新教材2023版高中数学第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用学生用书新人教A版选择性必修第三册

8.2一元线性回归模型及其应用课标解读1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义．2．了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件．3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一一元线性回归模型我们称Y=bx+a+e，Ee=0，De=σ2为Y关于x的一元线性回归模型❶，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为________参数，b称为________参数；要点二线性回归方程与最小二乘法将y＝________称为Y关于x的经验回归方程❷，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线❸.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，要点三残差对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，________减去________称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．要点四用R2比较模型的拟合效果用R2来比较两个模型的拟合效果，R2的计算公式为R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2).R2越大，意味着残差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，即模型的拟合效果________；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果________.助学批注批注❶由于所有的样本点不共线，而只是散布在某条直线的附近，因此一元线性回归模型反映了表示成对样本数据的点散布于直线y＝bx＋a附近的线性相关关系．批注❷在经验回归方程y＝bx＋a中，b是经验回归直线的斜率，a是截距．一般地，当回归系数b>0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，y平均增大b个单位；当b<0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是当x每增大一个单位时，y平均减小|b|个单位．批注❸经验回归直线一定过点(x，y)，点(x夯实双基1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)经验回归方程适用于一切样本和总体．()(2)经验回归方程一般都有局限性．()(3)样本取值的范围会影响经验回归方程的适用范围．()(4)经验回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．()2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其经验回归方程可能是()A．y＝－10x＋200B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200D．y＝10x－2003．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的R2分别如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？()A．甲B．乙C．丙D．丁4．为了解某社区居民的家庭年收入x与年支出y的关系，随机调查了该社区5户家庭，依据统计数据得到回归直线方程y＝0.76x＋0.4，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为________万元．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1经验回归方程例1[2022·江苏苏州实验中学高二期中]对于数据组：x2345y1.94.16.17.9(1)作散点图，你能直观上得到什么结论？(2)求线性回归方程．方法归纳求经验回归方程的一般步骤巩固训练1(1)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x/cm174176176176178儿子身高y/cm175175176177177则y对x的经验回归方程为()A．y＝x－1B．y＝x＋1C．y＝88＋12xD．y＝(2)[2022·河北沧州高二期末]已知x与y的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为y＝0.7x＋1.05，则m的值是()x2345y2.53.0m4.5A.3.8B．3.9C．4.0D．4.1题型2利用经验回归方程对总体进行估计例2[2022·河北张家口高二期末]某市统计了近7年的实际利用外资金额y(单位：亿元)的数据，得到下面的表格：年份2015201620172018201920202021年份代号x1234567实际利用外资金额y(单位：亿元)25415058647889由表中数据，求得变量x，y的相关系数r≈0.9931，可判定变量x，y线性相关关系较强．(1)建立y关于x的经验回归方程；(2)根据(1)的结果，预测该市实际利用外资金额首次超过150亿元的年份．参考数据：i=17yi＝405，方法归纳解决此类问题的关键是准确求出经验回归方程，再根据题意代入数据求出预测值．巩固训练2[2022·山东济宁高二期末]2021年9月，山东省政府办公厅印发《山东省电动自行车管理办法》(以下简称《办法》)，自2022年5月1日起施行．《办法》的第十九条第三款规定：驾乘电动自行车人员规范佩戴安全头盔．佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的行为．某市为贯彻《办法》精神，加强对市民的安全教育，自2022年5月1日起，在该市某主干路口连续监控5周，每周抓拍到驾乘电动自行车人员未规范佩戴安全头盔的统计数据如下表：周数第1周第2周第3周第4周第5周周数序号x12345未规范佩戴头盔人数y11501000900750600(1)请利用所给数据求未规范佩戴头盔人数y与周数序号x之间的经验回归方程y＝bx＋a；(2)利用(1)中建立的经验回归方程估算该路口第6周未规范佩戴头盔的人数．参考数据：i=15xiyi＝题型3经验回归分析例3共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点6天的使用单车用户的数据如下，用两种模型①y＝bx＋a；②y＝bx＋a分别进行拟合，得到相应的回归方程y1＝10.7x＋3.4，y2＝35.5x－22.8日期x(天)123456x＝3.5y＝41i=16xi=16x用户y(人)132243455568模型①的残差值－1.1－2.87.5－1.2－1.90.4模型②的残差值0.3－5.44.3－3.2－1.63.8(1)残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；(2)残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出(1)中所选模型的回归方程．方法归纳刻画回归效果的三种方法巩固训练3某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉方式是将海水稀释后进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度x(%)对亩产量y(t)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表海水浓度x(%)34567亩产量y(t)0.560.520.460.350.31残差e－0.020.01mn0.01绘制散点图发现，可以用线性回归模型拟合亩产量y(t)与海水浓度x(%)之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的线性回归方程为y＝－0.07x＋a.(1)求a，m，n的值；(2)统计学中常用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，回归效果越好，如假设R2＝0.85，就说明预报变量y的差异有85%是解释变量x引起的．请计算相关指数R2(精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？附：残差eq\o(e,\s\up6(^))i＝yi－eq\o(y,\s\up6(^))i，相关指数R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)，其中eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝0.04628．2一元线性回归模型及其应用新知初探·课前预习[教材要点]要点一截距斜率随机误差要点二bx＋a要点三观测值预测值要点四越好越差[夯实双基]1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：∵y与x负相关，∴排除B，D，又∵C项中x>0时，y<0不合题意，∴C错．故选A.答案：A3．解析：R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．故选A.答案：A4．解析：令x＝15，所以y＝0.76×15＋0.4＝11.8.答案：11.8题型探究·课堂解透例1解析：(1)由图知：两个变量呈线性相关关系且正相关．(2)由数据知：x＝2+3+4+54＝3.5y＝1.9+4.1+6.1+7.94＝5i=1nxiyi＝2×1.9＋3×4.1＋4×6.1＋5×7.9＝80所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\o(x,\s\up6(－))2)＝80-4×3.5×554-4令y＝bx＋a，则a＝5－2×3.5＝－2，综上，回归直线方程为y＝2x－2.巩固训练1解析：(1)由题意得x＝174+176+176+176+1785＝176(cm)y＝175+175+176+177+1775＝176(cm)由于(x，y)一定满足经验回归方程，经验证知选(2)因为x＝14×(2＋3＋4＋5)＝72，y＝14×(2.5＋3.0＋m＋4.5)＝10+m4，所以样本中心为(72，10+m4)，将其代入回归方程y＝0.7x＋1.05，得10+m4＝0.7答案：(1)C(2)C例2解析：(1)由表格数据和参考数据，得x＝1+2+3+4+5+6+77＝4，y＝i=17yi=17xi2＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋7则b＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－7\o(x,\s\up6(－))2)＝1900-7×4×4057140-7×42＝10，a＝y-b所以y关于x的经验回归方程为y＝10x＋1257(2)由(1)可知，10x＋1257>150，解得x>185所以首次超过150亿元的年份代号为14，故预测2028年该市实际利用外资金额首次超过150亿元．巩固训练2解析：(1)由表中数据知，x＝1+2+3+4+55＝3y＝i=15yi5＝i=15xi2＝12＋22＋32＋42＋5所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(x,\s\up6(－))2)＝11850-5×880×355-5所以a＝y-bx＝880－(－135)×3故所求经验回归方程为y＝－135x＋1285.(2)令x＝6，则y＝－135×6＋1285＝475人，预计该路口第6周未规范佩戴头盔的人数为475人．例3解析：(1)应该选择模型①，模型①的残差值的绝对值之和为1.1＋2.8＋7.5＋1.2＋1.9＋0.4＝14.9；模型②的残差值的绝对值之和为0.3＋5.4＋4.3＋3.2＋1.6＋3.8＝18.6.∵14.9<18.6，∴模型①的拟合效果较好，应该选模型①.(2)剔除异常数据，即剔除第3天的数据后，得x＝15(3.5×6－3)＝3.6，y＝15(41×6－43)＝i=15xiyi＝1049－3×43＝920，i=15x∴b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(x,\s\up6(－))2)＝920-5×3.6×40.682-5×3.6a＝y-bx＝40.6－11×∴y关于x的回归方程为y＝11x＋1.巩固训练3解析：(1)由题设，x＝3+4+5+6+75＝5，y＝0.56+0.52+0.46+0.35+0.