第四节-屈服准则-2015

1本节主要内容第四节屈服准则金属塑性成形原理屈服准则基本概念★★屈雷斯加屈服准则★★★米塞斯屈服准则★★★屈服准则的几何描述★★屈服准则的实验验证与比较★应变硬化材料的屈服准则★掌握标准★★★要求熟练掌握并能应用★★要求熟练掌握★

要求了解2

因此，单向拉伸时，当应力σ1达到σs值时材料开始屈服。故σ1=σs就是单向拉伸时的屈服准则。

材料受外力作用，发生弹性、塑性变形，那么在什么条件下发生塑性变形？这是大家关心的问题。4.1基本概念大家知道，单向拉伸时，只要拉应力达到屈服点σs时，则该点开始由弹性状态进入塑性状态，即处于屈服。3

因此，单向拉伸时，可以通过实验方法测得屈服条件。

4

而在多向应力状态下，显然不能用某一个应力分量来判断受力物体内质点是否进入塑性状态。多向应力状态下，屈服准则便取决于六个应力分量的组合。5定义：屈服准则是描述不同应力状态下变形体某点从弹性进入塑性状态并使状态继续进行，应力分量所必须遵守的条件。屈服准则又称屈服条件或塑性条件。金属塑性成形原理屈服准则6数学表达式C为与材料性能有关而与应力状态无关的常数对于各向性材料，一般f(σij)是应力张量不变量的函数，与第二、第三不变量有关，与坐标轴选择无关……(4.1)屈服函数7金属塑性成形原理屈服准则

屈服准则可用主应力来表示又因J1′=σ1′+σ2′+σ3′=0∴因静水压力（球张量）不影响屈服，故屈服准则只是应力偏张量的函数。8质点处于弹性状态

质点处于塑性状态

在实际变形中不存在

说明：

屈服准则是针对质点而言的，当某区域中的质点全部满足屈服条件时，该区域才开始变形。即：质点屈服——部分区域屈服——整体屈服9屈服准则是求解塑性成形问题必要的补充方程

目前，公认的屈服准则有两种：

Tresca准则

Mises准则Tresca准则Mises准则屈服准则104-2材料性质的基本概念1

理想弹塑性材料：进入塑性状态后，应力不再增加。←适用于热变形时的小变形，如图b2

理想刚塑性材料：塑性变形前，无弹性变形。←适用于热变形时的大变形，如图c113硬化的弹塑性材料：塑性变形时，产生硬化的材料。←适用于冷变形时的小变形，如图d4

硬化的刚塑性材料：塑性变形前，无弹性变形；塑性变形时，产生硬化的材料。←适用于冷变形时的大变形，如图e12b理想弹塑性a实际金属材料②①d弹塑性硬化c理想刚塑性e刚塑性硬化真实应力真实应变有物理屈服点无明显物理屈服点132、数学表达式：4-3.Tresca屈服准则（最大剪应力不变条件）1、理论描述：在一定变形条件下（温度、速度等），金属的塑性变形只有当变形体内的最大剪应力达到一定值时，才有可能产生，该值由变形体性质而定，与应力状态无关。1864年，法国工程师屈雷斯加……(4.2)143、“C”值确定则或……(4.3)……(4.4)式（4.3）、式（4.4），称为屈雷斯加屈服准则的数学表达式，式中K为材料屈服时的最大切应力值，即剪切屈服强度将其代入（4.2）式，解得取最简单形式，单向拉伸时154、Tresca普遍表达式

金属塑性成形原理屈服准则Tresca准则又称主应力差不变条件。式中三个式子中只要满足一个，该点即进入塑性状态。当主应力不知时，上述Tresca准则不便使用材料2010.第5周3.28，，29、30节16对于平面变形及主应力为异号的平面应力问题屈雷斯加屈服准则可写成……(4.6)17屈服Tresca屈服准则,写出Tresca数学表达式

屈服准则18

某理想塑性材料的屈服应力为σs=100（MPa），试用屈雷斯加判断下列应力状态处于什么状态（是否存在、弹性或塑性）。注:应力的单位：1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2

MPa=106N/m219下图中，属于理想刚塑性材料是（）图，适用

-属于硬化的弹塑性材料是（）图，适用

-属于理想弹塑性材料是（）图，适用

-属于硬化的刚塑性材料是（）图，适用

-20下列提法相互间是完全等同的呢？还是有差别的呢？各用于何处？试各举一例。（1）理想弹塑性材料（2）理想刚塑性材料（3）ν=1/2（4）忽略体积变形（5）忽略弹性变形21下列屈服准则的表达式哪些相互间是完全等同的。哪些是有差别的。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）224—3米塞斯（Mises）屈服准则（弹性形变能不变条件）

在一定的变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第二不变量J2ˊ达到某一定值时，该点就进入塑性状态。

也可描述为：在一定的变形条件下，当受力物体内一点的等效应力达到某一定值时，该点就进入塑性状态。该值与金属材料性质有关，与应力状态无关。1.理论描述金属塑性成形原理屈服准则1913年，德国力学家米塞斯23屈服函数为：

应力偏张量第二不变量为

:……(4.7)2、数学表达式：243.“C”值的确定对于单向拉伸

将上式代入(4.7a)得

用主应力表示

……(4.7a)25金属塑性成形原理屈服准则+==4.普遍表达式265、Mises屈服准则的物理意义：Mises未考虑其物理意义，1924年汉基（H.Hencky）解释为：1）在一定的变形条件下，当材料的单位体积形状改变的弹性位能达到某临界值时，材料开始屈服。27设单位体积内总的变形位能为An其中体积变化位能为Av其中形状变化位能为Aφ（弹性形变能）即28选主轴为坐标轴，由弹性理论可知，则总的变形位能……(b)在弹性范围内，有广义虎克定律……(a)将（b）代入（a）（即消除正应变ε），整理后得……(c)……(b)……(a)3030……(d)式（d）可简化为体积变化（由球张量引起）位能上式中31……(e)……(f)……(g)将式（c）、式（e）代入式（a），整理后得上式表明，单位体积的弹性形变能达到常数时，该材料就开始处于屈服状态。这也是从能量的角度说明米塞斯准则的物理意义。故将米塞斯称为能量准则或能量条件。屈服时弹性形变能：=常数金属塑性成形原理屈服准则2)八面体剪应力达到定值，材料屈服上式表明在塑性变形时，主剪应力的平方和等于流动应力平方的一半。用主剪应力可以表示为333)等效应力达到定值，材料屈服34

1）两准则都是不变量的函数

2）两准则都与主应力大小顺序的选择无关

3）两准则都与应力球张量无关1.两准则的共同特点6.

Tresca、Mises屈服准则的比较352.两准则的不同点:屈雷斯加屈服准则未考虑中间应力使用不方便米塞斯屈服准则考虑中间应力使用方便

1）

2）+==36

某理想塑性材料的屈服应力为σs=100（MPa），试分别用屈雷斯加及米塞斯准则判断下列应力状态处于什么状态（是否存在、弹性或塑性）。37例题：试判断下列中的主应力状态是弹性状态还是塑性状态。（a）（b）（c）（d）38解：利用米塞斯屈服准则判别：1）对于图（a）代入米塞斯屈服准则得满足米塞斯屈服条件，所以处于塑性状态。392）对图（b）代入米塞斯屈服准则得满足米塞斯屈服条件，所以处于塑性状态。403）对于图（c）不满足米塞斯条件，所以处于弹性状态。代入米塞斯屈服准则得41代入米塞斯屈服准则得不满足米塞斯条件，所以处于弹性状态。金属塑性成形原理屈服准则按Tresca屈服准则判别其结果如何？4）对于图（d）424—4．屈服准则的几何表达—屈服轨迹和屈服表面曲面或曲线到底是什么形状？这是我们正要讨论的问题。屈雷斯加六角柱面密塞斯圆柱面σ2σ3σ10ABCDEFGHIJKI1C1NL43屈服表面：在σ1σ2σ3坐标系中，屈服准则函数在主应力空间的几何图形称为屈服表面。（空间图形）如果应力状态的点在屈服表面上，则该点开始屈服。对于各向同性的理想塑性材料，屈服面是连续的，不随塑性流动而变化。44屈服轨迹：两向应力状态屈服准则的表达式在主应力坐标平面上的几何图形是一封闭的曲线，称屈服轨迹。（平面图形）45一、两向应力状态的屈服轨迹直线方程—组成六边形Teresa准则ACEGIKσ1σ24647BDHJACEGIKFLPσ1σ2sss=148金属塑性成形原理屈服准则Mises屈服轨迹

Teresa屈服轨迹

49化简，得为椭圆方程

Mises准则BDHJACEGIKFLPσ1σ2sss=150为了表达清楚，把坐标轴旋转45º，则新老坐标的关系为上式为σ1ˊ-σ2ˊ坐标平面上的椭圆方程。51纯剪纯剪Teresa六边形和Mises椭圆，都叫屈服轨迹。几何图形显示：Teresa六边形内接于Mises椭圆，也意味着在六个交点上，两个准则是一致的。(坐标系是建立于σ1oσ2坐标系中，图中的任意一点P都表示任一两向应力状态，用矢量OP表示。)52纯剪纯剪屈服轨迹的几何意义：（1）当一点P的应力状态在屈服轨迹里面时，该质点处于弹性状态。（2）P点在轨迹上即处于塑性状态。（3）对于理想塑性材料，P点不能在圆柱面之外。53纯剪ACEGIKFLPσ1σ2结论：图中有12个特征点（其中六个重合、六个差别最大），各代表不同的应力状态。

1）单向拉、压时，两准则无差异。即A、E、G、K四点。

2）两向的等向拉、压时，两准则无差异。即C、I两点。

3）纯剪状态时，两准则差别最大，达15.5%。即F、L两点。54对于T式差值为因为：纯剪时

对于M式55

4）当或时，即为平面应变状态两准则也差别最大(B、D、H、J)，达15.5%。

5）椭圆在六边形外，意味着按Mises准则要较大的应力才能使材料屈服。56二、主应力空间中的屈服表面

在三向应力坐标轴可构成一个主应力空间。一种应力状态（σ1，σ2，σ3)可用该空间中的一点P来表示，且可用矢量OP表示。设ON为第一象限的等倾线，PM垂直ON，这时矢量OP可分解成矢量OM及MP，则OM就是应力张量中的球张量，而MP为偏张量部分。

P（σ1

，σ2，σ3)OM球张量σ1=σ2=σ3MP为偏张量主应力空间57证明：等倾线ON的方向余弦

而则等倾线ON上任意的点分量为：式中d沿ON线从原点到平面的距离。垂直于ON的任意平面的方程式为：主应力空间σ3σ2σ1σ1σ2σ30PMN58当即时材料就进入屈服。由于静水应力不影响屈服，根据Mises屈服准则59σ3σ2σ1σ1σ2σ30主应力空间PMN静水应力不影响屈服，所以，以ON为轴线，以为半径作一圆柱面，则此圆柱面上的点都满足米塞斯屈服准则，这个圆柱面就称为主应力空间中的米塞斯屈服表面。60屈服表面的几何意义：（1）当一点P的应力状态在屈服表面里面时，该质点处于弹性状态。（2）P点在表面上即处于塑性状态。（3）对于理想塑性材料，P点不能在圆柱面之外。（4）当物体承受三向等拉或等压的应力状态时，即ON线上，不管其绝对值多大，都不可能发生塑性。主应力空间中的屈服表面屈雷斯加六角柱面密塞斯圆柱面σ2σ3σ10ABCDEFGHIJKI1C1NL而对于Tresca有相同的处理，得到一个内接于Mises屈服圆柱面的正六棱柱面，我们称之为Tresca屈服表面。61屈雷斯加六角柱面密塞斯圆柱面σ2σ3σ10ABCDEFGHIJKI1C1NL实际上，前面我们所讨论的屈服轨迹是当σ3=0，即屈服表面与σ1oσ2

的交线。屈服轨迹中的十二个特征点在屈服表面上就成了圆柱面的母线。其中通过A、C、E、G、I、K六点的母线就是六棱柱面的棱边，它们都与坐标轴相交。这六条母线上的点实际上都代表叠加了不同静水压力σ0的单向屈服应力状态。例如：A，G点的母线为（σ0±σ1，σ0，σ0）。特殊情况与面相交。这时，σ0=0，（±σ1，0，0），其共同的特点是两个主应力相等。62Tresca屈服表面Mises屈服表面σ2σ3σ10ABCDEFGHIJKI1C1NL63结论：

1、当一点的应力状态有两个相同的主应力时，Mises屈服准则与Tresca屈服准则一致。

2、平面应变状态时（一个主应力是另两个的平均值）两准则相差最大，为15.5%

3、纯剪状态时，两准则差别最大，达15.5%。64三、π平面上的屈服轨迹π平面：在主应力空间中，过原点并垂直于等倾线的平面称π平面。屈雷斯加六角柱面密塞斯圆柱面σ2σ3σ10ABCDEFGHIJKI1C1NL65目的：更清楚的表示出屈服准则的性质。∴过原点并垂直于等倾线即d=0时∵垂直于ON的任意平面的方程式为：为π平面方程π平面上球应力等于0，即σm=0π平面方程：66故可代表应力偏张量金属塑性成形原理屈服准则AB为Ⅰ区：DABC（2）将平面分成6个区，每个区间内主应力的大小互不相同（1）

圆的半径σ1σ2σ367B点：两准则相同。C、D两点，在角平分线上，为纯剪状态，两准则相差最大，达15.5%。对于Ⅰ区：A点：两准则相同AB为Ⅰ区DABC684-6中间应力的影响Tresca准则与Mises屈服准则最主要的差别在于中间主应力σ2是否有影响。假设主应力σ1≧σ2≧σ3

，这时Tresca准则写成:这时，我们可以看到中间主应力σ2

在σ2=σ1

到σ2=σ3

之间任意变化而不影响材料的屈服。而在Mises准则中σ2

是有影响的。69为了评价σ2

的影响，先应找到一个能表征σ2变化的参数。该参数称罗德应力参数。aaa70=图三向应力莫尔圆即：上式的第一式表示用两小莫尔圆半径之差比大莫尔圆半径；第二式分子是三向应力莫尔圆中σ2到大圆圆心的距离。一、罗德应力参数作三向应力莫尔圆71当σ2在σ1至σ3之间变化时，μσ在+1—-1之间变化

=上式也可表示为：μσ称为Lode(罗德参数）……(a)因此，μσ实际上表示了σ2

在莫尔圆中的相对位置变化。72代入Mises方程设—中间主应力影响系数，其变化范围为：1～1.155

化简得：则—与T准则统一表达式，仅差应力修正系数。由a式，可用μσ表示中间主应力σ2

，即得：73两准则统一表达式对于Tresca屈服准则，β≡1。Mises屈服准则，β=1～1.155

2013.4.174Tresca准则Mises准则Lode参数75

当σ2=σ1时，μσ=1，β=1，单向应力状态，叠加球张量。

当σ2=σ3时，μσ=﹣1，β=1，单向应力状态，叠加球张量。

当σ2=（σ1+σ3）/2时，μσ=0，，平面应变状态。

β的取值范围1～1.155。二、β值的确定μσ和β的关系76中间主应力μσβ应力状态σ2=σ1σ2=（σ1+σ3）/2σ2=σ310-111.1551圆柱体应力状态（单向应力叠加静水应力）、两准则重合平面应变状态、两准则差别最大圆柱体应力状态（单向应力叠加静水应力）、两准则重合表4-1中间主应力对屈服准则的影响（μσ与β的变化范围）结论：从上表可以看出：中间主应力对屈服准则的影响

在单拉、压及轴对称应力状态，β=1，两准则重合

在纯切状态和平面应变状态，两者差别最大：为15.5%77金属塑性成形原理屈服准则对于Mises准则：K=（0.5﹣0.577）σs对于Tresca准则：K=0.5σs于是，两个屈服准则可统一表达为：若用K表示屈服时的最大剪应力：78设

则Mises准则：

即

或

金属塑性成形原理屈服准则1、平面应力平面问题和轴对称问题中，一些应力分量或零或为常数，故屈服准则可得到某些简化。4-7平面问题和轴对称问题中的屈服准则的简化79Tresca准则为普通表达式：80或Mises准则金属塑性成形原理屈服准则2、平面应变81Tresca准则∵∴或又∵σ1>

σ3>

σ282Mises准则，特殊情况下则为或金属塑性成形原理屈服准则3、轴对称状态或83Tresca准则仍为普通表达式：8485在第二章提到：塑性成形时材料的变形抗力与应力状态有着密切的关系。可用屈服准则来解释。设有两个同材质的单元体，其应力状态分别为三向压缩和两压一拉（见图3-26）。图3-26三向同号和异号应力状态下的屈服准则86

根据屈服准则可知，为了使该单元体发生塑性变形，对于三向压力状态时应满足：即：87对于而两压一拉应力状态时应满足：

即：

显然，第一种情况下σ1的绝对值（即变形抗力）要比第二种情况下的大。88

还可以这样理解：为了使滑移发生，滑移面上的剪应力应达到临界值。在同号主应力状态下，各主应力在滑移面上所引起的剪应力分量总要相互抵消一部分；在异号主应力状态下却是相互叠加的。因此，对于第一种情况，需要施加更大的外力（即增大σ1），方能使该面上剪应力达到临界值而发生滑移。894-8屈服准则的实验验证人类对屈服准则的认识曾有一段有趣的过程。

1864年Tresca提出最大剪应力准则后，当时已被普遍接受，但是当在主应力顺序不知道时，使用是很困难的，又由于屈服轨迹是有角点的，不是一条光滑的曲线，在数学处理上较为困难，而且没有考虑中间主应力对屈服准则的影响90901913年，数学家Mises考虑Tresca准则的六个顶点是实验得到的，是有依据的，它为了数学处理方便用一个圆来代替六边形，但是无法从物理角度来解释，直到1924年，法国人汉盖（Hencky）才用变形能的角度解释了这一屈服准则。直到1926年罗德

(Lode)

经过实验验证，证实了Mises准则与实验更加吻合。由此可以看出科学的抽象与假设在科学发展中的意义。9192939496直到1926年罗德

(Lode)证实了Mises准则是准确的。两准则的实验验证比较是罗代在1926年首次用金属铜、铁，镍的薄壁管的复合载荷（例如：拉伸与扭转，拉伸与弯曲，拉伸与内压的复合等），下面，我们介绍两种常用实验。即拉伸与内压的复合和薄壁管承受拉扭复合载荷的实验。97一、罗代实验（拉伸与内压的复合）若取纵坐标为，横坐标为μσ，P2rtz97μσ和β的关系可以得到图3-45两曲线，其中1

线-Mises准则，2

线-Tresca准则。实验中采用不同的轴向拉力P与内压p，可得出各种应力状态下的μσ值及屈服点应力按Tresca准则为一水平线，即：按Mises准则为一曲线。实验结果与Mises准则比较符合。

98P2rtz验证步骤：1分析应力状态，求两准则的屈服轨迹方程。薄壁管复合拉扭可视为平面应力状态，承受均匀拉应力σ和剪应力τ，利用莫尔圆求出σ1、σ2

、σ3

。二、泰勒实验（薄壁管承受拉扭复合载荷的实验）100100Tresca准则Mises准则101101代入Tresca准则得：即为一椭圆方程.将σ1

、σ2

、σ3代入Mises准则得：1022、分别作出两准则的几何图形（1/4图形）

金属塑性成形原理屈服准则即为Mises准则椭圆方程.Tresca准则Mises准则104Taylor-Quinney实验结果钢铜铝0.10.20.30.40.50.600.10.20.30.40.50.60.70.80.91.021Taylor及Quinney实验资料(1931)1-Mises准则2-Tresca准则比较理论曲线与实验结果可以看出：

实验点更接近Mises准则

实验点一般都落在两屈服轨迹之间1053、确定屈服应力σs

1）先施加一定的扭矩

2）施加拉力P，使材料屈服

3）加拉力后连续记录载荷、扭角、及伸长

4）换算成σ、γ、ε

5）由σ、γ、ε、τ求出等效应力，等效应变

6）做出—

曲线，确定出σs

7）将实验确定的σ/σs及τ/σs值记录在在理论上的σ/σs及τ/σs图。4、重复以上步骤，计下许多屈服点。

实验方法与步骤材料2011.4.14，第八周，3、4节106结论：1实验点一般都落在两屈服轨迹之间。2实验说明一般韧性材料（如铜、镍、铝、中碳钢、铝合金、铜合金等）与Mises条件符合较好。Tresca准则Mises准则1074—8应变硬化材料的屈服准则

以上我们所讨论的Mises和Tresca屈服准则都属于各向同性理想材料。实际在塑性材料变形时，许多材料都属于硬化材料。对于硬化材料，屈服轨迹的变化是很复杂的，目前的几种假说都还不能完美的得到实验说明。常用的一种假说是“各向同性硬化假说”108

例如Mises和Tresca准则的后续屈服边界就是一系列的同心圆或正六边形。屈服准则的统一形式：Y-为一变量（真实应力或流动应力，也称为后续屈服应力），随变形的增加而增大，与材料的性质有关。109初始屈服服从上述屈服准则硬化后，屈服准则发生变化（变形过程每一刻都在变化）其轨迹或表面称为后继屈服表面或后续屈服轨迹。

初始屈服轨迹后继屈服轨迹各向同性应变硬化材料的后继屈服轨迹各向同性硬化，即等向强化：1)：材料硬化后仍保持各向同性2）应变硬化后屈服轨迹的中心位置和形状不变110

如果初始屈服应力为σs

，当材料被加载后超过初始屈服应力σs，产生塑性变形。这时卸载后再加载，则当应力达到σs时，材料并不屈服。例如加载到D点卸载后再加载，加载到B点并不屈服，只有加载到D点才屈服。硬化材料的特点：钢材、铜材的拉拔就利用了材料硬化的特性。某些冷挤压工艺的中间去应力退火就是为了消除材料的硬化。111为加载，表示应力状态由初始屈服表面向外移动，发生了塑性变形。为卸载，表示应力状态从屈服表面向内移动，产生弹性卸载。对于应变硬化材料，应力状态有三种情况：当当当表示应力状态保持在从屈服表面上移动，对于应变硬化材料，既不会产生塑性流动，也不会发生弹性卸载，称为中性变载（理想塑性材料为加载）。112对于理想塑性材料:塑性流动继续进行，仍为加载不存在（不成立）为卸载，表示应力状态从屈服表面向内移动，产生弹性卸载。113例题：一两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，壁厚为t，受内压p的作用（如图），试分别求此圆筒内壁开始屈服及整个壁厚进入屈服时的内压p（设材料单向拉伸时的屈服力为σs

）。解：先求应力分量。根据平衡条件及投影原理可求得应力分量为（在内表面）（在外表面：自由表面）……(a)……(b)P2rtzPl—为薄壁圆筒的长度当外表面屈服时1141）由米塞斯屈服准则即所以可求得……(c)……(d)P2rtz1152）由屈雷斯加屈服准则即所以可求得:116用同样的方法可以求出内表面开始屈服时的p值此时1）按米塞斯屈服准则2）按屈雷斯加屈服准则P2rtzP117例题：一两端封闭的薄壁圆筒（如图），半径为r=300mm，受内压p=35MP.求：设材料单向拉伸时的屈服力为σs=700MP,根据屈雷斯加屈服准则，为确保薄壁圆筒处于弹性变形状态，最小壁厚t为多少？P2rtzP118解：先求应力分量。根据平衡条件及投影原理可求得应力分量为（在内表面）（在外表面：自由表面）……(a)……(b)P2rtzPl—为薄壁圆筒的长度当外表面屈服时119由屈雷斯加屈服准则即所以可求得:t=15mm1201、已知下列应力分量

，试求主应力，并指出应力状态的特点。1212、一薄壁管，内径ф=80mm，壁厚4mm，承受内压P，材料的屈服应力为σs=200MPa，现忽略管壁上的径向应力（即设σρ=0）。试用Tresca屈服准则求出下列情况下管子屈服时的P：（1）管子两端自由；（2）管子两端封闭；（3）管子两端加100KN的压力。1223、某理想塑性材料的屈服应力为σs=100（MPa），试分别用屈雷斯加及米塞斯准则判断下列应力状态处于什么状态（是否存在、弹性或塑性）。（1）（2）（3）（4）（MPa）1235、已知薄壁圆球，半径为r0，厚度为t0，受内压P的作用。当薄壁球按屈雷斯加屈服准则进入塑性状态时，P值为多少？4、一薄壁管承受拉扭的复合载荷作用而屈服，管壁受均匀的拉应力σ和切应力τ，试写出这种情况下的屈雷斯加和米塞斯屈服准则表达式。124解：将各应力分量代入应力张量不变量公式（3-14），可解得1、已知下列应力分量

，试求主应力，并指出应力状态的特点。125将解得的J1、J2、J3代入应力状态特征方程式（3-15），得

解得：

为单向应力状态126127将解得的J1、J2、J3代入应力状态特征方程式（3-15），得

解得：

为纯剪切应力状态128P2rtz2、一薄壁管，内径ф=80mm，壁厚4mm，承受内压P，材料的屈服应力为σs=200MPa，现忽略管壁上的径向应力（即设σρ=0）。试用Tresca屈服准则求出下列情况下管子屈服时的P：（1）管子两端自由；（2）管子两端封闭；（3）管子两端加100KN的压力。129P圆筒的内表面首先产生屈服，然后向外层扩展，当外表面产生屈服时，整个圆筒就开始塑性变形。解：先求应力分量。130（1）管子两端自由；由Tresca屈服准则Pz131（2）管子两端封闭；由Tresca屈服准则P2rtzP132（3）管子两端加100KN的压力。Pz∴1333、某理想塑性材料的屈服应力为σs=100（MPa），试分别用屈雷斯加及米塞斯准则判断下列应力状态处于什么状态（是否存在、弹性或塑性）。（1）（2）（3）（4）（MPa）134解（1）屈雷斯加准则米塞斯准则

塑性塑性135（2）弹性弹性屈雷斯加准则米塞斯准则

136（3）米塞斯准则

屈雷斯加准则137（4）屈雷斯加准则不存在不存在米塞斯准则

1384、一薄壁管承受拉扭的复合载荷作用而屈服，管壁受均匀的拉应力σ和切应力τ，试写出这种情况下的屈雷斯加和米塞斯屈服准则表达式。薄壁管受轴向拉力和扭矩作用PPMM139σ3σσ1τOB(s,-τ)ττOxyssA(0,τ)圆心解：利用应力莫尔圆求出主应力140屈雷斯加准则：米塞斯准则：代入两准则141实际上，上述两准则是两椭圆方程。钢铜铝0.10.20.30.40.50.600.10.20.30.40.50.60.70.80.91.021Taylor及Quinney实验资料(1931)1-Mises准则2-Tresca准则1425、已知薄壁圆球，半径为r，厚度为t，受内压P的作用。当薄壁球按屈雷斯加屈服准则进入塑性状态时，P值为多少？2r0圆外壁得P1431445、已知一点的应力状态如图所示，试写出其应力偏量并画出主应变简图。(10分)145146例题3-3一两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，壁厚为t，受内压p的作用（如图），试分别求此圆筒内壁开始屈服及整个壁厚进入屈服时的内压p（设材料单向拉伸时的屈服力为σs

）。

解

：

先求应力分量。在筒壁选取一单元体，采用圆柱坐标，单元体上的应力分量

根据平衡条件可求得应力分量为金属塑性成形原理屈服准则l—为薄壁圆筒的长度147σr沿壁厚为线性分布，

内表面

在外表面圆筒的内表面首先产生屈服，然后向外层扩展，当外表面产生屈服时，整个圆筒就开始塑性变形。由Mises屈服准则金属塑性成形原理屈服准则148由Tresca屈服准则2）在内表面用同样的方法也可以求出内表面开始屈服时的p值，此时金属塑性成形原理屈服准则149按Mises准则按Tresca屈服准则金属塑性成形原理屈服准则150（3）管子两端加100KN的压力。z