（新高考通用）2024年高考数学高频考点题型 第26讲 复数（精讲）原卷版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第26讲复数（精讲）题型目录一览①复数的有关概念②复数的四则运算③复数的模长④复数相等和共轭复数⑤复数的几何意义⑥复数的三角形式一、知识点梳理一、知识点梳理一、复数的概念=1\*GB3①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，叫虚数单位，满足（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；（2）当b≠0时，a＋bi为虚数；（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）=3\*GB3③复数的模：复数的模，其计算公式二、复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数．（3）．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．三、复数的三角形式（1）复数的三角表示式一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．（2）辐角的主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．（3）三角形式下的两个复数相等两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．（4）复数三角形式的乘法运算①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即．（5）复数三角形式的除法运算两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．【常用结论】①当时，．②二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一复数的有关概念策略方法解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b．(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝eq\x\to(z)；③z∈R⇔z2≥0．(3)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0．【典例1】（单选题）已知i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a等于（

）A． B． C． D．2【题型训练】一、单选题1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）复数的虚部为（

）A． B． C．2 D．162．（2023秋·广东惠州·高三统考阶段练习）已知复数满足，则的虚部是（

）A．2 B．2i C．1 D．i3．（2023·湖南·校联考模拟预测）复数z满足，则z的实部是（

）A．－1 B．1 C．－3 D．34．（2023·辽宁辽阳·统考二模）复数，则复数的实部和虚部分别是（

）A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i5．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（

）A． B． C．2 D．36．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知复数是纯虚数，则的值为（

）A． B．12 C． D．37．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若复数是纯虚数，则（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1题型二复数的四则运算策略方法复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．【典例1】（单选题）若复数满足（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【题型训练】一、单选题1．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）若复数（是虚数单位），则z=（

）A． B． C． D．2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知为虚数单位，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）（

）A． B． C． D．4．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）若复数，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）若复数，则（

）A． B． C． D．7．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，则（

）.A． B． C． D．08．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）若复数所对应的点在第四象限，且满足，则（

）A． B． C． D．题型三复数的模长策略方法【典例1】（单选题）已知复数满足，则（

）A． B． C． D．5【题型训练】一、单选题1．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知复数，则（

）A． B．2 C． D．102．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知复数满足，则（

）A． B． C． D．3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）若，，则（

）A． B． C．2 D．104．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）若复数，则（

）A． B． C．4 D．55．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知为虚数单位，且复数满足，则（

）A．1 B．2 C． D．6．（2023·四川·校联考模拟预测）（

）A．1 B． C． D．27．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（

）A． B． C． D．8．（2023·广东东莞·统考模拟预测）复数满足，则（

）A． B．C． D．9．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，则（

）A． B．10 C． D．210．（2023·湖北武汉·统考三模）设复数满足为纯虚数，则（

）A． B． C． D．11．（2023·江苏盐城·统考三模）已知，，虚数是方程的根，则（

）A． B． C．2 D．12．（2023·福建漳州·统考模拟预测）复数满足，则（

）A． B． C． D．2题型四复数相等和共轭复数策略方法解决与集合的新定义有关问题的一般思路(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；(2)在z，eq\x\to(z)，|z|中至少含有两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z．(3)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．【典例1】（单选题）已知为虚数单位，复数，其中a，，则（

）A．， B．， C．， D．，【典例2】（单选题）若，则（

）A． B． C． D．【题型训练】一、单选题1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知复数，若的共轭复数为，则（

）A． B．5 C． D．102．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．23．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知复数z满足，则（

）A．1 B． C． D．24．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知复数，，则（

）A． B． C．1 D．25．（2023·山西大同·统考模拟预测）复数，则（

）A． B． C． D．6．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）已知复数，则（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知i是虚数单位，设复数z的共轭复数为，则（

）A． B． C． D．8．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数满足，其中为虚数单位，则（

）A． B． C． D．9．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．10．（2023·江西·统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数，则（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C．0 D．112．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）若，其中，则（

）A． B． C． D．13．（2023·全国·高三专题练习）已知复数是复数的共轭复数，则（

）A． B． C．4 D．214．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（

）A．2 B． C．4 D．15．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（

）A．3 B． C． D．16．（2023·山东烟台·统考三模）已知复数满足，则（

）A．1 B． C． D．217．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知（a，，i为虚数单位），则复数（

）A．2 B． C． D．618．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）复数，（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．题型五复数的几何意义策略方法与复数几何意义相关的问题的一般解法【典例1】（单选题）在复平面中，复数（为虚数单位）对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【题型训练】一、单选题1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023秋·四川内江·高三期末）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2023·广东汕头·统考三模）已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知，则复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若复数，则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2023·河南·襄城高中校联考三模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．10．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（

）A． B． C． D．11．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知，则复数z在复平面上对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）复数满足在复平面内对应的点为，则（

）A． B． C． D．13．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）在复平面内，复数对应的点为，则（

）A．2 B．1 C． D．14．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知，其中a，b为实数，则在复平面内复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型六复数的三角形式策略方法一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．【典例1】（单选题）把复数化三角形式为（

）A． B．C． D．【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（

）A．-1 B．1 C．- D．2．（2023·全国·高三专题练习）复数的辐角主值为（

）A． B． C． D．3．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）欧拉是世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推