高考复习数列通项公式的几种求法及高考真题

数列通项公式的求法1.观察法：已知数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面来考虑，一是对数列的项进行分拆以后，寻找分拆项之间的规律；二是如果数列中出现正负项相间的话，则需用或来调节；三是和等差与等比数列相联系，利用特殊数列求解。例1、求下列数列的一个通项公式。①②1，0，1，0③3，33，333，3333④11，103，1005，100072．前n项和法（知求）1、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。2、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。3、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。3.形如型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.例1.已知数列｛an｝满足,证明例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式.注意：形如型（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.例1.数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.4.形如型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例1、在数列中，求数列的通项公式。练习、在数列中，求。5.形如型（取倒数法）例1.已知数列中，，，求通项公式例2．若数列中，，，求通项公式.6．形如,其中)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{}为等差数列;（2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,利用待定系数法求出A例1．已知数列中，求通项.练习.若数列中，,,求通项公式。7.形如型（构造新的等比数列）(1)若(其中q是常数，且n0,1)=1\*GB3①若p=1时，即：，累加即可=2\*GB3②若时，即：，后面的待定系数法也用指数形式。两边同除以.即：,令,则可化为.然后转化为类型6来解，1、已知，，求。2、已知数列中，，，求通项公式。8.形如(其中p,q为常数)型（1）当p+q=1时用转化法例1.数列中，若,且满足,求.（2）当时用待定系数法.例2.已知数列满足，且,且满足,求.9.形如(其中p,r为常数)型（1）p>0，用对数法.（2）p<0时用迭代法.例1.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.例2已知数列，（1）证明（2）求数列的通项公式an.练习：1.（2014全国大纲卷.文17）数列满足，，.（Ⅰ）设，证明是等差数列；（Ⅱ）求的通项公式；2．（全国II）设等比数列的前n项和为，3．（全国卷I）已知为等比数列，，求的通项式。4．（安徽卷）在等差数列中，，前项和满足条件，求数列的通项公式；5．（辽宁卷）已知等差数列的前项和为求q的值；6．（全国卷I）设数列的前项的和，求首项与通项；7.（福建卷）已知数列｛a｝满足a=1,a=2a+1(n∈N)求数列｛a｝的通项公式；8．（福建卷）已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；9．（江西卷）已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；10．（山东卷）已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列数列通项公式的求法1.观察法：已知数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面来考虑，一是对数列的项进行分拆以后，寻找分拆项之间的规律；二是如果数列中出现正负项相间的话，则需用或来调节；三是和等差与等比数列相联系，利用特殊数列求解。例1、求下列数列的一个通项公式。①②1，0，1，0③3，33，333，3333④11，103，1005，10007解：①此数列可拆为三部分，第一部分为通项是，第二部分分子部分为，通项是，第三部分分母部分为通项是，再由来调节正负号即可，故；②此数列是由两个基本数列和求得，故；③在此数列中，，，从而可得④此数列是由两个基本数列与对应项求和而得，故通项公式为2．前n项和法（知求）1、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。答案：2、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。答案：3、例5、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。解：∵当时有，，∴，∴，则是以为首项，2为公差的等差数列。 ∴∴∵，∴又，故为所求的通项公式。3.形如型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.例1.已知数列｛an｝满足,证明证明：由已知得：=.例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.答案：例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、指数函数、分式函数，求通项.=1\*GB3①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。注意：形如型（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.例1.数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.分析1：构造转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故解法2：时，，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列.评注：结果要还原成n的表达式.4.形如型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例1、在数列中，求数列的通项公式。答案：练习、在数列中，求。答案：5.形如型（取倒数法）例1.已知数列中，，，求通项公式解：取倒数：例2．若数列中，，，求通项公式.答案：6．形如,其中)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{}为等差数列;（2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,利用待定系数法求出A例1．已知数列中，求通项.分析：待定系数法构造构造新的等比数列。解：由设,解出A=-1,则所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即.练习.若数列中，,,求通项公式。答案：7.形如型（构造新的等比数列）(1)若(其中q是常数，且n0,1)=1\*GB3①若p=1时，即：，累加即可=2\*GB3②若时，即：，后面的待定系数法也用指数形式。两边同除以.即：,令,则可化为.然后转化为类型6来解，1、已知，，求。2、已知数列中，，，求通项公式。答案：评注：本题的关键是两边同除以，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.8.形如(其中p,q为常数)型（1）当p+q=1时用转化法例1.数列中，若,且满足,求.解：把变形为.则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则利用类型3的方法可得.（2）当时用待定系数法.例2.已知数列满足，且,且满足,求.解：令,即,与已知比较，则有,故或由来运算，即有,则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故,即①由来运算，即有,则数列是以为首项，2为公比的等比数列，故,即②由①②可得.评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.9.形如(其中p,r为常数)型（1）p>0，用对数法.（2）p<0时用迭代法.例1.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，，，，∴练习数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.答案：例2（江西2005）已知数列，（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）略（2）所以又bn=－1，所以.方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解.练习：1.（2014全国大纲卷.文17）数列满足，，.（Ⅰ）设，证明是等差数列；（Ⅱ）求的通项公式；2．（全国II）设等比数列的前n项和为，解：设的公比为q，由，所以得…=1\*GB3①……=2\*GB3②由=1\*GB3①、=2\*GB3②式得整理得解得所以q＝2或q＝－2将q＝2代入=1\*GB3①式得，所以将q＝－2代入=1\*GB3①式得，所以3．（全国卷I）已知为等比数列，，求的通项式。解:设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2=eq\f(a3,q)=eq\f(2,q),a4=a3q=2q所以eq\f(2,q)+2q=eq\f(20,3),解得q1=eq\f(1,3),q2=3,当q1=eq\f(1,3),a1=18.所以an=18×(eq\f(1,3))n－1=eq\f(18,3n－1)=2×33－n.当q=3时,a1=eq\f(2,9),所以an=eq\f(2,9)×3n－1=2×3n－3.4．（安徽卷）在等差数列中，，前项和满足条件，求数列的通项公式；解：设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，所以。5．（辽宁卷）已知等差数列的前项和为求q的值；解法一：当时，,当时,.是等差数列,,············4分解法二：当时,,当时,.当时,..又,所以,得··4分6．（全国卷I）设数列的前项的和，求首项与通项；解:由Sn=eq\f(4,3)an－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3),n=1,2,3，…,①得a1=S1=eq\f(4,3)a1－eq\f(1,3)×4+eq\f(2,3)所以a1=2.再由①有Sn－1=eq\f(4,3)an－1－eq\f(1,3)×2n+eq\f(2,3),n=2,3，4,…将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=eq\f(4,3)(an－an－1)－eq\f(1,3)×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,7.（福建卷）已知数列｛a｝满足a=1,a=2a+1(n∈N)求数列｛a｝的通项公式；解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。解：是以为首项，2为公比的等比数列。即8．（福建卷）已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（I）证明：是以为首项，2为公比的等