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文档简介
第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.2空间向量运算的坐标表示一、教学目标1、熟练掌握空间向量运算的坐标表示;2、通过类比的方式快速掌握空间向量的线性运算、数乘运算、数量积的坐标表示;3、通过空间向量运算的坐标表示,充分了解二维与三维的关联,扩大视界.二、教学重点、难点重点:空间向量运算的坐标表示的理解与掌握.难点:空间向量运算的熟练应用.三、学法与教学用具1、学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从而完成本节课的教学目标.2、教学用具:多媒体设备等四、教学过程(一)创设情景,揭示课题【复习回顾】平面向量运算的坐标表示向量已知,则非零向量与夹角公式向量与垂直向量共线(平行)的充要条件是【引入问题】能否通过类比方式,找出空间向量运算的坐标表示及其公式?(二)阅读精要,研讨新知【类比转化】通过空间向量与平面向量的类比,二维平面与三维空间的关系,得出以下结论.空间向量运算的坐标表示向量已知,则非零向量与夹角公式向量与垂直当时,【例题研讨】阅读领悟课本例2、例3(用时约为2-3分钟,教师作出准确的评析.)例2如图1.3-8.
在正方体中,
分别是的中点.求证:.证明:设,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,所以,所以.所以,即.例3如图1.3-9,在棱长为1的正方体中,为的中点,分别在棱上.
.(1)求的长.(2)求与所成角的余弦值.解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则,因为为的中点,所以所以,即的长为.(2)由(1)得,所以,所以所以,与所成角的余弦值是.【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5,同桌交换检查,老师答疑.【练习答案】(三)探索与发现、思考与感悟1.(多选)已知向量,下列等式中正确的是(
)A. B.C. D.解:,∴,对于A,,该等式错误,所以A错;对于B,,,该等式正确,所以B正确;对于C,,该等式正确,所以C正确;对于D,,,∴,该等式正确,所以D正确.故选BCD.2.已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是(
)A. B. C. D.解:因为,,所以,,所以向量在向量上的投影向量是.故选C3.如图,已知直三棱柱中,为的中点,.求证:(1);(2)平面.证明:(1)如图,以点为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.设,则,,所以因为所以,即.(2)取的中点,连接,因为,所以,又,所以又和不共线,所以又平面,平面,所以平面.4.如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧棱底面,分别为的中点.若.(1)求;(2)求异面直线与所成角的余弦值;(3)判断四边形的形状.解:(1)如图,以为原点,射线为轴,轴,轴的正半轴,建立空间直角坐标系.则,,,,,,所以,则.(2)由(1)知,,,所以所以异面直线与所成角的余弦值为(3)因为,所以四边形AEFG是平行四边形,又,所以,即,又,所以四边形是矩形.(四)归纳小结,回顾重点空间向量运算的坐标表示向量已知,则非零向量与夹角公式向量与
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