称性●完全版2/8/202413四、6-j符号●Wigner引进▲对称性更高，在下列变换下值不变→任意两列交换；任意两列上下两行交换▲事实上，对应24个W的6-j

符号全相等2/8/202414五、Racah

系数求和公式●C-G系数与Racah系数间求和公式2/8/202415五、Racah

系数求和公式●证明把展开式代入变换关系→→2/8/202416五、Racah

系数求和公式以左矢作用于两边→以作用上式两边得(1)以作用得(2)2/8/202417五、Racah

系数求和公式●Racah系数间求和公式—（1）用Racah系数表示2/8/202418五、Racah

系数求和公式●Racah系数间求和公式—（2）用Racah系数表示2/8/202419五、Racah

系数求和公式●证明两个求和公式要用到的关系式１→２↓以及2/8/202420五、Racah

系数求和公式●（1）式的证明2/8/202421五、Racah

系数求和公式●（1）式的证明（续）将后两式代入第一式，注意到↓，即得（1）2/8/202422六、Racah

系数基本应用●用于计算不可约张量算符矩阵元—１2/8/202423六、Racah

系数基本应用●用于计算不可约张量算符矩阵元—２2/8/202424六、Racah

系数基本应用●具体例子——计算电子角动量平均值利用2/8/202425六、Racah

系数基本应用●计算电子角动量平均值（续）亦可利用一阶张量投影定理计算2/8/202426六、Racah

系数基本应用●具体例子——计算氦核电四极矩设氦核处于态电四极算符因2/8/202427§6.2

矢量球函数及梯度公式VectorSphericalFunction2/8/202428一、矢量球函数●矢量函数描述S=1的粒子2/8/202429一、矢量球函数●总角动量本征函数称为矢量球函数2/8/202430一、矢量球函数●梯度公式2/8/202431§6.3

四个角动量耦合—9-j符号9-jSymbol2/8/202432一、考虑四个角动量的耦合●考虑两种耦合次序——对应两个表象力学量完全集共同本征函数展开式2/8/202433一、考虑四个角动量的耦合●变换系数与9-j符号与C-G系数的关系2/8/202434一、考虑四个角动量的耦合●9-j符号与6-j符号的关系1)2)2/8/202435一、9-j符号的对称性●9-j符号与3-j符号的关系2/8/202436二、9-j符号的对称性●由3-j符号的对称性得9-j符号的对称性1)行列转置，9-j符号值不变2)任意行或列作偶数次交换，9-j符号值不变2)任意行或列作奇数次交换，9-j符号值差一因子→2/8/202437三、9-j符号的应用●由j-j耦合变到L-S耦合要用到9-j符号2/8/202438２００４年１１月第七章二次量子化方法2/8/202439引言通常的波动力学方法处理全同粒子体系麻烦→发展了二次量子化方法引进粒子占有数表象2/8/202440§7.1

中心场近似CentralFieldApproximation2/8/202441二、中心场近似●多粒子系统的哈密顿量例：原子序数为z的原