傅里叶级数数学

一、三角级数三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数§10.7傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数一、三角级数三角函数系的正交性三角级数形如的级数称为三角级数

其中a0

an

bn(n

1

2

)都是常数.

1

cosx

sinx

cos2x

sin2x

cosnx

sinnx

三角函数系三角函数系的正交性三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在[

]上的积分等于零而任何两个相同的函数的乘积在[

]上的积分不等于零.

>>>提示:a0p=0++0提示:anp=0++0提示:二、函数展开成傅里叶级数傅里叶系数设f(x)是周期为2

的周期函数

且能展开成三角级数:

且假定三角级数可逐项积分

则bnp=0++0二、函数展开成傅里叶级数设f(x)是周期为2

的周期函数

且能展开成三角级数:

且假定三角级数可逐项积分

则系数a0

a1

b1

叫做函数f(x)的傅里叶系数.傅里叶系数傅里叶级数三角级数称为傅里叶级数,其中a0,a1,b1,···是傅里叶系数.然而,函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛?如果它收敛,它是否一定收敛于函数f(x)?一般来说,这两个问题的答案都不是肯定的.一个定义在(

,

)上周期为2

的函数f(x),如果它在一个周期上可积,则一定可以作出f(x)的傅里叶级数.定理(收敛定理狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2

的周期函数,如果它满足:(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,(2)在一个周期内至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,并且当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);当x是f(x)的间断点时,级数收敛于

.

傅里叶级数三角级数称为傅里叶级数,其中a0,a1,b1,···是傅里叶系数.

例1

设周期为2

的函数f(x)在[

,

)上的表达式为将f(x)展开成傅里叶级数.

解

所给函数满足收敛定理的条件,由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛.当x

k

时傅里叶级数收敛于当x

k

时级数收敛于f(x).

解

所给函数满足收敛定理的条件,由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛.因为傅里叶系数为>>>所以f(x)的傅里叶级数展开式为

(

<x<

;x

0,

,

2

,

).

例1

设周期为2

的函数f(x)在[

,

)上的表达式为将f(x)展开成傅里叶级数.

f(x)的图形和函数图形

例2

设周期为2

的函数f(x)在[

,

)上的表达式为将f(x)展开成傅里叶级数.

解

所给函数满足收敛定理的条件,由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛.当x

(2k

1)

时傅里叶级数收敛于当x

(2k

1)

时级数收敛于f(x).

解

所给函数满足收敛定理的条件,由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛.所以当x

(2k

1)

时f(x)的傅里叶级数展开式为因为傅里叶系数为>>>

例2

设周期为2

的函数f(x)在[

,

)上的表达式为将f(x)展开成傅里叶级数.周期延拓设f(x)只在[

,

]上有定义,我们可以在[

,

)或(

,

]外补充函数f(x)的定义,使它拓广成周期为2

的周期函数F(x),在(

,

)内,F(x)

f(x).

延拓前y=f(x)延拓后y=F(x)

解

所给函数在区间[

,

]上满足收敛定理的条件,并且拓广为周期函数时,它在每一点x处都连续,因此拓广的周期函数的傅里叶级数在[

,

]上收敛于f(x).

例3

将函数展开成傅里叶级数.所以f(x)的傅里叶级数展开式为因为傅里叶系数为>>>

解

所给函数在区间[

,

]上满足收敛定理的条件,并且拓广为周期函数时,它在每一点x处都连续,因此拓广的周期函数的傅里叶级数在[

,

]上收敛于f(x).

例3

将函数展开成傅里叶级数.三、正弦级数和余弦级数奇函数与偶函数的傅里叶系数an

0(n

0,1,2,

),bn

0(n

1,2,

).当f(x)为奇函数时

f(x)cosnx是奇函数

f(x)sinnx是偶函数

故傅里叶系数为当f(x)为偶函数时

f(x)cosnx是偶函数

f(x)sinnx是奇函数

故傅里叶系数为正弦级数和余弦级数如果f(x)为奇函数,那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数如果f(x)为偶函数,那么它的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

例4

设f(x)是周期为2

的周期函数,它在[

,

)上的表达式为f(x)

x.将f(x)展开成傅里叶级数.

解

所给函数满足收敛定理的条件,因此f(x)的傅里叶级数收敛.当x

(2k

1)

(k

0,

1,

2,

)时,傅里叶级数收敛于当x

(2k

1)

(k

0,

1,

2,

)时,傅里叶级数收敛于f(x).f(x)的图形和函数的图形

解

所给函数满足收敛定理的条件,因此f(x)的傅里叶级数收敛.当x

(2k

1)

(k

0,

1,

2,

)时,傅里叶级数收敛于f(x).因为f(x)在(

,

)上是奇函数,其傅里叶级数是正弦级数,而所以f(x)的傅里叶级数展开式为(

<x<

,x

,

3

,

).>>>

例4

设f(x)是周期为2

的周期函数,它在[

,

)上的表达式为f(x)

x.将f(x)展开成傅里叶级数.当x

(2k

1)

(k

0,

1,

2,

)时,傅里叶级数收敛于

例5将周期函数展开成傅里叶级数,其中E是正的常数.

解

函数u(t)在整个数轴上连续,满足收敛定理的条件,因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t).因为u(t)是周期为2

的偶函数,其傅里叶级数是余弦级数,所以u(t)的傅里叶级数展开式为而>>>所以u(t)的傅里叶级数展开式为而(

<t<

).因为u(t)是周期为2

的偶函数,其傅里叶级数是余弦级数,

例5将周期函数展开成傅里叶级数,其中E是正的常数.

解

函数u(t)在整个数轴上连续,满足收敛定理的条件,因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t).

设函数f(x)定义在区间[0,

]上并且满足收敛定理的条件,我们在开区间(

,0)内补充函数f(x)的定义,得到定义在(

,

]上的函数F(x),使它在(

,

)上成为奇函数(偶函数).按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓).限制在(0,

]上,有F(x)

f(x).奇延拓与偶延拓奇延拓偶延拓

例6

将函数f(x)

x

1(0

x

)分别展开成正弦级数和余弦级数.先求正弦级数.

解

为此对函数f(x)进行奇延拓.函数的正弦级数展开式为