新教材2023版高中数学第七章随机变量及其分布7.5正态分布学生用书新人教A版选择性必修第三册

7.5正态分布课标解读1.通过误差模型，了解正态曲线、正态分布的概念．2．通过借助具体实例的频率分布直方图，了解正态分布的特征及曲线表示的含义．3．了解正态分布的均值、方差及其含义．4．会求正态分布在给定区间的概率，能利用正态分布知识解决实际问题．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一正态曲线1．正态曲线的概念：函数φμ，σ(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中实数2．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方；(2)曲线和x轴之间的区域面积为________；(3)曲线是单峰的，它关于直线________对称；(4)曲线在x＝μ处达到峰值(最大值)________；(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．要点二正态分布1．定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记作：____________．特例：当μ＝____，σ＝____时，称随机变量X服从标准正态分布．2．均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝____，D(X)＝____．要点三正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973❷.助学批注批注❶(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(2)当μ一定时，曲线的位置可确定．当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散．批注❷在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，简称为3σ原则．夯实双基1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．()(2)正态曲线可以关于y轴对称．()(3)正态曲线的对称轴的位置由μ确定，曲线形状由σ确定．()(4)正态分布中，3σ范围之外的情况在随机试验中是不会发生的．()2．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，则P(X<1)＝()A．15B．C．13D．3．如图是三个正态分布X～N(0，0.64)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为()A．①②③B．③②①C．②③①D．①③②4．已知随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X<－1)＝P(X>5)，则μ＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1正态分布密度曲线例1[2022·江苏宿迁高二期末](多选)已知X～N(μ1，σ12)，Y～A．μ1<μ2B．σ1<σ2C．∀t∈R，P(X≥t)≥P(Y≥t)D．∃t∈R，P(X≥t)≥P(Y≥t)方法归纳利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．巩固训练1[2022·广东清远高二期末]已知三个正态密度函数φi(x)＝12πσie-(x-μi)22σiA．μ1＝μ3>μ2，σ1＝σ2>σ3B．μ1<μ2＝μ3，σ1<σ2<σ3C．μ1＝μ3>μ2，σ1＝σ2<σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3题型2正态分布的概率计算例2(1)[2022·广东广州高二期末]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≥4)＝0.2，则P(0<X<2)＝()A．0.2B．0.3C．0.5D．0.8(2)[2022·山东聊城高二期末]已知随机变量X，Y，X～B(4，12),Y～N(μ，σ2)，且D(X)＝E(Y)，又P(Y≤a－1)＋P(Y≤3－2a)＝1，则实数a＝(A．0B．1C．12D．方法归纳正态变量在某个区间内取值概率的求解策略巩固训练2(1)[2022·河北张家口高二期末]已知X～N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.7，则P(0<X<4)＝()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7(2)[2022·福建龙岩高二期末]已知随机变量X～N(8，σ2)，且P(6<X<10)＝a，P(4<X<12)＝b，则P(6<X<12)＝________．题型3正态分布的实际应用例3在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名．(1)试问此次参赛的学生总数约为多少？(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.方法归纳正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．巩固训练3(1)[2022·江苏淮安高二期末]某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c近似服从N(90，σ2)，若P(90≤c≤95)＝0.3，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为()A．5B．10C．15D．30(2)[2022·广东深圳高二期末]某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布ξ～N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.98≤ξ≤10.02)＝0.98，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量在10.02kg以上的袋数大约是()A．5B．10C．20D．407．5正态分布新知初探·课前预习[教材要点]要点一1．正态密度函数正态密度曲线2．(2)1(3)x＝μ(4)1要点二1．X～N(μ，σ2)012．μσ2[夯实双基]1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：因为X～N(1，σ2)，所以直线X＝1为正态分布的对称轴，所以P(X<1)＝12.故选答案：D3．解析：由题意，得σ(X)＝0.8，σ(Y)＝1，σ(Z)＝2，因为当σ较小时，峰值高，正态曲线尖陡，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)，所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.故选A.答案：A4．解析：因为P(X<－1)＝P(X>5)，故μ＝-1+52答案：2题型探究·课堂解透例1解析：由正态密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)的正态密度曲线分别关于x＝μ1，x＝μ当t≥μ1，P(X≥t)<P(Y≥t)，故C错误；由于正态密度曲线与x轴之间的面积为1，由题图可知∃t∈R，P(X≥t)≥P(Y≥t)，故D正确．故选ABD.答案：ABD巩固训练1解析：由题图中y＝φi(x)的对称轴知：μ1<μ3＝μ2，y＝φ1(x)与y＝φ2(x)(一样)瘦高，而y＝φ3(x)胖矮，所以σ1＝σ2<σ3.故选D.答案：D例2解析：(1)因随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≥4)＝0.2.所以P(X≤0)＝0.2，P(0<X<4)＝1－P(X≥4)－P(X≤0)＝0.6.所以P(0<X<2)＝12P(0<X<4)＝0.3.故选(2)由题意，D(X)＝4×12×(1－12)＝1＝E(Y)，则μ＝又P(Y≤a－1)＋P(Y≤3－2a)＝1，则a－1＋3－2a＝2，解得a＝0.故选A.答案：(1)B(2)A巩固训练2解析：(1)因为P(X<4)＝0.7，所以P(X≥4)＝0.3，又0+42＝2所以P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.3，所以P(0<X<4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.4，故选B.(2)由题意得，正态分布曲线的对称轴为x＝8，根据对称性可得：P(6<X<12)＝b－b-a2答案：(1)B(2)b+a例3解析：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10，则P(X≥90)＝P(X≤50)＝12[1－P(50<X<90)]＝12[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]＝12×(1－0.955)16÷0.0225≈711(人)．因此，此次参赛学生的总数约为711.(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝12[1－P(60<X<80)]＝12×[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝12×(1－0.683)得711×0.1585≈113(人)．因此，此次竞赛获奖励的学生约为113人．巩固训练3解析：(1)由c近似服从N(90，σ2)，可知正态分布曲线的对称轴为μ＝90，则P(85≤c≤90)＝P(