新教材2023版高中数学第五章数列5.1数列基础5.1.2数列中的递推课件新人教B版选择性必修第三册

5．1.2数列中的递推通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法：递推公式．新知初探·自主学习课堂探究·素养提升新知初探·自主学习教

材

要

点知识点一数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的________________；②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的________公式．首项(或前几项)

递推状元随笔由数列的递推公式能否求出数列的项？[提示]能，但是要逐项求．

知识点二数列递推公式与通项公式的关系

递推公式通项公式区别表示an与它的前一项______(或前几项)之间的关系表示an与______之间的关系联系(1)都是表示________的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式an－1n数列

S1Sn－Sn－1基

础

自

测

1．已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，则该数列的第5项等于(

)A．6B．7C．8D．9解析：因为an＝an－1＋an－2(n≥3)且a1＝1，a2＝2.所以a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.答案：C2．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(

)A．an＋1＝an＋n，n∈N＋B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2解析：a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，故an－an－1＝n，且n≥2，n∈N＋.答案：B

答案：34．若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n，则a5＝________.解析：数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n，则a5＝S5－S4＝(25＋5)－(24＋4)＝17.答案：17课堂探究·素养提升

【答案】

(1)B

(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(

)A．31B．32

C．61D．62【解析】

(2)∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.【答案】

(2)A

答案：(2)A

由数列的若干项归纳递推公式例2

分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．(1)4，5，7，10，14，…；【解析】an＋1＝an＋n.由于a5＝14，∴a6＝a5＋5＝14＋5＝19，a7＝a6＋6＝19＋6＝25.(2)7，9，11，13，15，…；【解析】an＋1＝an＋2.由于a5＝15，∴a6＝a5＋2＝15＋2＝17，a7＝a6＋2＝17＋2＝19.(3)2，6，18，54，162，….【解析】an＋1＝3an.由于a5＝162，∴a6＝3a5＝3×162＝486，a7＝3a6＝3×486＝1458.方法归纳由数列的前几项写递推关系的思路是寻找相邻两项或几项之间的关系，可以从后一项与前一项的差或和，后一项是前一项的倍数等角度去考虑，然后用剩余的项去验证猜想即可；由递推公式写出数列的项的方法是根据递推公式，依次求出各项即可．跟踪训练2

(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则a2＝a1＋____，a3＝a2＋____，a4＝a3＋____，由此归纳出an＝an－1＋___．234n解析：(1)a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.(2)图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，这个数列的递推公式为_____________________．解析：由图知，这四个三角形图案中着色的小三角形个数分别为a1＝1，a2＝3a1＝3，a3＝3a2＝9，a4＝3a3＝27，故有递推公式为an＋1＝3an，a1＝1，n∈N＋.an＋1＝3an，a1＝1(n∈N＋)

由an与Sn的关系求通项公式例3

已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．【解析】

a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.【答案】

4n－5

跟踪训练3

(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．

(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，求通项an.

数列的递推公式与通项公式的关系【思考探究】1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？[提示]

由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.即an＝2n＋18(n∈N＋，n≤30)．

3．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1－an＝2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？[提示]由an＋1－an＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，将这些式子两边分别相加得：a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，所以有an＝2(n－1)＋a1＝2n＋1(n∈N＋)．

【答案】

(1)B

跟踪训练4

(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，写出这个数列的前5项，猜想an并加以证明．

解析：(1)a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14，猜想：an＝3n－1.证明如下：由an＋1＝an＋3得a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，a4＝a3＋3，…，an＝an－1＋3.将上面的(n－1)个式子相加，得an－a1＝3(n－1)，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.

答案：(2)D

教材反思1．本节课的重点是数列递推公式的应用，难点是数列函数性质