新教材2023版高中数学第四章概率与统计4.1条件概率与事件的独立性4.1.2乘法公式与全概率公式学生用书新人教B版选择性必修第二册

4．1.2乘法公式与全概率公式[课标解读]1.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.2.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．了解贝叶斯公式．【教材要点】知识点一两个事件A、B同时发生的概率乘法公式若P(B)>0，则P(AB)＝P(B)P(A|B)，或P(AB)＝P(A)P(B|A)知识点二全概率公式(1)一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与BA是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋A)＝BA＋BA，从而P(B)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)，当P(A)>0且P(A)>0时，有P(B)＝________________．(2)定理1若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：①任意两个事件均________，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝________；③P(Ai)＞0(i＝1，2，…，n).则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝________．知识点三贝叶斯公式(选学内容)1．与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因．2．一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时，有P(A|B)＝PAPBA【基础自测】1．已知P(B)＝12，P(A|B)＝13，则P(AB)＝(A．12B．C．16D．2．已知某学校中，经常参加体育锻炼的学生占0.6，而且在经常参加体育锻炼的学生中，喜欢篮球的占0.3.从这个学校的学生中任意抽取一人，则抽到的学生经常参加体育锻炼而且喜欢篮球的概率是多少？3．(教材例题改编)为加强对新型冠状病毒预防措施的落实，学校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查．已知甲、乙两班的人数之比为5∶4，其中甲班女生占35，乙班女生占12，则学校恰好抽到一名女生的概率为(A．29B.49C.594．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．题型1概率乘法公式的应用例1设有1000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？(精确到0.0001)方法归纳已知事件A的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A、B同时发生的概率．跟踪训练1在某大型商场促销抽奖活动中，甲、乙两人先后进行抽奖前，还有60张奖券，其中有6张中奖奖券．假设抽完的奖券不放回，甲抽完以后乙再抽，求：(1)甲中奖而且乙也中奖的概率；(2)甲没中奖而且乙中奖的概率；(3)乙中奖的概率．题型2全概率公式的应用例2已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．求下列事件的概率：(1)随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；(2)合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球．方法归纳全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分或几部分后，再根据互斥事件的概率加法公式而得到．跟踪训练2已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，(1)求从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率．(2)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%.若用事件A，A分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品．求市场上买一个灯泡的合格率．题型3贝叶斯公式的应用(选学)例3某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，并随机取一件，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率．(精确到0.001)方法归纳贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，看看这一结果有各种可能原因导致的概率是多少．跟踪训练3设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．4．1.2乘法公式与全概率公式新知初探·自主学习[教材要点]知识点二(1)P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)(2)互斥Ωi=1nP[基础自测]1．解析：由乘法公式得，P(AB)＝P(B)P(A|B)＝12×1答案：C2．解析：从这个学校的学生中任意抽取一人，则抽到经常参加体育锻炼的学生的事件为A，抽到喜欢篮球的学生为B，则P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.3，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.18.3．解析：设A：抽到一名学生是甲班的，B：是女生，则P(A)＝59，P(A)＝49，P(B|A)＝35，P(B|A)P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＝59×3答案：C4．解析：设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1，2，则有B＝A1B∪由题意P(A1)＝25，P(A2)＝35，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.课堂探究·素养提升例1解析：设Ai表示“第i次抽到的是次品”(i＝1，2)，所求概率为P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝1501000·149999跟踪训练1解析：方法一：设A：甲中奖，B：乙中奖，则P(A)＝660＝110，P(B|A)＝559，P(A)＝910，P(B|A(1)甲中奖而且乙也中奖的概率P(BA)＝P(A)·P(B|A)＝110×5(2)甲没中奖而乙中奖的概率P(BA)＝P(A)·P(B|A)＝910×6(3)P(B)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)＝1118+27方法二：(1)甲中奖而且乙也中奖的概率为A62A602(2)甲没中奖而乙中奖的概率为A541·A6(3)乙中奖的概率为A62+例2解析：(1)记B＝{该球是红球}，A1＝{取自甲袋}，A2＝{取自乙袋}，已知P(B|A1)＝610，P(B|A2)＝814，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝12(2)P(B)＝1424＝7跟踪训练2解析：(1)记A为“甲厂产品”，B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.(2)B＝AB＋AB且AB与AB互不相容．P(B)＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝0.7×0.95＋0.3×0.8＝0.905.例3解析：设A1表示“产品来自甲台机床”，A2表示“产品来自乙台机床”，A3表示