小学奥数 比较与估算

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比较与估算学生版

比较与估算教师版

比较与估算

图学目强

本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一

讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。

一、小数的大小比较常用方法

为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位

数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式)

二、分数的大小比较常用方法

⑴通分母：分子小的分数小.

(2)通分子：分母小的分数大.

(3)比倒数：倒数大的分数小.

(4)与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小.(适用于真分数)

⑸重要结论：

①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大：

②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大.

(6)放缩法

在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！

三、数的估算时常用方法

(1)放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小.使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果.

(2)变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式.

模块一、两个数的大小比较

【例。如果"黑…舞’那么.中较大的数是——

【巩固】试比较挑和鬻的大小

444443555554

【巩固】比较的大小

444445555556

111111110444444443

［例2］如果A=B=■与B中哪个数较大?

222222221888888887

【巩固】如果人=李’八磊,那么A和2中较大的数是一,

【巩固】试比较UL和ULL的大小

111111111

【例3］在“=20032003x2002和0=20022003x2003中，较大的数是,比较小的数大

［例4］设斫1+b=-+-+则在〃与方中，较大的数是。

34567

【例5】比吗+*++++_1与1的大小.

64-8

【巩固】1X2X2XZXx”与，相比，哪个更大，为什么？

246810010

［例6］试比较：2x2x2xx2与3x3x3xx3哪一个大？

296个2185个3

【例7】图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出（单位：厘米2）.黑色

的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由.

19932I9922

1996219972

111

例8击击中选出若干个数使它们的和大于3,最少要选多少个数?

2-3-4-

75«QQ2

【例9】已知：A=-x-x-x/竺，那么A与0.1中比较大，说明原因;

369999------------

模块二、多个数的大小比较

【例10】⑴比较以下小数，找到最大的数：1二211.121,1.12,1.12121,1.12

⑵比较以下5个数，排列大小：1,0.，3,1.667,

73

【巩固】在1，上中，最小的数是

3711

【巩固】在?3.04、3；四个小数中'第二小的数是.

【巩固】分数3,t17,"1,151中最大的一个是

7935203301-----------

【巩固】有8个数，0.5..|,。5,春得是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数

是0.51,那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？

■“”199819981999199920002000.且八都曰

【巩固】在--------,---------,---------中，最小的分数是.

199919992000200020012001

【例11］（1）把下列各数按照从小到大的顺序排列：

7131628

（2）（幼苗杯数学邀请赛）把下列分数用号连接起来：

1719233391

【巩固】将史、&、0.523、0.523、0.52从小到大排列，第三个数是________.

25040

【巩固】这里有五个分数：25151012如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数?

38231719

【巩固】将下列乘式结果按从小到大排序：661x669,662x668,663x667,664x666,665x665.

【巩固】编号为1、2、3的三只蚂蚁分别举起重量为,当克的重物.问：金、银、铜牌应分

127333488

别发给几号蚂蚁？

【巩固】请把空，当2丝上这4个数从大到小排列。

6575326809

【例12］在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少？

31n9

【巩固】⑴比大比g小的分数有无数多个'则分子为27的分数是——.（写出一个即可）

⑵右面方框里填什么自然数时，不等式成立？!<^<1

【巩固】比I大，比沙的分数有无穷多个，请写出三个：------------

【巩固】⑴找出一个比士大，比2小的分数。

56

⑵满足下式的括号里的数字有多少个自然数：

7()3

【巩固】下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些分母的和最小是多少？

-L->—

()()()()()

【例13】在下面9个算式中：

公35G36637G389公310令311公312A313

(1)1------9(§)----1-----------------1------,(2)----1-----------------1------,(§)--------1------9(J)-----1------9(§)-----1-----(§)-----1------9

52062072082092010201120122091320

第几个算式的答数最小，这个答数是多少？

■bey丑2005x2006,2006x20072007x2008,上

【巩固】若4=---------------,b=----------------,c=----------------,则有)o

2007x20082008x20092009x2010

(A)a>b>c(B)a>c>b(C)a<c<b(£))a<b<c

【巩固】甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪一个是平衡的?

【巩固】这里有5个分数：25151012(如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数?

38231719

【例⑸从《』六个数中选出三个数，分别记为4&C.要求选出的三个数使得小"。

尽量大，并写出Ax(B-C)的最简分数表示。

【例16］在四个算式6口0.3=0,6a—=0,6D0.3=0,6口」-=O的四个方框内，分别填上加、减、

0.30.3

乘、除四种运算符号，使得到的四个算式的四个圆圈之和尽可能大，那么这个和等于多少？

【例17］从1,2,3,4,5,6,7,8,9中随意取出两个数字，一个作分子，一个作分母，组成一个分

数，所有分数中，最大的是,循环小数有个o

【例18]从中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与接近，去掉的两个数是().

234567

(A)(8)(C)(D)

25263534

123473

【例19]已知Ax15x1—=Bx——x15=Cx15.2+—=Ox14.8x—・

9934574

A、B、a。四个数中最大的是.

【例20］已知ax3Z-Uxb=c,并且。，b,。都不等于0,把。、b、。这三个数按从小到大的顺序排

312

^0是一<一<一。

【例21】气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表:

景区千岛湖1张家界庐山|三亚丽江大理九寨沟鼓浪屿武夷山黄山

气温(C)11/18/4,/-227/1917/318/38/-815/915/10/-5

其中，温差最小的景区是,温差最大的景区是

模块三、数的估算

【例22】求数〃=2+凡+里++3的整数部分.

100101

【巩固】已知A=l+-+-+-+-+-+-,则A的整数部分是.

245678

【例23】求数彳的整数部分是几?

【巩固】求数的整数部分.

［巩固］已知：S=1--------,一彳---------厂，则S的整数部分是.

-------H------------1-----------F...H----------

1980198119822006

【巩固】已知A=-.........J-------------厂，则与A最接近的整数是

「的整数部分是

【巩固】n-j-5—

----1-----1-----P...-I----

30313249

［巩固］-.....］------\---------j...........-的整数部分是

------+-------+-------+-------+-------

20072006200520042003

【例24］已知N=l+，+,+'+」•+'+1+靛,求N的整数部分.

H---；-----；-----F

511192941〃优+1)-1

［例25］4=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998,A的整数部分是.

【巩固】a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998,a的整数部分是

【巩固】已知x=0.9+0.99+0.999++0.9999999999.求x的整数部分.

【例26］计算8.01x1.24+8.02x1.23+8.03+1.22整数部分.

【例27］老师在黑板上写了七个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位）.小明计算出

的答数是14.73,老师说：“除最后一位数字外其它都对了."那么，正确的得数应是.

【巩固】有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9.那么，精确到小数点

后两位数是多少？

【例28］已知除法算式：12345678910111213:31211101987654321.它的计算结果的小数点后的前三位

数字分别是.

【例29】求！+2+!+!+!+，+1的整数部分是多少?

3456789

【巩固】4=1+1+」+!+,+!+,+!+…+工的整数部分是多少？

234567816

11111+《一小焉卜。的整数部分是——

【例3011

246810

【例311有一列数，第一个数是133,第二个数是57,从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平

均数，那么，第16个数的整数部分是-

【例32】试求++W"++记需误差小于0006的近似值・

【例33］在横线上分别填入两个相邻的整数，使不等式成立：——<*+工++「+为<——

【例34】记4=』+3+工+”+,那么比A小的最大自然数是

248161024

【例35］六个分数;，-—,’的和在哪两个连续自然数之间？

ZJ。/1113

19x79+18x80+密瑞鬻"那么他——

【例36］已知：A=

19x81+18x82+

2629

【例37)计算：-+-+—+(四舍五入保留至小数点后第三位，注:

3927+三土旷

3,0=59049)

比较与估算

本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一

讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。

圜li川parn发】

一、小数的大小比较常用方法

为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位

数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式)

二、分数的大小比较常用方法

⑴通分母：分子小的分数小.

⑵通分子：分母小的分数大.

(3)比倒数：倒数大的分数小.

(4)与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小.(适用于真分数)

⑸重要结论：

①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大：

②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大.

(6)放缩法

在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！

三、数的估算时常用方法

(1)放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小.使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果.

(2)变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式.

模块一'两个数的大小比较

【例38】如果”=型"，人=圆"，那么〃，人中较大的数是

20062007---------

【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】方法一：(与1相减比较法》

2005二1i2006].因为一!一＞]

-------;1―--------所以人较大；

2006—20062007200720062007

方法二：＜比倒数法〉因为」—＞」—、，20062007进而侬<您

所以----->-----即。<Z?;

200520062005200620062007

方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以。大

【答案】h

【巩固】试比较橙和需的大小

【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

19951946

【解析】------>-------

19981949

19951946

【答案】------>-------

19981949

比较器和窸的大小

【巩固】I

【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【解析】因为＞器=品'＞11黑=蔡,显然篇,蔡,根据被减数一定,减数

越大差越小的道理，

444443555554

有：-------<--------

444445555556

444443555554

【答案】----------<-----------

444445555556

■miOCY人口田.111111110募揣力与B中哪个数较大？

【例39］如果A=---------------，Bn=

222222221

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，决赛

【解析】方法一：观察可以发现A、3都很接近,，且比它小.我们不防与,比较.

22

2x2222122221J-"1—即8比A更接近!，换句话说

--------------,一B<

22x888888887222

B>A.

方法二：6311山0;山山164=44444444。＜444444443

=B,即AvB.

222222221222222221x4888888884888888887

-=2---------------显然L>_L贝

方法三：—2---------------

A111111110B444444443AB

【答案】B

【巩固】如果4=必坦,3=当空，那么A和3中较大的数是・

222223333334

【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【关键词】祖冲之杯

222221666663666662333331

【解析】A=---------->-----------=B,即A大

222223666669666668333334

【答案】4

【巩固】试比较里和业的大小

111111111

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的10倍多1.对于这样的分数，可以利用它们的

倒数比较大小.山的倒数是i+W=io—,ULL的倒数是1+,

mimiinmumumi

我们很容易看出io—>io」一，所以mi

inmimimu

方法二：器二器M酸，两个真分虬

如果分子和分母相差相同的数,则分子和分母

都大的分数比较大，所以U2_<ULL,即旦L1111

<--------

1111011111111111111

inmi

【答案】—<------

111111111

【例40］在4=20032003x2002和5=20022003x2003中，较大的数是,比较小的数大,

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】Z,-a=20022003x2003-20032003x2002=20020000x2003+2003x2003-20030000x2002-2003x2002=200

3x(2003-2002)=2003

所以a比匕大2003

【答案】a比6大2003

【例41］设斫-+b=-+-+则在〃与人中，较大的数是.

34567

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】可采用放缩法。因为［二-+->-+-,->-o所以即a是较大的数。

366674534567

当然这道题目我们也可采用通分求结果的一般方法。

【答案】a

［例42］比较1+4+」++」与1的大小.

82921026428

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】如果直接放缩：

111111

+-----V-------+--------H-----------+H-------------

记+示+存+6427x88x99x1063x64

111111

-----------1-----------1+----------

78896364

11

-，

764

彳曰日111111与的大小关系,

但;<一<------,所以不能确定+—L1

8764拜+5+方+6428

同样如果如下进行放缩:

11111111

——>--------1-----------H--------------1-+---------

记+乒+市++6428x99x1010x1164x65

=———,也不能确定.

865

+*进行放缩,

但是如果保留《，将5+2+则有:

11111111

-----1-------1---------1-H-------<------1----------1------------p4-------------

8292102642828x99x1063x64

1111

------1------------=一

648648

可见两者中」较大.

8

【答案】，较大

8

135722与,相比，哪个更大，为什么？

【巩固】—X—X—X—XX-

246810010

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

!1357992468100

【解析】Xx---,显然有：a<b=—X—X—X—XX---

24681003579101

「，11,所以原分式比」■•小.

而=---<----,有a2<—

10110010010

」■更大

【答案】

10

【例43］试比较：2x2x2xx2与3x3x3xx3哪一个大？

296个2185个3

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

8个2

【解析】296=37x8,185=37x5,因为2x2x2x*2=空>［所以2x2x2xx2>3x3x3xx3

3x3x3xx3243296个2185个3

5个3

【答案】2x2x2xx2

296个2

【例44］图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位：厘米2).黑色

的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由.

1993219922

1996219972

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，口试

【解析】此题利用到平方差公式：a2-b2=(a+b)x(a-b)

19972-I9962=(1997+1996)x(1997-1996)=1997+1996=3993

19932-19922=1993+1992=3985

所以19972-19962>19932-19922

即19972+1992?>19962+1993、两个白色正方形的面积大.

【答案】两个白色正方形的面积大

【例45］在1」」」，中选出若干个数使它们的和大于3,最少要选多少个数?

23499100

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数.

有1,「依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择.

23499100

有1+—+—+—+—+—+—+—+—+—«2.925

2345678910

^1111111111r…

而1+—+-+—+-+-+—+-+—+—+—»3.015

234567891011

所以最少选择11个即可使它们的和大于3.

【答案】11个

【例46］已知：A=2X9X§Xx—,那么A与0.1中比较大，说明原因;

369999------------

【考点】两个数的大小比较【难度】4星【题型】填空

【解析】—」旦=(3〃二)2-1<(3〃一1

3«-13〃+1(3«)--1(3〃)

9979989991

x___x___x____—____

99899910001000

A>1-,即A比0.1大

10

【答案】A比较大

模块二、多个数的大小比较

【例47】⑴比较以下小数，找到最大的数：,1.⑵，1.12,1.12121,1.12

・・4S

⑵比较以下5个数，排列大小：1,0.42,—,1.667,

73

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数，如下所示：

1.121^1.12112112/

1.1211.121000000

1.12-^1.121212121

1.12121^1.121210000

1.12^1.120000000

于是可以得出结果，1.五是最大的数.对于循环小数的问题，首先考虑的就是将其展开，从中获

得足够的信息，然后按照小数比较原则判断，不处理而一味的观察是没有意义的.

(2)题目中出现了整数、小数、假分数，可以先把数分为两个部分，一部分为小于1的数，一部分

为大于等于1的数，然后两部分内部比较，无须两部分间重复比较.

①小于/的部分为0.13和a,将小数展开，并把3化为小数得：0工28571显然o.12857i>0.42,

77

即上>0.42;

7

②大于等于1的部分中，有整数、小数、假分数：1,1.667,先将假分数化为带分数1—,比

33

、2

较三数整数部分，发现都为1,然后比较其他部分：1—=1.666666…<1.667,所以得到1<

3

2••3?

1-<1.667.即得：0.42<-<1<1-<1.667.

373

♦・・・qo

【答案】(1)1.12(2)0.42<-<1<1-<1.667.

73

【巩固】在J,3中，最小的数是______.

3711

【考点】多个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】2.=±>±=4>K=之所以最小的是已

36777771111

【答案】-

11

【巩固】在口、3.04、31四个小数中，第二小的数是一

53

【考点】多个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，五年级，初赛

1711

【解析】由于一=3.4,3-=3.333333,可以看出，其中第二小的数为3上。

533

【答案】3-

3

【巩固】分数黑粤，鼻中最大的一个是___________

7935203301

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，初赛，六年级

【解析】里

301

151

【答案】

3(H

【巩固】有8个数，0.51,0.51,a是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数

394725

是0.51,那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

252413

【解析】一=0.6,-=0.5,0.5106,一=0.52,显然有0.5106<0.510.51<0.52<0.5<0.6,即

394725

主<051<0r4,8个数从小到大排列第4个是0.51,

47259

241352

所以有□〈□<二<0.51<0.51〈上〈己〈士.（"□”表示未知的那2个数）.所以，这8个数从大到小排列

472593

第4个数是0.51.

【答案】0.51

由、如199819981999199920002000.豆,八蛇目

【巩固】在--------，---------，---------中，最।小的分数是.

199919992000200020012001

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】数学爱好者夏令营

199819981998199919991999200020002000加川孑..人在工亦人有人孤

【解析】因为---------=-----,-----------=-----,-----------=-----根据重要结企-----对于两个真分数,

199919991999200020002000200120012001

如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；而且：

19981999200019981998

----<-----<-----所以,最小的是

19992000200119991999

19981998

19991999

915

【例48](1)把下列各数按照从小到大的顺序排列：-,

71316,28

1012152060

(2)(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用号连接起来:

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴我们可以用通分子的方法，可得：

3x15=455x9_459x5=4515x345

7xl5-i05,13x9-H7,16x5-80,28x3一彳

分母大的反而小，所以』v』v"v2.

1372816

⑵这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦.再看分子，60正好是10、

12、15、20、60五个数的公倍数.利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是60

的分数.我们称之为“通分子比大小”的方法.

10_601260156020606060可见处<的<竺<&竺

171021995,23-92*33-99919110299959291

.”1020121560

也就是一<一<一<—<一.

1733192391

20121560

【答案】⑴⑵—<—<一<一

13728161733192391

【巩固】将以、0.523、0.523、0.52从小到大排列，第三个数是.

25040

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，六年级，决赛

13121

【解析】—=0.524,—=0.525

25040

13121

所以：0.52<0.523<0.523<一<三,第三小的数是0.523

25040

【答案】0.523

【巩固】这里有五个分数：如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？

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【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

12

【解析】—

19

1?

【答案】—

19

【巩固】将下列乘式结果按从小到大排序：661x669,662x668,663x667,664x666,665x665.

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】看式子前两位相同，于是我们想到可不可以变成“前面部分一样+一个简单算式”的形式.

看661x669,我们的目标是把十位和百位的6提取出来，转化算式：

661x669=(660+1)x(660+9)=660x660+1X660+9X660+1X9=6602+0+9)x660+1x9

可以看到，这5个乘式的前两项结果是一样的，即我们只要比较1x9,2x8,3x7,4x6,5x5

的大小，就可以得